Формула суммирования Пуассона

Уравнение в анализе Фурье

В математике формула суммирования Пуассона — это уравнение, связывающее коэффициенты ряда Фурье периодической суммы функции со значениями непрерывного преобразования Фурье этой функции . Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеоном Дени Пуассоном и иногда называется пересуммированием Пуассона .

Формы уравнения

Рассмотрим апериодическую функцию с преобразованием Фурье, альтернативно обозначенную как и ${\displaystyle s(x)}$ ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$ ${\displaystyle {\hat {s}}(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(f).}$

Основная формула суммирования Пуассона : ^[1]

Также рассмотрим периодические функции, где параметры и находятся в тех же единицах измерения, что и : ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle P>0}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f\pm k/T).}$$

Тогда уравнение 1 является частным случаем (P=1, x=0) этого обобщения: ^{[2] [3]}

что является разложением в ряд Фурье с коэффициентами, являющимися выборками функции Аналогично: ${\displaystyle S(f).}$

также известное как важное дискретное преобразование Фурье .

Производные

Доказательство можно найти либо в Pinsky ^[2] , либо в Zygmund. ^[3] Например, уравнение 2 справедливо в том смысле, что если , то правая часть является (возможно, расходящимся) рядом Фурье левой части. Это следует из теоремы о доминируемой сходимости , которая существует и конечна для почти всех . Кроме того, следует, что интегрируемо на любом интервале длины Поэтому достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье для равны Исходя из определения коэффициентов Фурье, имеем: ${\displaystyle s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x+nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}$$

где замена суммирования интегрированием снова оправдана доминируемой сходимостью. С заменой переменных ( ) это становится: ${\displaystyle \tau =x+nP}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}}$$

Распределительная формулировка

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределений ^{[4] [5] : §7.2} для функции , все производные которой быстро убывают (см. функцию Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений , используя распределение Дирака и его ряд Фурье : ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T).}$$

Другими словами, периодизация дельты Дирака , приводящая к гребню Дирака , соответствует дискретизации ее спектра, который постоянно равен единице. Следовательно, это снова гребень Дирака, но с обратными приращениями. ${\displaystyle \delta ,}$

Для случая (1) легко следует: ${\displaystyle T=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}$$

Сходным образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}$$

Или: ^{[6] : 143}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}$$

Формулу суммирования Пуассона можно также доказать вполне концептуально, используя совместимость двойственности Понтрягина с короткими точными последовательностями, такими как ^[7] $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$$

Применимость

Уравнение 2 справедливо при условии, что является непрерывной интегрируемой функцией , которая удовлетворяет для некоторых и всех ^{[8] [9]} Обратите внимание, что такое является равномерно непрерывным , это вместе с предположением о распаде на показывают, что ряд, определяющий равномерно сходится к непрерывной функции.   Уравнение 2 справедливо в сильном смысле, что обе стороны сходятся равномерно и абсолютно к одному и тому же пределу. ^[9] ${\displaystyle s(x)}$ $${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}$$ ${\displaystyle C>0,\delta >0}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$

Уравнение 2 справедливо в поточечном смысле при строго более слабом предположении, что имеет ограниченную вариацию и ^[3] Ряд Фурье в правой части уравнения 2 тогда понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм. ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}$$

Как показано выше, уравнение 2 выполняется при гораздо менее ограничительном предположении, которое есть в , но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть является (возможно, расходящимся) рядом Фурье ^[3] В этом случае можно расширить область, где выполняется равенство, рассматривая методы суммирования, такие как суммирование по Чезаро . При интерпретации сходимости таким образом уравнение 2 выполняется при менее ограничительных условиях, что является интегрируемым, а 0 является точкой непрерывности . Однако уравнение 2 может не выполняться, даже когда и интегрируемы и непрерывны, и суммы сходятся абсолютно. ^[10] ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x).}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

Приложения

Метод изображения

В частных дифференциальных уравнениях формула суммирования Пуассона обеспечивает строгое обоснование фундаментального решения уравнения теплопроводности с поглощающей прямоугольной границей методом изображений . Здесь тепловое ядро ​​на известно, а для прямоугольника определяется путем принятия периодизации. Формула суммирования Пуассона аналогичным образом обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей. ^[8] В одном измерении полученное решение называется тета-функцией . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

В электродинамике этот метод также используется для ускорения вычисления периодических функций Грина . ^[11]

Отбор проб

В статистическом исследовании временных рядов, если это функция времени, то рассмотрение только ее значений в равноотстоящих точках времени называется «выборкой». В приложениях, как правило, функция ограничена полосой пропускания , что означает, что существует некоторая частота среза, такая что равна нулю для частот, превышающих границу: для Для функций с ограниченной полосой пропускания выбор частоты дискретизации гарантирует, что никакая информация не будет потеряна: поскольку может быть восстановлена ​​из этих выборочных значений. Затем, с помощью инверсии Фурье, может быть Это приводит к теореме выборки Найквиста–Шеннона . ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f_{o}}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle S(f)=0}$ ${\displaystyle |f|>f_{o}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}>2f_{o}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s.}$

суммирование Эвальда

С вычислительной точки зрения формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящееся суммирование в реальном пространстве гарантированно преобразуется в быстро сходящееся эквивалентное суммирование в пространстве Фурье. ^[12] (Широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот.) Это основная идея суммирования Эвальда .

Приближения интегралов

Формула суммирования Пуассона также полезна для ограничения ошибок, полученных при аппроксимации интеграла суммой (Римана). Рассмотрим аппроксимацию как , где — размер ячейки. Тогда, согласно уравнению 2, эта аппроксимация совпадает с . Тогда ошибка в аппроксимации может быть ограничена как . Это особенно полезно, когда преобразование Фурье быстро затухает, если . ${\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}$ ${\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}$ ${\displaystyle \delta \ll 1}$ ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ ${\textstyle \left|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle 1/\delta \gg 1}$

Точки решетки внутри сферы

Формула суммирования Пуассона может быть использована для вывода асимптотической формулы Ландау для числа точек решетки внутри большой евклидовой сферы. Она также может быть использована для того, чтобы показать, что если интегрируемая функция, и обе имеют компактный носитель , то ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s=0.}$

Теория чисел

В теории чисел суммирование Пуассона также может быть использовано для вывода различных функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для дзета-функции Римана . ^[13]

Одно из важных применений суммирования Пуассона касается тета-функций : периодических суммирований гауссианов. Положим , для комплексного числа в верхней полуплоскости, и определим тета-функцию: ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.}$$

Связь между и оказывается важной для теории чисел, поскольку этот вид связи является одним из определяющих свойств модулярной формы . Выбирая и используя тот факт, что можно заключить: ${\displaystyle \theta (-1/\tau )}$ ${\displaystyle \theta (\tau )}$ ${\displaystyle s(x)=e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle S(f)=e^{-\pi f^{2}},}$

$${\displaystyle \theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),}$$поместив ${\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.}$

Из этого следует, что имеет простое свойство преобразования при и это можно использовать для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выражения целого числа в виде суммы восьми полных квадратов. ${\displaystyle \theta ^{8}}$ ${\displaystyle \tau \mapsto {-1/\tau }}$

Упаковки сфер

Кон и Элкис ^[14] доказали верхнюю границу плотности упаковок сфер , используя формулу суммирования Пуассона, что впоследствии привело к доказательству оптимальных упаковок сфер в размерностях 8 и 24.

Другой

• Пусть для и для того , чтобы получить ${\displaystyle s(x)=e^{-ax}}$ ${\displaystyle 0\leq x}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x<0}$ $${\displaystyle \coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.}$$
• Его можно использовать для доказательства функционального уравнения для тета-функции.
• Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может быть использована для доказательства некоторых его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана Харди. ^{[ необходимо разъяснение ]}
• Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса.

Обобщения

Формула суммирования Пуассона справедлива в евклидовом пространстве произвольной размерности. Пусть будет решеткой в ​​состоящей из точек с целыми координатами. Для функции в рассмотрим ряд, заданный суммированием трансляций по элементам из : ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}$$

Теорема Для в указанный выше ряд сходится поточечно почти всюду и определяет -периодическую функцию на , следовательно, функция на торе ae  лежит в с Более того, для всех в ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s({\bar {x}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda .}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}$ ${\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{L_{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}\leq \|s\|_{L_{1}(\mathbb {R} )}.}$
${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda ,}$ 

${\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \nu \cdot {\bar {x}}}d{\bar {x}}}$

(преобразование Фурье на торе ) равно ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda }$

${\displaystyle S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}s(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx}$

(преобразование Фурье от ) . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Когда вдобавок непрерывно, и оба и достаточно быстро затухают на бесконечности, то можно «обратить» ряд Фурье обратно в их область и сделать более сильное утверждение. Точнее, если ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$$

для некоторого C , δ > 0, тогда ^{[9] : VII §2} , где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Λ. Когда d = 1 и x = 0, это дает уравнение 1 выше. $${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi \nu \cdot x},}$$

В более общем смысле, версия утверждения имеет место, если Λ заменить более общей решеткой в ​​конечномерном векторном пространстве . Выберите трансляционно-инвариантную меру на . Она единственна с точностью до положительного скаляра. Снова для функции мы определяем периодизацию ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s\in L_{1}(V,m)}$

${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )}$

как указано выше.

Двойственная решетка определяется как подмножество двойственного векторного пространства , которое оценивается в целые числа на решетке или, альтернативно, по двойственности Понтрягина , как символы , которые содержатся в ядре. Тогда утверждение заключается в том, что для всех преобразование Фурье периодизации как функция на и преобразование Фурье на само по себе связаны надлежащей нормализацией ${\displaystyle \Lambda '}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \nu \in \Lambda '}$ ${\displaystyle \mathbb {P} S}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} S(\nu )&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \langle \nu ,{\bar {x}}\rangle }m(d{\bar {x}})\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V}s(x)e^{-i2\pi \langle \nu ,x\rangle }m(dx)\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}S(\nu )\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что правая часть не зависит от выбора инвариантной меры . Если и непрерывны и стремятся к нулю быстрее, чем тогда ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1/r^{\dim(V)+\delta }}$

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda +x)=\sum _{\nu \in \Lambda '}\mathbb {P} S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }}$

В частности

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda )={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )}$

Это применяется в теории тета-функций и является возможным методом в геометрии чисел . Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в областях это обычно используется - суммирование индикаторной функции области D по точкам решетки - это как раз вопрос, так что левая часть формулы суммирования - это то, что ищется, а правая часть - это то, что можно атаковать с помощью математического анализа .

формула следа Сельберга

Дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы требуется в теории чисел . В некоммутативном гармоническом анализе эта идея развивается еще дальше в формуле следа Сельберга, но приобретает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применявших гармонический анализ к теории чисел, в частности Мартин Эйхлер, Атле Сельберг , Роберт Ленглендс и Джеймс Артур, обобщили формулу суммирования Пуассона до преобразования Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах с дискретной подгруппой, такой, что имеет конечный объем. Например, могут быть действительными точками и могут быть целыми точками . В этой ситуации играет роль действительной числовой прямой в классической версии суммирования Пуассона и играет роль целых чисел , которые появляются в сумме. Обобщенная версия суммирования Пуассона называется формулой следа Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма. Левая часть уравнения 1 становится суммой по неприводимым унитарным представлениям и называется «спектральной стороной», тогда как правая часть становится суммой по классам сопряженности и называется «геометрической стороной». ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Формула суммирования Пуассона является прототипом обширных разработок в области гармонического анализа и теории чисел.

Теорема о свертке

Формула суммирования Пуассона является частным случаем теоремы свертки для умеренных распределений . Если один из двух факторов является гребнем Дирака , то получается периодическое суммирование с одной стороны и выборка с другой стороны уравнения. Применительно к дельта-функции Дирака и ее преобразованию Фурье , функции, которая постоянно равна 1, это дает тождество гребня Дирака .

Смотрите также

• Анализ Фурье § Резюме
• Формула обращения Поста
• формула Вороного
• Дискретное преобразование Фурье
• Явные формулы для L-функций

Ссылки

1. Дармон, Анри (октябрь 2011 г.). "Преобразования Фурье и суммирование Пуассона... Теорема 5" (PDF) . math.mcgill.ca . стр. 2 . Получено 01.10.2024 .
2. Пинский, М. (2002), Введение в анализ Фурье и вейвлеты. , Брукс Коул, ISBN 978-0-534-37660-4
3. Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрические ряды (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-521-35885-9
4. Кордова, А., «La formule sommatoire de Poisson», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376
5. Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, МР  0717035
6. Оппенгейм, Алан В .; Шефер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. Образцы преобразования Фурье апериодической последовательности x[n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные путем суммирования периодических реплик x[n].
7. Дейтмар, Антон; Эхтерхофф, Зигфрид (2014), Принципы гармонического анализа , Universitext (2-е изд.), doi :10.1007/978-3-319-05792-7, ISBN 978-3-319-05791-0
8. Grafakos, Loukas (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-X
9. Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
10. Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ (Второе исправленное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
11. Кинаяман, Ноян; Аксун, МИ (1995). "Сравнительное исследование методов ускорения для интегралов и рядов в электромагнитных задачах". Radio Science . 30 (6): 1713–1722. Bibcode :1995RaSc...30.1713K. doi :10.1029/95RS02060. hdl : 11693/48408 .
12. Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Academic Press, стр. 36.
13. HM Edwards (1974). Дзета-функция Римана . Academic Press, стр. 209–11. ISBN 0-486-41740-9 . 
14. Кон, Генри; Элкис, Ноам (2003), «Новые верхние границы упаковок сфер I», Ann. of Math. , 2, 157 (2): 689–714, arXiv : math/0110009 , doi :10.4007/annals.2003.157.689, MR  1973059

Дальнейшее чтение

• Benedetto, JJ; Zimmermann, G. (1997), "Множители выборки и формула суммирования Пуассона", J. Fourier Anal. Appl. , 3 (5): 505–523, doi :10.1007/BF02648881, архивировано из оригинала 24.05.2011 , извлечено 19.06.2008
• Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и его применение , Springer, стр. 344–352, ISBN 0-387-98485-2
• Хиггинс, Дж. Р. (1985), «Пять коротких рассказов о кардинальном ряде», Bull. Amer. Math. Soc. , 12 (1): 45–89, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15293-0