stringtranslate.com

Инъективная функция

В математике инъективная функция ( также известная как инъекция или функция один к одному [1] ) — это функция f , которая отображает различные элементы своей области определения в различные элементы; то есть, x 1x 2 влечет f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) . (Эквивалентно, f ( x 1 ) = f ( x 2 ) влечет x 1 = x 2 в эквивалентном контрапозитивном утверждении.) Другими словами, каждый элемент области определения функции является образом не более чем одного элемента ее области определения . [2] Термин функция один к одному не следует путать с соответствием один к одному , которое относится к биективным функциям , которые являются функциями, такими что каждый элемент в области определения является образом ровно одного элемента в области определения.

Гомоморфизм между алгебраическими структурами — это функция, совместимая с операциями структур. Для всех общих алгебраических структур, и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. [3] Таким образом, это теорема о том, что они эквивалентны для алгебраических структур; см. Гомоморфизм § Мономорфизм для более подробной информации.

Функция , которая не является инъективной, иногда называется функцией «многие к одному». [2]

Определение

Инъективная функция, которая не является также сюръективной .

Пусть — функция, областью определения которой является множество. Функция называется инъективной , если для всех и в если то ; то есть подразумевает Эквивалентно, если то в контрапозитивном утверждении.

Символически, что логически эквивалентно контрапозиции , [4]

Примеры

Для просмотра наглядных примеров читатели могут обратиться к разделу галереи.

В более общем случае, когда и являются действительной прямой , то инъективная функция — это функция, график которой никогда не пересекается ни с одной горизонтальной прямой более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной прямой . [2]

Инъекции можно отменить

Функции с левыми обратными всегда являются инъекциями. То есть, если задана функция такая , что для каждого , , то является инъекцией. В этом случае называется ретракцией Обратно , называется сечением

Наоборот, каждая инъекция с непустым доменом имеет левый обратный . Его можно определить, выбрав элемент в домене и установив его на уникальный элемент прообраза (если он непустой) или на (в противном случае). [5]

Левая обратная функция не обязательно является обратной функцией , поскольку композиция в другом порядке может отличаться от тождественной функции . Другими словами, инъективная функция может быть «обратена» левой обратной функцией, но не обязательно является обратимой , что требует, чтобы функция была биективной.

Инъекции можно сделать обратимыми

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию в биективную (следовательно, обратимую) функцию, достаточно заменить ее область значений ее фактическим образом То есть, пусть такой, что для всех ; тогда является биективным. Действительно, может быть разложен на множители как где есть функция включения из в

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .

Другие свойства

Композиция двух инъективных функций инъективна.

Доказательство того, что функции инъективны

Доказательство того, что функция инъективна, зависит от того, как функция представлена ​​и какие свойства она имеет. Для функций, заданных некоторой формулой, есть основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если то [6]

Вот пример:

Доказательство: Предположим , что Итак , следует , что влечет Следовательно, из определения следует, что является инъективным.

Существует множество других методов доказательства того, что функция инъективна. Например, в исчислении, если — дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, то достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если — линейное преобразование, то достаточно показать, что ядро ​​содержит только нулевой вектор. Если — функция с конечной областью определения, то достаточно просмотреть список изображений каждого элемента области определения и проверить, что ни одно изображение не встречается в списке дважды.

Графическим подходом для действительной функции действительной переменной является тест горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую не более чем в одной точке, то она инъективна или является взаимно однозначной.

Галерея

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Иногда функция один-один , в индийском математическом образовании. "Глава 1: Отношения и функции" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 декабря 2023 г. – через NCERT.
  2. ^ abc "Инъективный, сюръективный и биективный". Математика — это весело . Получено 2019-12-07 .
  3. ^ "Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные отображения предпучков". Проект Stacks . Получено 2019-12-07 .
  4. ^ Farlow, SJ "Section 4.2 Injections, Surjections, and Bijections" (PDF) . Математика и статистика - Университет штата Мэн . Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2019 г. . Получено 2019-12-06 .
  5. ^ В отличие от соответствующего утверждения, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может не сработать в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение двухэлементного множества в вещественные числа не может иметь левую обратную, поскольку это нарушило бы неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой к множеству {0,1}.
  6. ^ Уильямс, Питер (21 августа 1996 г.). «Доказательство функций один к одному». Страница справочных заметок кафедры математики CSU San Bernardino . Архивировано из оригинала 4 июня 2017 г.

Ссылки

Внешние ссылки