Интегральное правило Лейбница

Формула дифференцирования под знаком интеграла

В исчислении интегральное правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , гласит, что для интеграла вида где и подынтегральные выражения являются функциями, зависящими от производной этого интеграла, выражается как где частная производная указывает, что внутри интеграла рассматривается только изменение с при взятии производной. ^[1] $${\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$$ ${\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle x}$

В частном случае, когда функции и являются константами и имеют значения, не зависящие от , это упрощается до: ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle a(x)=a}$ ${\displaystyle b(x)=b}$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$$

Если является постоянным и , что является еще одной распространенной ситуацией (например, при доказательстве формулы повторного интегрирования Коши ), интегральное правило Лейбница принимает вид: ${\displaystyle a(x)=a}$ ${\displaystyle b(x)=x}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$$

Этот важный результат может, при определенных условиях, использоваться для замены интегральных и частных дифференциальных операторов и особенно полезен при дифференцировании интегральных преобразований . Примером такого результата является функция генерации моментов в теории вероятностей , вариация преобразования Лапласа , которая может быть дифференцирована для генерации моментов случайной величины . Применимо ли интегральное правило Лейбница, по сути, является вопросом о замене пределов .

Общая форма: дифференцирование под знаком интеграла

Теорема  —  Пусть — функция такая, что и ее частная производная непрерывны в и в некоторой области плоскости , включая Предположим также, что функции и непрерывны и обе имеют непрерывные производные для Тогда, для ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle f_{x}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xt}$ ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1},}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$$

Правую часть можно также записать с использованием обозначений Лагранжа следующим образом: ${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

Более сильные версии теоремы требуют только того, чтобы частная производная существовала почти всюду , а не того, чтобы она была непрерывной. ^[2] Эта формула является общей формой интегрального правила Лейбница и может быть выведена с использованием основной теоремы исчисления . (Первая) основная теорема исчисления является просто частным случаем приведенной выше формулы , где является константой и не зависит от ${\displaystyle a(x)=a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b(x)=x,}$ ${\displaystyle f(x,t)=f(t)}$ ${\displaystyle x.}$

Если и верхний, и нижний пределы взять за константы, то формула примет вид операторного уравнения: где — частная производная по , а — интегральный оператор по фиксированному интервалу . То есть, это связано с симметрией вторых производных , но с участием как интегралов, так и производных. Этот случай также известен как интегральное правило Лейбница. $${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}$$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Следующие три основные теоремы о замене пределов по существу эквивалентны:

• взаимозамена производной и интеграла (дифференцирование под знаком интеграла; т. е. интегральное правило Лейбница);
• изменение порядка частных производных;
• изменение порядка интегрирования (интегрирование под знаком интеграла; т. е. теорема Фубини ).

Трехмерный случай, зависящий от времени

Рисунок 1: Вектор поля F ( r , t ), определенный во всем пространстве, и поверхность Σ, ограниченная кривой ∂Σ, движущейся со скоростью v , по которой интегрируется поле.

Интегральное правило Лейбница для двумерной поверхности, движущейся в трехмерном пространстве, имеет вид ^{[3] [4]}

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}$$

где:

• F ( r , t ) — векторное поле в пространственной позиции r в момент времени t ,
• Σ — поверхность, ограниченная замкнутой кривой ∂Σ ,
• d A — векторный элемент поверхности Σ ,
• d s — векторный элемент кривой ∂Σ ,
• v — скорость движения области Σ ,
• ∇⋅ — векторная дивергенция ,
• × — векторное векторное произведение ,
• Двойные интегралы являются поверхностными интегралами по поверхности Σ , а линейный интеграл — по ограничивающей кривой ∂Σ .

Более высокие измерения

Интегральное правило Лейбница можно распространить на многомерные интегралы. В двух и трех измерениях это правило более известно из области динамики жидкости как теорема Рейнольдса о переносе : $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$$

где — скалярная функция, D ( t ) и ∂ D ( t ) обозначают изменяющуюся во времени связную область R ³ и ее границу соответственно, — эйлерова скорость границы (см. Лагранжевы и эйлеровы координаты ), а d Σ = n dS — единичная нормальная составляющая элемента поверхности . ${\displaystyle F(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{b}}$

Общее утверждение интегрального правила Лейбница требует понятий из дифференциальной геометрии , в частности, дифференциальных форм , внешних производных , произведений клиньев и внутренних произведений . С этими инструментами интегральное правило Лейбница в n измерениях выглядит следующим образом ^[4] где Ω( t ) — изменяющаяся во времени область интегрирования, ω — p -форма, — векторное поле скорости, обозначает внутреннее произведение с , d _x ω — внешняя производная ω только по пространственным переменным и — производная ω по времени . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle i_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}}$

Вышеприведенная формула может быть выведена непосредственно из того факта, что производная Ли хорошо взаимодействует с интегрированием дифференциальных форм для пространственно-временного многообразия , где внешняя производная пространства-времени равна , а поверхность имеет поле скорости пространства-времени . Поскольку имеет только пространственные компоненты, производную Ли можно упростить с помощью магической формулы Картана , которая после интегрирования по и использования обобщенной теоремы Стокса для второго члена сводится к трем искомым членам. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,}$$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega }$ ${\displaystyle \Omega (t)}$ ${\displaystyle \Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}}$$ ${\displaystyle \Omega (t)}$

Изложение теории меры

Пусть будет открытым подмножеством , а будет мерным пространством . Предположим, что удовлетворяет следующим условиям: ^{[5] [6] [2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R} }$

1. ${\displaystyle f(x,\omega )}$является интегрируемой по Лебегу функцией для каждого . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x\in X}$
2. Почти для всех существует частная производная . ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$
3. Существует интегрируемая функция такая, что для всех и почти всех . ${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Тогда, для всех , ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}$$

Доказательство основано на теореме о доминирующей сходимости и теореме о среднем значении (подробности ниже).

Доказательства

Доказательство базовой формы

Сначала докажем случай постоянных пределов интегрирования a и b .

Мы используем теорему Фубини , чтобы изменить порядок интегрирования. Для каждого x и h , такого, что h > 0 и оба x и x + h находятся в пределах [ x ₀ , x ₁ ] , мы имеем: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что рассматриваемые интегралы хорошо определены, поскольку непрерывны в замкнутом прямоугольнике и, следовательно, также равномерно непрерывны там; таким образом, их интегралы по dt или dx непрерывны по другой переменной и также интегрируемы по ней (по сути, это происходит потому, что для равномерно непрерывных функций можно перейти к пределу через знак интегрирования, как подробно описано ниже). ${\displaystyle f_{x}(x,t)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}$

Поэтому: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}$$

Где мы определили: (мы можем заменить x ₀ здесь любой другой точкой между x ₀ и x ) $${\displaystyle F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$$

F дифференцируема с производной , поэтому мы можем взять предел, где h стремится к нулю. Для левой стороны этот предел равен: ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$$

Для правой части получаем: И тем самым доказываем желаемый результат: $${\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$

Другое доказательство с использованием теоремы об ограниченной сходимости

Если рассматриваемые интегралы являются интегралами Лебега , мы можем использовать теорему об ограниченной сходимости (справедливую для этих интегралов, но не для интегралов Римана ), чтобы показать, что предел можно перейти через знак интеграла.

Обратите внимание, что это доказательство слабее в том смысле, что оно показывает только, что f _x ( x , t ) интегрируема по Лебегу, но не то, что она интегрируема по Риману. В первом (более сильном) доказательстве, если f ( x , t ) интегрируема по Риману, то f _x ( x , t ) также интегрируема (и, таким образом, очевидно, также интегрируема по Лебегу).

Позволять

По определению производной,

Подставим уравнение ( 1 ) в уравнение ( 2 ). Разность двух интегралов равна интегралу разности, а 1/ h — константа, поэтому $${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}$$

Покажем теперь, что предел можно перейти через знак интеграла.

Мы утверждаем, что переход предела под знаком интеграла действителен по теореме об ограниченной сходимости (следствие теоремы о доминируемой сходимости ). Для каждого δ > 0 рассмотрим разностное отношение При фиксированном t теорема о среднем значении подразумевает, что существует z в интервале [ x , x + δ ] такое, что Непрерывность f _x ( x , t ) и компактность области вместе подразумевают, что f _x ( x , t ) ограничена. Таким образом, приведенное выше применение теоремы о среднем значении дает равномерную (независимую от ) границу на . Разностные отношения сходятся поточечно к частной производной f _x в предположении, что частная производная существует. $${\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}$$ $${\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$

Приведенный выше аргумент показывает, что для любой последовательности { δ _n } → 0 последовательность равномерно ограничена и сходится поточечно к f _x . Теорема об ограниченной сходимости утверждает, что если последовательность функций на множестве конечной меры равномерно ограничена и сходится поточечно, то переход предела под интегралом действителен. В частности, предел и интеграл можно поменять местами для любой последовательности { δ _n } → 0. Следовательно, предел при δ → 0 можно перейти через знак интеграла. ${\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}$

Если вместо этого мы знаем только, что существует интегрируемая функция такая, что , то и теорема о доминирующей сходимости позволяет нам переместить предел внутрь интеграла. ${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$ ${\displaystyle |f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )}$

Форма переменных пределов

Для непрерывной действительной функции g одной действительной переменной и действительной дифференцируемой функции и одной действительной переменной, ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Это следует из цепного правила и первой фундаментальной теоремы исчисления . Определим и (нижний предел должен быть просто некоторым числом в области ) $${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,}$$ $${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}$$ ${\displaystyle g}$

Тогда, можно записать в виде композиции : . Правило цепочки тогда подразумевает, что По первой фундаментальной теореме исчисления , . Поэтому, подставляя этот результат выше, мы получаем искомое уравнение: ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$ $${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}$$ ${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}$ $${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Примечание: Эта форма может быть особенно полезна, если дифференцируемое выражение имеет вид: Поскольку не зависит от пределов интегрирования, его можно вынести из-под знака интеграла, и указанную выше форму можно использовать с правилом произведения , т.е. $${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt}$$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}}$$

Общая форма с переменными пределами

Установите , где a и b являются функциями α , которые показывают приращения Δ a и Δ b соответственно, когда α увеличивается на Δ α . Тогда, $${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Форма теоремы о среднем значении , где a < ξ < b , может быть применена к первому и последнему интегралам формулы для Δ φ выше, что приводит к ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$ $${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Разделим на Δ α и пусть Δ α → 0. Обратите внимание, что ξ ₁ → a и ξ ₂ → b . Мы можем перейти к пределу через знак интеграла: снова по теореме об ограниченной сходимости. Это дает общую форму интегрального правила Лейбница, $${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$$ $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$$

Альтернативное доказательство общей формы с переменными пределами, использующее цепное правило

Общая форма интегрального правила Лейбница с переменными пределами может быть выведена как следствие базовой формы интегрального правила Лейбница, правила многомерной цепи и первой фундаментальной теоремы исчисления . Предположим , что определено в прямоугольнике на плоскости, для и . Также предположим, что и частная производная являются непрерывными функциями на этом прямоугольнике. Предположим, что являются дифференцируемыми действительными функциями, определенными на , со значениями в (т.е. для каждого ). Теперь положим и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x-t}$ ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$ $${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}$$ $${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}$$

Тогда, по свойствам определенных интегралов , мы можем записать $${\displaystyle G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))}$$

Так как все функции дифференцируемы (см. замечание в конце доказательства), то по правилу цепочки многих переменных следует, что дифференцируема, а ее производная задается формулой: Теперь заметим, что для каждого и для каждого мы имеем, что , поскольку при взятии частной производной по отношению к , мы сохраняем фиксированным в выражении ; таким образом, применяется основная форма интегрального правила Лейбница с постоянными пределами интегрирования. Далее, по первой основной теореме исчисления мы имеем, что ; поскольку при взятии частной производной по отношению к , первая переменная фиксирована, поэтому основную теорему действительно можно применить. ${\displaystyle F,a,b}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)}$$ ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

Подставляя эти результаты в уравнение выше, получаем: как и требовалось. ${\displaystyle G'(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}$$

В приведенном выше доказательстве есть технический момент, который стоит отметить: применение цепного правила к требует, чтобы уже была дифференцируемой . Именно здесь мы используем наши предположения о . Как упоминалось выше, частные производные от задаются формулами и . Поскольку является непрерывной, ее интеграл также является непрерывной функцией, ^[7] и поскольку также является непрерывной, эти два результата показывают, что обе частные производные от непрерывны. Поскольку непрерывность частных производных подразумевает дифференцируемость функции, ^[8] действительно дифференцируема. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Трехмерная, зависящая от времени форма

В момент времени t поверхность Σ на рисунке 1 содержит набор точек, расположенных вокруг центроида . Функцию можно записать как с независимой от времени. Переменные смещаются в новую систему отсчета, прикрепленную к движущейся поверхности, с началом в . Для жестко перемещающейся поверхности пределы интегрирования тогда не зависят от времени, так что: где пределы интегрирования, ограничивающие интеграл областью Σ, больше не зависят от времени, так что дифференцирование проходит через интегрирование, чтобы воздействовать только на подынтегральное выражение: со скоростью движения поверхности, определяемой как ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}$$

Это уравнение выражает материальную производную поля, то есть производную относительно системы координат, прикрепленной к движущейся поверхности. Найдя производную, переменные можно переключить обратно в исходную систему отсчета. Мы замечаем, что (см. статью о rot ) и что теорема Стокса приравнивает поверхностный интеграл rot по Σ к линейному интегралу по ∂Σ : $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}$$

Знак линейного интеграла основан на правиле правой руки для выбора направления линейного элемента d s . Чтобы установить этот знак, например, предположим, что поле F указывает в положительном направлении z , а поверхность Σ является частью плоскости xy с периметром ∂Σ. Мы принимаем нормаль к Σ в положительном направлении z . Положительный обход ∂Σ тогда происходит против часовой стрелки (правило правой руки с большим пальцем вдоль оси z ). Тогда интеграл в левой части определяет положительный поток F через Σ. Предположим, что Σ перемещается в положительном направлении x со скоростью v . Элемент границы Σ, параллельный оси y , скажем, d s , заметает площадь v t × d s за время t . Если мы интегрируем вокруг границы ∂Σ против часовой стрелки, v t × d s указывает в отрицательном направлении z на левой стороне ∂Σ (где d s указывает вниз) и в положительном направлении z на правой стороне ∂Σ (где d s указывает вверх), что имеет смысл, поскольку Σ движется вправо, добавляя площадь справа и теряя ее слева. На этой основе поток F увеличивается справа от ∂Σ и уменьшается слева. Однако скалярное произведение v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d s . Следовательно, знак линейного интеграла принимается отрицательным.

Если v — константа, то какой результат указан. Это доказательство не рассматривает возможность деформации поверхности при ее движении. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$$

Альтернативное происхождение

Лемма. Имеем: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}$$

Доказательство. Из доказательства основной теоремы исчисления ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}$$и $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}$$

Предположим, что a и b постоянны, и что f ( x ) включает параметр α , который постоянен при интегрировании, но может изменяться для формирования различных интегралов. Предположим, что f ( x , α ) является непрерывной функцией x и α в компактном множестве {( x , α ) : α ₀ ≤ α ≤ α ₁ и a ≤ x ≤ b }, и что частная производная f _α ( x , α ) существует и непрерывна. Если определить: то можно дифференцировать по α , дифференцируя под знаком интеграла, т. е. $${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

По теореме Гейне–Кантора он равномерно непрерывен в этом множестве. Другими словами, для любого ε > 0 существует Δ α такое, что для всех значений x в [ a , b ], $${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$$

С другой стороны, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}$$

Следовательно, φ ( α ) является непрерывной функцией.

Аналогично, если существует и является непрерывным, то для всех ε > 0 существует Δ α такое, что: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}$ $${\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$$

Поэтому, где $${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$$ $${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$$

Теперь ε → 0 при Δ α → 0, поэтому $${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Это формула, которую мы намеревались доказать.

Теперь предположим, что a и b являются функциями α , которые принимают приращения Δ a и Δ b соответственно, когда α увеличивается на Δ α . Тогда, $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Форму теоремы о среднем значении , где a < ξ < b , можно применить к первому и последнему интегралам формулы для Δ φ выше, что приводит к ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$ $${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Разделив на Δ α , допуская Δ α → 0, замечая ξ ₁ → a и ξ ₂ → b и используя приведенный выше вывод, получаем $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}$$ $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$$

Это общая форма интегрального правила Лейбница.

Примеры

Пример 1: Фиксированные лимиты

Рассмотрим функцию $${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}$$

Функция под знаком интеграла не является непрерывной в точке ( x , α ) = (0, 0), а функция φ ( α ) имеет разрыв при α = 0, поскольку φ ( α ) стремится к ± π /2 при α → 0 ^± .

Если мы дифференцируем φ ( α ) по α под знаком интеграла, то получим для α ≠0. Это можно проинтегрировать (по α ), чтобы найти $${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$$ $${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}$$

Пример 2: Переменные пределы

Пример с переменными пределами: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}$$

Приложения

Оценка определенных интегралов

Формула может быть полезна при оценке некоторых определенных интегралов. При использовании в этом контексте интегральное правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла также известно как трюк Фейнмана для интегрирования. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt}$$

Пример 3

Учитывать $${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.}$$

Сейчас, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}$$

Так как изменяется от до , то имеем ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

Следовательно, $${\displaystyle \left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

Поэтому,

$${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

Интегрируя обе части по , получаем: ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

${\displaystyle C_{1}=0}$следует из оценки : ${\displaystyle \varphi (0)}$ $${\displaystyle \varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.}$$

Чтобы определить таким же образом, нам нужно подставить значение больше 1 в . Это несколько неудобно. Вместо этого мы подставляем , где . Тогда, ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$ ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}$ ${\displaystyle |\beta |<1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}}$$

Поэтому, ${\displaystyle C_{2}=0}$

Определение теперь завершено: ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$ $${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

Приведенное выше обсуждение, конечно, неприменимо, когда , поскольку условия дифференцируемости не выполняются. ${\displaystyle \alpha =\pm 1}$

Пример 4

$${\displaystyle I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.}$$

Сначала вычисляем: $${\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}}$$

Поскольку пределы интегрирования не зависят от , то имеем: ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx}$$

С другой стороны: $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}$$

Приравнивая эти два отношения, получаем $${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}$$

Аналогичным образом, преследуя доходность ${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial b}}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.}$$

Затем сложение двух результатов дает результат , который вычисляется так, как и требовалось. $${\displaystyle I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),}$$ ${\displaystyle I}$

Этот вывод может быть обобщен. Обратите внимание, что если мы определим , то можно легко показать, что $${\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,}$$ $${\displaystyle (1-n)I_{n}={\frac {\partial I_{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial I_{n-1}}{\partial b}}}$$

Учитывая , эта формула интегральной редукции может быть использована для вычисления всех значений для . Интегралы типа и также могут быть обработаны с использованием подстановки Вейерштрасса . ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Пример 5

Здесь мы рассматриваем интеграл $${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .}$$

Дифференцируя под знаком интеграла по , имеем ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}I(\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}}$$

Поэтому: $${\displaystyle I(\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}$$

Но по определению так и ${\textstyle I{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0}$ ${\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$ $${\displaystyle I(\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}$$

Пример 6

Здесь мы рассматриваем интеграл $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .}$$

Введем новую переменную φ и перепишем интеграл в виде $${\displaystyle f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .}$$

При φ = 1 это равно исходному интегралу. Однако этот более общий интеграл можно продифференцировать по : ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left[e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right]d\theta =\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta .}$$

Теперь зафиксируем φ и рассмотрим векторное поле на , определенное с помощью . Далее, выберем положительно ориентированную параметризацию единичной окружности, заданную с помощью , , так что . Тогда окончательный интеграл выше — это в точности линейный интеграл от . По теореме Грина это равно двойному интегралу , где — замкнутый единичный круг . Его подынтегральное выражение тождественно равно 0, поэтому также тождественно равно нулю. Это означает, что f ( φ ) является константой. Константа может быть определена путем вычисления в : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }{\begin{bmatrix}e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta )\\e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\{\hphantom {-}}\cos \theta \end{bmatrix}}\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ $${\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle df/d\varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ $${\displaystyle f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .}$$

Следовательно, исходный интеграл также равен . ${\displaystyle 2\pi }$

Другие проблемы, требующие решения

Существует бесчисленное множество других интегралов, которые можно решить с помощью техники дифференцирования под знаком интеграла. Например, в каждом из следующих случаев исходный интеграл можно заменить аналогичным интегралом с новым параметром : ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}}$$

Первый интеграл, интеграл Дирихле , абсолютно сходится при положительном α , но сходится лишь условно, когда . Поэтому дифференцирование под знаком интеграла легко обосновать, когда , но доказательство того, что полученная формула остается справедливой, когда требует некоторой тщательной работы. ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Бесконечный ряд

Теоретико-мерная версия дифференциации под знаком интеграла также применяется к суммированию (конечному или бесконечному), интерпретируя суммирование как подсчет меры . Примером применения является тот факт, что степенные ряды дифференцируемы по своему радиусу сходимости. ^{[ необходима цитата ]}

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Интегральное правило Лейбница используется при выводе уравнения Эйлера-Лагранжа в вариационном исчислении .

В популярной культуре

Дифференциация под знаком интеграла упоминается в бестселлере покойного физика Ричарда Фейнмана «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» в главе «Другой ящик инструментов». Он описывает, как изучал ее, будучи в старшей школе , по старому тексту «Advanced Calculus» (1926) Фредерика С. Вудса (который был профессором математики в Массачусетском технологическом институте ). Эту технику нечасто преподавали, когда Фейнман позже получил формальное образование в области исчисления , но, используя эту технику, Фейнман смог решить сложные задачи по интеграции по прибытии в аспирантуру Принстонского университета :

Единственное, чему я так и не научился, так это контурному интегрированию . Я научился делать интегралы разными методами, показанными в книге, которую мне дал мой школьный учитель физики мистер Бадер. Однажды он сказал мне остаться после уроков. «Фейнман, — сказал он, — ты слишком много говоришь и слишком много шумишь. Я знаю почему. Тебе скучно. Поэтому я дам тебе книгу. Ты идешь туда, в конец класса, в угол, и изучаешь эту книгу, и когда ты будешь знать все, что в ней написано, ты снова сможешь говорить». Поэтому на каждом уроке физики я не обращал внимания на то, что происходит с законом Паскаля или чем они там занимаются. Я сидел в конце класса с этой книгой: «Расширенное исчисление» Вудса. Бадер знал, что я немного изучал «Исчисление для практиков», поэтому он дал мне настоящие работы — это было для третьего или последнего курса в колледже. Там были ряды Фурье , функции Бесселя , определители , эллиптические функции — все виды замечательных вещей, о которых я ничего не знал. В этой книге также было показано, как дифференцировать параметры под знаком интеграла — это определенная операция. Оказывается, этому не очень-то учат в университетах; они не делают на этом акцента. Но я понял, как использовать этот метод, и я использовал этот чертов инструмент снова и снова. Так что, поскольку я был самоучкой с помощью этой книги, у меня были особые методы вычисления интегралов. В результате, когда у парней в MIT или Принстоне возникали проблемы с вычислением определенного интеграла, это было потому, что они не могли сделать это стандартными методами, которым их научили в школе. Если это было контурное интегрирование, они бы его нашли; если это было простое разложение в ряд, они бы его нашли. Затем я прихожу и пробую дифференцировать под знаком интеграла, и часто это срабатывало. Так что я получил отличную репутацию в вычислении интегралов, только потому, что мой набор инструментов отличался от всех остальных, и они перепробовали все свои инструменты, прежде чем дать мне задачу.

Смотрите также

• Математический портал

• Правило цепочки
• Дифференцирование интегралов
• Правило Лейбница (обобщенное правило произведения)
• Теорема Рейнольдса о переносе , обобщение правила Лейбница

Ссылки

1. Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1985). «Дифференциация под знаком интеграла». Intermediate Calculus (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 421–426. doi :10.1007/978-1-4612-1086-3. ISBN 978-0-387-96058-6.
2. Talvila, Erik (июнь 2001 г.). «Необходимые и достаточные условия для дифференцирования под знаком интеграла». American Mathematical Monthly . 108 (6): 544–548. arXiv : math/0101012 . doi :10.2307/2695709. JSTOR  2695709 . Получено 16 апреля 2022 г. .
3. Абрахам, Макс; Беккер, Ричард (1950). Классическая теория электричества и магнетизма (2-е изд.). Лондон: Blackie & Sons. С. 39–40.
4. Flanders, Harly (июнь–июль 1973 г.). «Дифференциация под знаком интеграла» (PDF) . American Mathematical Monthly . 80 (6): 615–627. doi :10.2307/2319163. JSTOR  2319163.
5. Фолланд, Джеральд (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 56. ISBN 978-0-471-31716-6.
6. Ченг, Стив (6 сентября 2010 г.). Дифференцирование под знаком интеграла со слабыми производными (Отчет). CiteSeerX. CiteSeerX 10.1.1.525.2529 . 
7. Спивак, Майкл (1994). Calculus (3-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc. стр. 267–268. ISBN 978-0-914098-89-8.
8. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях . Addison-Wesley Publishing Company. стр. 31. ISBN 978-0-8053-9021-6.

Дальнейшее чтение

• Амазиго, Джон К.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Одиночные интегралы: правило Лейбница; численное интегрирование». Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences . New York: Wiley. pp. 155–165. ISBN 0-471-04934-4.
• Каплан, Вильфред (1973). «Интегралы, зависящие от параметра — правило Лейбница». Advanced Calculus (2-е изд.). Чтение: Addison-Wesley. стр. 285–288.

Внешние ссылки

• Харрон, Роб. «Правило Лейбница» (PDF) . MAT-203 .