Гомоморфизм

Сохраняющее структуру отображение между двумя алгебраическими структурами одного типа

В алгебре гомоморфизм — это сохраняющее структуру отображение между двумя алгебраическими структурами одного и того же типа (например, двумя группами , двумя кольцами или двумя векторными пространствами ). Слово гомоморфизм происходит из древнегреческого языка : ὁμός ( homos ) — «тот же самый» и μορφή ( morphe ) — «форма» или «очертание». Однако, по-видимому, это слово было введено в математику из-за (неправильного) перевода немецкого ähnlich, означающего «похожий», на ὁμός, означающего «тот же самый». ^[1] Термин «гомоморфизм» появился ещё в 1892 году, когда его приписали немецкому математику Феликсу Клейну (1849–1925). ^[2]

Гомоморфизмы векторных пространств также называются линейными отображениями , и их изучение является предметом линейной алгебры .

Понятие гомоморфизма было обобщено под названием морфизм на многие другие структуры, которые либо не имеют базового множества, либо не являются алгебраическими. Это обобщение является отправной точкой теории категорий .

Гомоморфизм может быть также изоморфизмом , эндоморфизмом , автоморфизмом и т. д. (см. ниже). Каждый из них может быть определен таким образом, что его можно обобщить на любой класс морфизмов.

Определение

Гомоморфизм — это отображение между двумя алгебраическими структурами одного и того же типа (например, двумя группами, двумя полями, двумя векторными пространствами), сохраняющее операции структур. Это означает отображение между двумя множествами , снабженными одной и той же структурой, такой, что если — операция структуры (предполагаемая здесь для упрощения как бинарная операция ), то ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

для каждой пары элементов . [ ^{примечание 1]} Часто говорят, что сохраняет операцию или совместимо с операцией. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Формально отображение сохраняет операцию арности , определенную на обоих и , если ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

для всех элементов в . ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$ ${\displaystyle A}$

Операции, которые должны сохраняться гомоморфизмом, включают 0-арные операции , то есть константы. В частности, когда элемент идентичности требуется типом структуры, элемент идентичности первой структуры должен быть отображен в соответствующий элемент идентичности второй структуры.

Например:

• Гомоморфизм полугрупп — это отображение между полугруппами , сохраняющее операцию полугруппы.
• Гомоморфизм моноидов — это отображение между моноидами , которое сохраняет операцию моноида и отображает единичный элемент первого моноида в единичный элемент второго моноида (единичный элемент — это 0-арная операция ).
• Групповой гомоморфизм — это отображение между группами , сохраняющее групповую операцию. Это подразумевает, что групповой гомоморфизм отображает единичный элемент первой группы в единичный элемент второй группы и отображает обратный элемент первой группы в обратный элемент образа этого элемента. Таким образом, полугрупповой гомоморфизм между группами обязательно является групповым гомоморфизмом.
• Гомоморфизм колец — это отображение между кольцами , которое сохраняет сложение колец, умножение колец и мультипликативное тождество . Сохраняется ли мультипликативное тождество, зависит от определения используемого кольца . Если мультипликативное тождество не сохраняется, то имеем rng гомоморфизм.
• Линейное отображение — это гомоморфизм векторных пространств , то есть групповой гомоморфизм между векторными пространствами, сохраняющий структуру абелевой группы и скалярное умножение .
• Аналогично определяется гомоморфизм модулей , также называемый линейным отображением между модулями .
• Гомоморфизм алгебры — это отображение, сохраняющее операции алгебры .

Алгебраическая структура может иметь более одной операции, и для сохранения каждой операции требуется гомоморфизм. Таким образом, отображение, сохраняющее только некоторые операции, не является гомоморфизмом структуры, а только гомоморфизмом подструктуры, полученной путем рассмотрения только сохраненных операций. Например, отображение между моноидами, сохраняющее операцию моноида, но не единичный элемент, не является гомоморфизмом моноида, а только гомоморфизмом полугруппы.

Обозначения операций не обязательно должны быть одинаковыми в источнике и цели гомоморфизма. Например, действительные числа образуют группу для сложения, а положительные действительные числа образуют группу для умножения. Экспоненциальная функция

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

удовлетворяет

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

и, таким образом, является гомоморфизмом между этими двумя группами. Это даже изоморфизм (см. ниже), поскольку его обратная функция , натуральный логарифм , удовлетворяет

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

и также является групповым гомоморфизмом.

Примеры

Моноидный гомоморфизм из моноида ( N , +, 0) в моноид ( N , ×, 1) , определяемый соотношением . Он инъективен , но не сюръективен . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$

Действительные числа представляют собой кольцо , имеющее как сложение, так и умножение. Множество всех матриц 2×2 также является кольцом, относительно сложения матриц и умножения матриц . Если мы определим функцию между этими кольцами следующим образом:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

где r — действительное число, то f — гомоморфизм колец, поскольку f сохраняет оба сложения:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

и умножение:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

В качестве другого примера, ненулевые комплексные числа образуют группу при операции умножения, как и ненулевые действительные числа. (Ноль необходимо исключить из обеих групп, поскольку он не имеет мультипликативного обратного числа , которое требуется для элементов группы.) Определим функцию от ненулевых комплексных чисел до ненулевых действительных чисел с помощью ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

То есть, — это абсолютное значение (или модуль) комплексного числа . Тогда — гомоморфизм групп, поскольку он сохраняет умножение: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$

Обратите внимание, что f не может быть расширен до гомоморфизма колец (от комплексных чисел до действительных чисел), поскольку он не сохраняет сложение:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

В качестве другого примера диаграмма показывает гомоморфизм моноида из моноида в моноид . Из-за разных названий соответствующих операций свойства сохранения структуры, которым удовлетворяют , равны и . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$

Композиционная алгебра над полем имеет квадратичную форму , называемую нормой , которая является групповым гомоморфизмом из мультипликативной группы в мультипликативную группу . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N:A\to F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

Специальные гомоморфизмы

Некоторые виды гомоморфизмов имеют особое название, которое также определено для общих морфизмов .

Общее соотношение гомоморфизмов (включая внутренние автоморфизмы , обозначенные как «Внутренние»).

Изоморфизм

Изоморфизм между алгебраическими структурами одного и того же типа обычно определяется как биективный гомоморфизм. [ 3 ^{] : 134  [4] : 28}

В более общем контексте теории категорий изоморфизм определяется как морфизм , имеющий обратный , который также является морфизмом. В конкретном случае алгебраических структур эти два определения эквивалентны, хотя они могут различаться для неалгебраических структур, которые имеют базовый набор.

Точнее, если

${\displaystyle f:A\to B}$

является (гомо)морфизмом, он имеет обратный, если существует гомоморфизм

${\displaystyle g:B\to A}$

такой что

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Если и имеют базовые множества, и имеет обратное , то является биективным. Фактически, является инъективным , как следует , и является сюръективным , так как для любого из , имеем , и является образом элемента . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x=f(g(x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Обратно, если — биективный гомоморфизм между алгебраическими структурами, пусть — отображение такое, что — единственный элемент из , такой, что . Имеем и остается только показать, что g — гомоморфизм. Если — бинарная операция структуры, то для каждой пары , элементов из , имеем ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to A}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

и, таким образом, совместимо с Поскольку доказательство аналогично для любой арности , это показывает, что является гомоморфизмом. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle *.}$ ${\displaystyle g}$

Это доказательство не работает для неалгебраических структур. Например, для топологических пространств морфизм является непрерывным отображением , а обратное к биективному непрерывному отображению не обязательно является непрерывным. Изоморфизм топологических пространств, называемый гомеоморфизмом или бинепрерывным отображением , является, таким образом, биективным непрерывным отображением, обратное к которому также является непрерывным.

Эндоморфизм

Эндоморфизм — это гомоморфизм, область определения которого равна области определения , или, в более общем смысле, морфизм , источник которого равен его цели. ^{[3] : 135}

Эндоморфизмы алгебраической структуры или объекта категории образуют моноид относительно композиции.

Эндоморфизмы векторного пространства или модуля образуют кольцо . В случае векторного пространства или свободного модуля конечной размерности выбор базиса индуцирует кольцевой изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом квадратных матриц той же размерности.

Автоморфизм

Автоморфизм — это эндоморфизм, который также является изоморфизмом. ^{[3] : 135}

Автоморфизмы алгебраической структуры или объекта категории образуют группу относительно композиции, которая называется группой автоморфизмов структуры.

Многие группы, получившие название, являются группами автоморфизмов некоторой алгебраической структуры. Например, общая линейная группа — это группа автоморфизмов векторного пространства размерности над полем . ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Группы автоморфизмов полей были введены Эваристом Галуа для изучения корней многочленов и являются основой теории Галуа .

Мономорфизм

Для алгебраических структур мономорфизмы обычно определяются как инъективные гомоморфизмы. ^{[3] : 134  [4] : 29}

В более общем контексте теории категорий мономорфизм определяется как морфизм , который можно отменить слева . ^[5] Это означает, что (гомо)морфизм является мономорфизмом, если для любой пары морфизмов из любого другого объекта в , то влечет . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ ${\displaystyle g=h}$

Эти два определения мономорфизма эквивалентны для всех обычных алгебраических структур. Точнее, они эквивалентны для полей , для которых каждый гомоморфизм является мономорфизмом, и для многообразий универсальной алгебры , то есть алгебраических структур, для которых операции и аксиомы (тождества) определены без каких-либо ограничений (поля не образуют многообразия, поскольку мультипликативная инверсия определяется либо как унарная операция , либо как свойство умножения, которые в обоих случаях определены только для ненулевых элементов).

В частности, два определения мономорфизма эквивалентны для множеств , магм , полугрупп , моноидов , групп , колец , полей , векторных пространств и модулей .

Расщепляемый мономорфизм — это гомоморфизм, имеющий левый обратный , и, таким образом, он сам является правым обратным этого другого гомоморфизма. То есть, гомоморфизм является расщепляемым мономорфизмом, если существует гомоморфизм такой, что Расщепляемый мономорфизм всегда является мономорфизмом, для обоих значений мономорфизма . Для множеств и векторных пространств каждый мономорфизм является расщепляемым мономорфизмом, но это свойство не выполняется для большинства общих алгебраических структур. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle g\colon B\to A}$ ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Эпиморфизм

В алгебре эпиморфизмы часто определяются как сюръективные гомоморфизмы. ^{[3] : 134  [4] : 43} С другой стороны, в теории категорий эпиморфизмы определяются как сократимые справа морфизмы . ^[5] Это означает, что (гомо)морфизм является эпиморфизмом, если для любой пары морфизмов из в любой другой объект равенство влечет . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ${\displaystyle g=h}$

Сюръективный гомоморфизм всегда является сократимым справа, но обратное не всегда верно для алгебраических структур. Однако два определения эпиморфизма эквивалентны для множеств , векторных пространств , абелевых групп , модулей (см. ниже доказательство) и групп . ^[6] Важность этих структур во всей математике, особенно в линейной алгебре и гомологической алгебре , может объяснить сосуществование двух неэквивалентных определений.

Алгебраические структуры, для которых существуют несюръективные эпиморфизмы, включают полугруппы и кольца . Самый простой пример — включение целых чисел в рациональные числа , которое является гомоморфизмом колец и мультипликативных полугрупп. Для обеих структур это мономорфизм и несюръективный эпиморфизм, но не изоморфизм. ^{[5] [7]}

Широким обобщением этого примера является локализация кольца мультипликативным множеством. Каждая локализация является эпиморфизмом кольца, который, в общем случае, не является сюръективным. Поскольку локализации являются фундаментальными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , это может объяснить, почему в этих областях определение эпиморфизмов как правосократимых гомоморфизмов обычно является предпочтительным.

Расщепляемый эпиморфизм — это гомоморфизм, имеющий правый обратный , и, таким образом, он сам является левым обратным этого другого гомоморфизма. То есть, гомоморфизм является расщепляемым эпиморфизмом, если существует гомоморфизм такой, что Расщепляемый эпиморфизм всегда является эпиморфизмом, для обоих значений эпиморфизма . Для множеств и векторных пространств каждый эпиморфизм является расщепляемым эпиморфизмом, но это свойство не выполняется для большинства общих алгебраических структур. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle g\colon B\to A}$ ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

Подводя итог, можно сказать, что

${\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};}$

последняя импликация — эквивалентность множеств, векторных пространств, модулей, абелевых групп и групп; первая импликация — эквивалентность множеств и векторных пространств.

Ядро

Любой гомоморфизм определяет отношение эквивалентности на с помощью тогда и только тогда, когда . Отношение называется ядром . Это отношение конгруэнтности на . Фактор - множеству тогда можно задать структуру того же типа , что и , естественным образом, определив операции фактор-множества по , для каждой операции . В этом случае образ в при гомоморфизме обязательно изоморфен ; этот факт является одной из теорем об изоморфизме . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X/\!\sim }$

Когда алгебраическая структура является группой для некоторой операции, класс эквивалентности единичного элемента этой операции достаточен для характеристики отношения эквивалентности. В этом случае фактор по отношению эквивалентности обозначается как (обычно читается как « mod »). Также в этом случае именно , а не , называется ядром . Ядра гомоморфизмов данного типа алгебраической структуры естественным образом снабжены некоторой структурой. Этот структурный тип ядер совпадает с рассматриваемой структурой в случае абелевых групп , векторных пространств и модулей , но отличается и получил особое название в других случаях, таких как нормальная подгруппа для ядер гомоморфизмов групп и идеалы для ядер гомоморфизмов колец (в случае некоммутативных колец ядра являются двусторонними идеалами ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X/K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f}$

Реляционные структуры

В теории моделей понятие алгебраической структуры обобщается на структуры, включающие как операции, так и отношения. Пусть L — сигнатура, состоящая из символов функций и отношений, а A , B — две L -структуры. Тогда гомоморфизм из A в B — это отображение h из области A в область B, такое что

• h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) для каждого n -арного функционального символа F в L ,
• RA ( a ₁ , …, a _n ) влечет RB ⁽ h ( a ₁ ),…, ^h ( a n ₎ ) для каждого символа n -арного отношения R в L .

В частном случае только с одним бинарным отношением мы получаем понятие гомоморфизма графа . ^[8]

Теория формального языка

Гомоморфизмы также используются при изучении формальных языков ^[9] и часто кратко называются морфизмами . ^[10] При заданных алфавитах и ​​функция такая, что для всех называется гомоморфизмом на . ^{[примечание 2]} Если является гомоморфизмом на и обозначает пустую строку, то называется -свободным гомоморфизмом, когда для всех в . ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$ ${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$ ${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$ ${\displaystyle x\neq \varepsilon }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$

Гомоморфизм на , который удовлетворяет для всех, называется -равномерным гомоморфизмом. ^[11] Если для всех (то есть является 1-равномерным), то также называется кодированием или проекцией . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ ${\displaystyle |h(a)|=k}$ ${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |h(a)|=1}$ ${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Множество слов, образованных из алфавита, можно рассматривать как свободный моноид, порожденный . Здесь моноидная операция — это конкатенация , а элемент идентичности — пустое слово. С этой точки зрения гомоморфизм языка — это именно гомоморфизм моноида. ^{[примечание 3]} ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Смотрите также

• Диффеоморфизм
• Гомоморфное шифрование
• Гомоморфное разделение секрета – упрощенный децентрализованный протокол голосования
• Морфизм
• Квазиморфизм

Примечания

1. Как это часто бывает, но не всегда, здесь использован один и тот же символ для обозначения операций и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
2. ∗ обозначает операцию звезды Клини , а Σ ^∗ обозначает множество слов, образованных из алфавита Σ, включая пустое слово. Сопоставление терминов обозначает конкатенацию . Например, h ( u ) h ( v ) обозначает конкатенацию h ( u ) с h ( v ).
3. Нас уверяют, что гомоморфизм языка h отображает пустое слово ε ​​в пустое слово. Поскольку h ( ε ) = h ( εε ) = h ( ε ) h ( ε ), количество w символов в h ( ε ) равно количеству 2 w символов в h ( ε ) h ( ε ). Следовательно, w = 0 и h ( ε ) имеет нулевую длину.

Цитаты

1. Фрике, Роберт (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Б. Г. Тойбнер. ОСЛК  29857037.
2. См.:
   • Риттер, Эрнст (1892). «Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze» [Уникальные автоморфные формы нулевого рода, пересмотр и расширение теоремы Пуанкаре]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 : 1–82. дои : 10.1007/BF01443449. S2CID  121524108. Из сноски на стр. 22: «Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Профессор Кляйн statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: «holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph» die Benennung «isomorph» auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von «Homomorphismus» sprechen,…» (По предложению проф. Кляйна вместо громоздких и не всегда удовлетворительных обозначений «голоэдрический, или полуэдрический и т. д. изоморфный», я ограничу наименование «изоморфный» случаем голоэдрического изоморфизма двух групп; в противном случае, однако, [я буду] говорить о «гомоморфизме»,…)
   • Фрике, Роберт (1892). «Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen» [Об арифметическом характере треугольных функций, принадлежащих точкам ветвления (2,3,7) и ( 2,4,7)]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 41 (3): 443–468. дои : 10.1007/BF01443421. S2CID  120022176. Из стр. 466: «Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit Rational ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet». (Таким образом, как сразу видно, гомоморфное отношение группы Г ₍₆₃₎ основано на группе неконгруэнтных по модулю n подстановок с целыми рациональными коэффициентами определителя 1.) Из сноски на с. 466: «*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung «meroedrischer Isomorphismus» die sinngemässere «Homomorphismus».» (Следуя использованию, которое было введено г-ном Кляйном в его последних лекциях, я пишу вместо прежнего обозначения «мероэдральный изоморфизм» более логичное «гомоморфизм».)
3. Биркгофф, Гарретт (1967) [1940], Теория решеток , Публикации коллоквиума Американского математического общества, т. 25 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1025-5, МР  0598630
4. Стэнли Н. Беррис; HP Санкаппанавар (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . S. Burris и HP Санкаппанавар. ISBN 978-0-9880552-0-9.
5. Mac Lane, Saunders (1971). Категории для работающего математика . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5. Springer-Verlag . Упражнение 4 в разделе I.5. ISBN 0-387-90036-5. Збл  0232.18001.
6. Линдерхольм, CE (1970). Эпиморфизм группы сюръективен. The American Mathematical Monthly , 77(2), 176-177.
7. Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001). Алгебра Хопфа: Введение . Чистая и прикладная математика. Том. 235. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер. п. 363. ИСБН 0824704819. Збл  0962.16026.
8. Подробное обсуждение реляционных гомоморфизмов и изоморфизмов см. в разделе 17.3 в книге Гюнтера Шмидта , 2010. Реляционная математика . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 
9. Сеймур Гинзбург , Алгебраические и автоматные теоретические свойства формальных языков , Северная Голландия, 1975, ISBN 0-7204-2506-9 , 
10. T. Harju, J. Karhumӓki, Morphisms in Handbook of Formal Languages , Volume I, под редакцией G. Rozenberg, A. Salomaa, Springer, 1997, ISBN 3-540-61486-9 . 
11. Кригер (2006) стр. 287

Ссылки

• Krieger, Dalia (2006). "О критических показателях в неподвижных точках нестирающих морфизмов". В Ibarra, Oscar H.; Dang, Zhe (ред.). Developments in language theory : 10th international conference, DLT 2006, Santa Barbara, CA, USA, June 26-29, 2006 : материалы . Berlin: Springer. pp. 280–291. ISBN 978-3-540-35430-7. OCLC  262693179.
• Стэнли Н. Беррис; HP Sankappanavar (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . S. Burris и HP Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Mac Lane, Saunders (1971), Категории для работающих математиков , Graduate Texts in Mathematics , т. 5, Springer-Verlag , ISBN 0-387-90036-5, ЗБЛ  0232.18001
• Фрели, Джон Б.; Кац, Виктор Дж. (2003), Первый курс абстрактной алгебры , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-1-292-02496-7