Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост происходит, когда величина растет со скоростью, прямо пропорциональной ее текущему размеру. Например, когда она в 3 раза больше, чем сейчас, она будет расти в 3 раза быстрее, чем сейчас.

На более техническом языке, мгновенная скорость изменения (то есть производная ) величины по отношению к независимой переменной пропорциональна самой величине. Часто независимой переменной является время. Описанная как функция , величина, подвергающаяся экспоненциальному росту, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является экспонентой (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Экспоненциальный рост является обратным логарифмическому росту .

Не все случаи роста с постоянно увеличивающейся скоростью являются примерами экспоненциального роста. Например, функция растет с постоянно увеличивающейся скоростью, но очень далека от экспоненциального роста. Например, когда она растет в 3 раза от своего размера, но когда она растет на 30% от своего размера. Если экспоненциально растущая функция растет со скоростью, которая в 3 раза больше ее настоящего размера, то она всегда растет со скоростью, которая в 3 раза больше ее настоящего размера. Когда она в 10 раз больше, чем сейчас, она будет расти в 10 раз быстрее. ${\textstyle f(x)=x^{3}}$ ${\textstyle x=1,}$ ${\textstyle x=10}$

Если константа пропорциональности отрицательна, то величина уменьшается со временем, и говорят, что она подвергается экспоненциальному распаду . В случае дискретной области определения с равными интервалами это также называется геометрическим ростом или геометрическим распадом , поскольку значения функции образуют геометрическую прогрессию .

Формула для экспоненциального роста переменной $x$ со скоростью роста $r$ , по мере того как время $t$ продолжается дискретными интервалами (то есть в целые числа, умноженные на 0, 1, 2, 3, ...), имеет вид

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

где $x 0$ — значение $x$ в момент времени 0. Для иллюстрации часто используют рост бактериальной колонии . Одна бактерия делится на две, каждая из которых делится на четыре, затем на восемь, 16, 32 и так далее. Количество прироста продолжает увеличиваться, поскольку оно пропорционально постоянно растущему числу бактерий. Такой рост наблюдается в реальной жизни или явлениях, таких как распространение вирусной инфекции, рост задолженности из-за сложных процентов и распространение вирусных видеороликов . В реальных случаях первоначальный экспоненциальный рост часто не длится вечно, а в конечном итоге замедляется из-за верхних пределов, вызванных внешними факторами, и превращается в логистический рост .

Термины типа «экспоненциальный рост» иногда неправильно интерпретируются как «быстрый рост». Действительно, то, что растет экспоненциально, может на самом деле расти медленно поначалу. ^[1]^[2]

Примеры

Бактерии демонстрируют экспоненциальный рост в оптимальных условиях.

Биология

Количество микроорганизмов в культуре будет увеличиваться экспоненциально до тех пор, пока необходимое питательное вещество не исчерпается, так что больше не останется этого питательного вещества для роста большего количества организмов. Обычно первый организм разделяется на два дочерних организма, которые затем разделяются на четыре, которые разделяются на восемь и так далее. Поскольку экспоненциальный рост указывает на постоянную скорость роста, часто предполагается, что экспоненциально растущие клетки находятся в устойчивом состоянии. Однако клетки могут расти экспоненциально с постоянной скоростью, при этом перестраивая свой метаболизм и экспрессию генов. ^[3]
Вирус (например, COVID-19 или оспа ) обычно сначала распространяется экспоненциально, если нет искусственной иммунизации . Каждый инфицированный человек может заразить несколько новых людей.

Физика

Лавинный пробой в диэлектрическом материале. Свободный электрон становится достаточно ускоренным внешним электрическим полем , что освобождает дополнительные электроны при столкновении с атомами или молекулами диэлектрической среды. Эти вторичные электроны также ускоряются, создавая большее количество свободных электронов. Результирующий экспоненциальный рост электронов и ионов может быстро привести к полному диэлектрическому пробою материала.
Ядерная цепная реакция (концепция, лежащая в основе ядерных реакторов и ядерного оружия ). Каждое ядро урана , которое подвергается делению, производит несколько нейтронов , каждый из которых может быть поглощен соседними атомами урана, заставляя их делиться в свою очередь. Если вероятность поглощения нейтронов превышает вероятность выхода нейтронов (функция формы и массы урана ) , скорость производства нейтронов и индуцированных делений урана увеличивается экспоненциально, в неконтролируемой реакции. «Из-за экспоненциальной скорости увеличения, в любой точке цепной реакции 99% энергии будет высвобождено за последние 4,6 поколения. Разумно считать первые 53 поколения латентным периодом, ведущим к реальному взрыву, который занимает всего 3–4 поколения». ^[4]
Положительная обратная связь в линейном диапазоне электрического или электроакустического усиления может привести к экспоненциальному росту усиленного сигнала, хотя резонансные эффекты могут благоприятствовать некоторым частотам компонентов сигнала по сравнению с другими.

Экономика

Экономический рост выражается в процентах, что подразумевает экспоненциальный рост.

Финансы

Сложные проценты при постоянной процентной ставке обеспечивают экспоненциальный рост капитала. ^[5] См. также правило 72 .
Финансовые пирамиды или схемы Понци также демонстрируют этот тип роста, приводящий к высокой прибыли для немногих первоначальных инвесторов и убыткам для большого числа инвесторов.

Информатика

Вычислительная мощность компьютеров. См. также закон Мура и технологическая сингулярность . (При экспоненциальном росте сингулярностей не существует. Сингулярность здесь — метафора, призванная передать невообразимое будущее. Связь этой гипотетической концепции с экспоненциальным ростом наиболее громко озвучена футуристом Рэем Курцвейлом .)
В теории вычислительной сложности компьютерные алгоритмы экспоненциальной сложности требуют экспоненциально увеличивающегося количества ресурсов (например, времени, памяти компьютера) только для постоянного увеличения размера задачи. Так, для алгоритма временной сложности $2 x$ , если задача размера $x = 10$ требует 10 секунд для завершения, а задача размера $x = 11$ требует 20 секунд, то задача размера $x = 12$ потребует 40 секунд. Этот вид алгоритма обычно становится непригодным для очень малых размеров задачи, часто от 30 до 100 элементов (большинство компьютерных алгоритмов должны иметь возможность решать гораздо большие задачи, до десятков тысяч или даже миллионов элементов за разумное время, что было бы физически невозможно с экспоненциальным алгоритмом). Кроме того, эффекты закона Мура не сильно помогают ситуации, поскольку удвоение скорости процессора просто увеличивает допустимый размер задачи на константу. Например, если медленный процессор может решать задачи размера $x$ за время $t$ , то процессор вдвое быстрее сможет решать задачи размера $x + const$ только за то же время $t$ . Поэтому экспоненциально сложные алгоритмы чаще всего непрактичны, и поиск более эффективных алгоритмов является одной из центральных целей компьютерной науки сегодня.

Интернет-феномены

Интернет-контент, такой как интернет-мемы или видео , может распространяться в геометрической прогрессии, часто называемой « вирусным » по аналогии с распространением вирусов. ^[6] С помощью таких медиа, как социальные сети , один человек может пересылать один и тот же контент многим людям одновременно, которые затем распространяют его среди еще большего количества людей, и так далее, вызывая быстрое распространение. ^[7] Например, видео Gangnam Style было загружено на YouTube 15 июля 2012 года, достигнув сотен тысяч зрителей в первый день, миллионов на двадцатый день, и было просмотрено сотнями миллионов менее чем за два месяца. ^[6]^[8]

Основная формула

Величина $x$ экспоненциально зависит от времени $t,$ если где константа $a$ — начальное значение $x$ , константа $b$ — положительный коэффициент роста, а $τ$ — постоянная времени — время, необходимое для увеличения $x в один раз по отношению к$ $b$ : $x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$ $x(0)=a\,,$ $x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.$

Если $τ > 0$ и $b > 1$ , то $x$ имеет экспоненциальный рост. Если $τ < 0$ и $b > 1$ , или $τ > 0$ и $0 < b < 1$ , то $x$ имеет экспоненциальный спад .

Пример: Если вид бактерий удваивается каждые десять минут, начиная с одной бактерии, сколько бактерий будет присутствовать через час? Вопрос подразумевает $a = 1$ , $b = 2$ и $τ = 10 мин$ .

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}$ $x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.$

Через один час или шесть десятиминутных интервалов будет шестьдесят четыре бактерии.

Множество пар $(b, τ)$ безразмерного неотрицательного числа $b$ и количества времени $τ$ ( физическая величина , которая может быть выражена как произведение числа единиц и единицы времени) представляют один и тот же темп роста, причем $τ$ пропорционален $log b$ . Для любого фиксированного $b,$ не равного 1 (например, e или 2), темп роста задается ненулевым временем $τ$ . Для любого ненулевого времени $τ$ темп роста задается безразмерным положительным числом $b$ .

Таким образом, закон экспоненциального роста можно записать в различных, но математически эквивалентных формах, используя различное основание . Наиболее распространенными формами являются следующие: где $x$ $0$ выражает начальную величину $x$ $(0)$ . $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},$

Параметры (отрицательные в случае экспоненциального затухания):

Константа роста $k$ — это частота (количество раз за единицу времени) роста в множитель $e$ ; в финансах ее также называют логарифмической доходностью, непрерывно начисляемой доходностью или силой процента .
Время e-свертки τ — это время, необходимое для роста в e раз .
Время удвоения T — это время, необходимое для удвоения.
Процентное увеличение $r$ (безразмерное число) за период $p$ .

Величины $k$ , $τ$ и $T$ , а для заданного $p$ также $r$ , имеют однозначную связь, заданную следующим уравнением (которое можно вывести, взяв натуральный логарифм от приведенного выше уравнения): где $k$ $= 0$ соответствует $r$ $= 0$ , а $τ$ и $T$ равны бесконечности. $k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}$

Если $p$ — единица времени, то частное $t / p$ — это просто число единиц времени. Используя обозначение $t$ для (безразмерного) числа единиц времени, а не самого времени, $t / p$ можно заменить на $t$ , но для единообразия здесь этого избегают. В этом случае деление на $p$ в последней формуле также не является числовым делением, а преобразует безразмерное число в правильную величину, включая единицу.

Популярным приближенным методом расчета времени удвоения по скорости роста является правило 70 , то есть . $T\simeq 70/r$

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), а также их приближения 70/ t и 72/ t . В версии SVG наведите курсор на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Переформулирование как логарифмически-линейный рост

Если переменная $x$ демонстрирует экспоненциальный рост согласно , то логарифм (по любому основанию) $x$ растет линейно с течением времени, что можно увидеть, взяв логарифмы обеих частей уравнения экспоненциального роста: $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ $\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

Это позволяет моделировать экспоненциально растущую переменную с помощью логлинейной модели . Например, если кто-то хочет эмпирически оценить темпы роста на основе межвременных данных по $x$ , он может выполнить линейную регрессию $log x$ по $t$ .

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальная функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению : утверждающему, что изменение за каждый момент времени $x$ в момент времени $t$ пропорционально значению $x$ $($ $t$ $)$ , а $x$ $($ $t$ $)$ имеет начальное значение . $x(t)=x_{0}e^{kt}$ ${\frac {dx}{dt}}=kx$ $x(0)=x_{0}$

Дифференциальное уравнение решается прямым интегрированием: так что ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}$ $x(t)=x_{0}e^{kt}.$

В приведенном выше дифференциальном уравнении, если $k < 0$ , то величина испытывает экспоненциальный убыль .

Для нелинейной вариации этой модели роста см. логистическую функцию .

Другие темпы роста

В долгосрочной перспективе экспоненциальный рост любого вида обгонит линейный рост любого вида (который является основой мальтузианской катастрофы ), а также любой полиномиальный рост, то есть для всех $α$ : $\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.$

Существует целая иерархия мыслимых темпов роста, которые медленнее экспоненциального и быстрее линейного (в долгосрочной перспективе). См. Степень полинома § Вычисляется по значениям функции .

Темпы роста также могут быть быстрее экспоненциальных. В самом крайнем случае, когда рост увеличивается без ограничений за конечное время, это называется гиперболическим ростом . Между экспоненциальным и гиперболическим ростом лежат другие классы поведения роста, такие как гипероперации , начинающиеся при тетрации , и , диагональ функции Аккермана . $A(n,n)$

Логистический рост

В действительности, начальный экспоненциальный рост часто не поддерживается вечно. Через некоторое время он будет замедлен внешними или экологическими факторами. Например, рост населения может достичь верхнего предела из-за ограниченности ресурсов. ^[9] В 1845 году бельгийский математик Пьер Франсуа Верхюльст впервые предложил математическую модель роста, подобную этой, названную « логистическим ростом ». ^[10]

Ограничения моделей

Модели экспоненциального роста физических явлений применимы только в ограниченных областях, поскольку неограниченный рост физически нереалистичен. Хотя рост изначально может быть экспоненциальным, моделируемые явления в конечном итоге войдут в область, в которой ранее игнорированные факторы отрицательной обратной связи станут значимыми (что приведет к модели логистического роста ) или другие базовые предположения модели экспоненциального роста, такие как непрерывность или мгновенная обратная связь, нарушатся.

Смещение экспоненциального роста

Исследования показывают, что людям трудно понять экспоненциальный рост. Предвзятость экспоненциального роста — это тенденция недооценивать процессы сложного роста. Эта предвзятость может иметь и финансовые последствия. ^[11]

Рис на шахматной доске

Согласно легенде, визирь Сисса Бен Дахир подарил индийскому королю Шариму прекрасную шахматную доску ручной работы . Король спросил, что бы он хотел взамен на свой подарок, и придворный удивил короля, попросив одно зерно риса на первой клетке, два зерна на второй, четыре зерна на третьей и так далее. Король с готовностью согласился и попросил принести рис. Сначала все шло хорошо, но требование $2 n -1$ зерна на $n$ -й клетке требовало более миллиона зерен на 21-й клетке, более миллиона миллионов ( или триллиона ) на 41-й, и во всем мире просто не хватило риса для последних клеток. (Из Swirski, 2006) ^[12]

« Вторая половина шахматной доски » относится к периоду, когда экспоненциально растущее влияние оказывает существенное экономическое воздействие на общую бизнес-стратегию организации.

Водяная лилия

Французским детям предлагают загадку, которая, по-видимому, является аспектом экспоненциального роста: «очевидная внезапность, с которой экспоненциально растущее количество приближается к фиксированному пределу». Загадка представляет собой водяную лилию, растущую в пруду. Растение удваивается в размере каждый день, и если его оставить в покое, оно задушит пруд за 30 дней, убив все живое в воде. День за днем рост растения невелик, поэтому решается, что оно не будет вызывать беспокойства, пока не покроет половину пруда. Какой это будет день? 29-й день, оставшийся всего один день, чтобы спасти пруд. ^[13]^[12]

Смотрите также

Ссылки

^ Сури, Манил (4 марта 2019 г.). «Мнение | Перестаньте говорить «экспоненциальный». С уважением, математический ботаник». The New York Times .
^ "10 научных слов, которые вы, вероятно, используете неправильно". HowStuffWorks . 11 июля 2014 г.
^ Славов, Николай; Будник, Богдан А.; Шваб, Дэвид; Айролди, Эдоардо М .; ван Ауденарден, Александр (2014). «Постоянная скорость роста может поддерживаться за счет снижения потока энергии и увеличения аэробного гликолиза». Cell Reports . 7 (3): 705–714. doi :10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626 . PMID 24767987.
^ Sublette, Carey. "Введение в физику и проектирование ядерного оружия". Архив ядерного оружия . Получено 26 мая 2009 г.
^ Краудер, Эванс и Ноэлл 2008, стр. 314–315.
^ ab Ариэль Синтрон-Ариас (2014). «To Go Viral». arXiv : 1402.3499 [physics.soc-ph].
^ Карин Нахон; Джефф Хемсли (2013). Going Viral. Polity. стр. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1.
^ YouTube (2012). «Gangnam Style против Call Me Maybe: сравнение популярности». Тенденции YouTube .
^ Краудер, Брюс; Эванс, Бенни; Ноэлл, Алан (2008). Функции и изменения: модельный подход к алгебре в колледже. Houghton Mifflin Harcourt. стр. 398. ISBN 978-1-111-78502-4.
^ Бернстайн, Рут (2003). Экология популяции: Введение в компьютерное моделирование. John Wiley & Sons. стр. 37. ISBN 978-0-470-85148-7.
^ Станго, Виктор; Зинман, Джонатан (2009). «Экспоненциальный рост и финансы домохозяйств». Журнал финансов . 64 (6): 2807–2849. doi :10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.
^ ab Porritt, Jonathan (2005). Капитализм: как будто мир имеет значение . Лондон: Earthscan. стр. 49. ISBN 1-84407-192-8.
^ Медоуз, Донелла (2004). Пределы роста: 30-летнее обновление . Chelsea Green Publishing. стр. 21. ISBN 9781603581554.

Источники

Медоуз, Донелла. Рандерс, Йорген. Медоуз, Деннис. Пределы роста : 30-летнее обновление. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN 9781603581554
Медоуз, Донелла Х., Деннис Л. Медоуз, Йорген Рандерс и Уильям В. Беренс III. (1972) Пределы роста . Нью-Йорк: University Books. ISBN 0-87663-165-0
Порритт, Дж. Капитализм, как будто мир имеет значение , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Свирски, Питер. О литературе и знаниях: исследования в области нарративных мысленных экспериментов, эволюции и теории игр . Нью-Йорк: Routledge. ISBN 0-415-42060-1
Томсон, Дэвид Г. План миллиарда: 7 основных принципов достижения экспоненциального роста , Wiley, декабрь 2005 г., ISBN 0-471-74747-5
Цирель, С. В. 2004. О возможных причинах гиперэкспоненциального роста населения Земли // Математическое моделирование социальной и экономической динамики / Под ред. М. Г. Дмитриева и А. П. Петрова, С. 367–39. М.: Российский государственный социальный университет, 2004.

Внешние ссылки

Рост в конечном мире – Устойчивость и экспоненциальная функция — Презентация
Доктор Альберт Бартлетт: Арифметика, население и энергия — потоковое видео и аудио 58 мин.