В математике интегральное преобразование — это тип преобразования, которое отображает функцию из ее исходного функционального пространства в другое функциональное пространство посредством интегрирования , где некоторые свойства исходной функции могут быть более легко охарактеризованы и обработаны, чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованная функция, как правило, может быть отображена обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования .
Интегральным преобразованием является любое преобразование следующего вида:
Вход этого преобразования — функция , а выход — другая функция . Интегральное преобразование — это особый вид математического оператора .
Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждое из них определяется выбором функции двух переменных , которая называется ядром или ядром преобразования.
Некоторые ядра имеют связанное с ними обратное ядро, которое (грубо говоря) дает обратное преобразование:
Симметричное ядро — это ядро, которое остается неизменным при перестановке двух переменных; это функция ядра, такая что . В теории интегральных уравнений симметричные ядра соответствуют самосопряженным операторам . [1]
Существует множество классов задач, которые трудно решить — или, по крайней мере, довольно громоздко алгебраически — в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «отображает» уравнение из его исходной «области» в другую область, в которой манипулирование и решение уравнения могут быть намного проще, чем в исходной области. Затем решение может быть отображено обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.
Существует много приложений вероятности, которые опираются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования , или сглаживание данных, восстановленных из надежных статистик; см. ядро (статистика) .
Предшественником преобразований были ряды Фурье для выражения функций в конечных интервалах. Позднее преобразование Фурье было разработано для устранения требования конечных интервалов.
Используя ряд Фурье, практически любую практическую функцию времени ( например, напряжение на клеммах электронного устройства ) можно представить в виде суммы синусов и косинусов , каждый из которых соответствующим образом масштабирован (умножен на постоянный коэффициент), смещен (опережен или замедлен во времени) и «сжат» или «растянут» (увеличивая или уменьшая частоту). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированного базиса .
В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим преобразование Лапласа . Это метод, который отображает дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения в области «времени» в полиномиальные уравнения в так называемой области «комплексной частоты» . (Комплексная частота похожа на фактическую, физическую частоту, но является более общей. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = − σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно , скорости, с которой циклирует синусоида, тогда как действительная составляющая σ комплексной частоты соответствует степени «затухания», т. е. экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, представленное в терминах комплексной частоты, легко решается в комплексной частотной области (корни полиномиальных уравнений в комплексной частотной области соответствуют собственным значениям во временной области), что приводит к «решению», сформулированному в частотной области. Используя обратное преобразование , т. е . обратную процедуру исходного преобразования Лапласа, получаем решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенным рядам во временной области, тогда как аксиальные сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию затухающими экспонентами во временной области.
Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и, в частности, в электротехнике, где характеристические уравнения , описывающие поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутых во времени затухающих синусоид во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.
Другим примером использования является ядро в интеграле по траектории :
Это означает, что полная амплитуда, к которой нужно прийти, является суммой (интегралом) по всем возможным значениям полной амплитуды , чтобы прийти в точку, умноженной на амплитуду, чтобы перейти от к [ т.е. ] . [2] Его часто называют пропагатором для данной системы. Это (физическое) ядро является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро. [3]
В пределах интегрирования для обратного преобразования c является константой, которая зависит от природы функции преобразования. Например, для одностороннего и двустороннего преобразования Лапласа c должно быть больше наибольшей действительной части нулей функции преобразования.
Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.
Здесь интегральные преобразования определены для функций действительных чисел, но их можно определить и в более общем виде для функций группы.
Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором , поскольку интеграл является линейным оператором, и фактически, если ядро может быть обобщенной функцией , то все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (правильно сформулированная версия этого утверждения — теорема о ядре Шварца ).
Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма . В этой теории ядро понимается как компактный оператор, действующий на банаховом пространстве функций. В зависимости от ситуации ядро тогда по-разному называют оператором Фредгольма , ядерным оператором или ядром Фредгольма .
