stringtranslate.com

Слабая топология

В математике слабая топология — это альтернативный термин для некоторых начальных топологий , часто на топологических векторных пространствах или пространствах линейных операторов , например, на гильбертовом пространстве . Этот термин чаще всего используется для начальной топологии топологического векторного пространства (такого как нормированное векторное пространство ) относительно его непрерывного сопряженного . Оставшаяся часть этой статьи будет посвящена этому случаю, который является одним из понятий функционального анализа .

Подмножества топологического векторного пространства можно назвать слабо замкнутыми (соответственно, слабо компактными и т. д.), если они замкнуты (соответственно, компактны и т. д.) относительно слабой топологии. Аналогично функции иногда называют слабо непрерывными (соответственно, слабо дифференцируемыми , слабо аналитическими и т. д.), если они непрерывны (соответственно, дифференцируемы , аналитическими и т. д.) относительно слабой топологии.

История

Начиная с начала 1900-х годов, Давид Гильберт и Марсель Рисс широко использовали слабую сходимость. Ранние пионеры функционального анализа не возвышали норменную сходимость над слабой сходимостью и часто считали слабую сходимость предпочтительной. [1] В 1929 году Банах ввел слабую сходимость для нормированных пространств, а также ввел аналогичную слабую-* сходимость . [1] Слабая топология называется topologie faible на французском языке и schwache Topologie на немецком языке.

Слабая и сильная топологии

Пусть будет топологическим полем , а именно полем с топологией, такой что сложение, умножение и деление непрерывны . В большинстве приложений будет либо полем комплексных чисел , либо полем действительных чисел со знакомыми топологиями.

Слабая топология относительно спаривания

И слабая топология, и слабая* топология являются частными случаями более общей конструкции для пар , которую мы сейчас опишем. Преимущество этой более общей конструкции в том, что любое определение или результат, доказанный для нее, применим как к слабой топологии, так и к слабой* топологии, тем самым делая излишней необходимость во многих определениях, теоремных утверждениях и доказательствах. Это также причина, по которой слабую* топологию также часто называют «слабой топологией»; потому что это всего лишь пример слабой топологии в контексте этой более общей конструкции.

Предположим, что ( X , Y , b ) — это пара векторных пространств над топологическим полем (т.е. X и Y — векторные пространства над , а b  : X × Y — это билинейное отображение ).

Обозначение. Для всех xX пусть b ( x , •) : Y обозначает линейный функционал на Y , определяемый соотношением yb ( x , y ) . Аналогично, для всех yY пусть b ( •, y ) : X определяется соотношением xb ( x , y ) .
Определение. Слабая топология на X, индуцированная Yb ), является слабейшей топологией на X , обозначаемой 𝜎( X , Y , b ) или просто 𝜎( X , Y ) , что делает все отображения b (•, y ) : X непрерывными, поскольку y пробегает Y . [1]

Слабая топология на Y теперь автоматически определяется, как описано в статье Двойственная система . Однако для ясности мы теперь повторяем это.

Определение. Слабая топология на Y, индуцированная Xb ), является слабейшей топологией на Y , обозначаемой 𝜎( Y , X , b ) или просто 𝜎( Y , X ) , что делает все отображения b ( x , •) : Y непрерывными, поскольку x пробегает X . [1]

Если поле имеет абсолютное значение | | , то слабая топология 𝜎( X , Y , b ) на X индуцируется семейством полунорм , p y  : X , определяемым соотношением

p y ( x ) := | b ( x , y ) |

для всех yY и xX. Это показывает, что слабые топологии локально выпуклы .

Предположение. В дальнейшем мы будем предполагать, что это либо действительные числа , либо комплексные числа .

Каноническая двойственность

Теперь рассмотрим частный случай, когда Y является векторным подпространством алгебраического сопряженного пространства X (т.е. векторным пространством линейных функционалов на X ).

Существует спаривание, обозначаемое как или , называемое каноническим спариванием , чье билинейное отображение является каноническим оценочным отображением , определяемым для всех и . Обратите внимание, в частности, что это просто другой способ обозначения ie .

Предположение. Если Y является векторным подпространством алгебраического сопряженного пространства X , то мы будем предполагать, что они связаны с каноническим спариванием X , Y .

В этом случае слабая топология на X (соответственно слабая топология на Y ), обозначаемая как 𝜎( X , Y ) (соответственно 𝜎( Y , X ) ), является слабой топологией на X (соответственно на Y ) относительно канонического спаривания X , Y .

Топология σ( X , Y ) является начальной топологией X относительно Y .

Если Y — векторное пространство линейных функционалов на X , то непрерывное сопряженное пространство X относительно топологии σ( X , Y ) в точности равно Y . [1] (Рудин 1991, Теорема 3.10)

Слабая и слабая* топологии

Пусть Xтопологическое векторное пространство (TVS) над , то есть Xвекторное пространство, снабженное топологией, так что сложение векторов и скалярное умножение непрерывны. Мы называем топологию, которую X начинает с исходной , начальной или заданной топологией (читатель предостерегается от использования терминов « исходная топология » и « сильная топология » для обозначения исходной топологии, поскольку они уже имеют хорошо известные значения, поэтому их использование может вызвать путаницу). Мы можем определить возможно другую топологию на X , используя топологическое или непрерывное сопряженное пространство , которое состоит из всех линейных функционалов из X в базовое поле , которые непрерывны относительно заданной топологии.

Напомним, что — каноническая оценочная карта, определяемая для всех и , где, в частности, .

Определение. Слабая топология на X — это слабая топология на X относительно канонического спаривания . То есть, это самая слабая топология на X, делающая все отображения непрерывными, поскольку пробегает . [1]
Определение : Слабая топология на — это слабая топология на относительно канонического спаривания . То есть, это самая слабая топология на, делающая все отображения непрерывными, так как x пробегает X. [1] Эта топология также называется слабой* топологией .

Ниже мы приводим альтернативные определения.

Слабая топология, индуцированная непрерывным дуальным пространством

Альтернативно, слабая топология на TVS X является начальной топологией относительно семейства . Другими словами, это самая грубая топология на X, такая, что каждый элемент из остается непрерывной функцией .

Подбазой для слабой топологии является совокупность множеств вида , где и U — открытое подмножество базового поля . Другими словами, подмножество X открыто в слабой топологии тогда и только тогда, когда его можно записать в виде объединения (возможно, бесконечного числа) множеств, каждое из которых является пересечением конечного числа множеств вида .

С этой точки зрения слабая топология является самой грубой полярной топологией .

Слабая сходимость

Слабая топология характеризуется следующим условием: сеть в X сходится в слабой топологии к элементу x из X тогда и только тогда, когда сходится к в или для всех .

В частности, если — последовательность в X , то слабо сходится к x, если

при n → ∞ для всех . В этом случае принято писать

или, иногда,

Другие свойства

Если X снабжено слабой топологией, то сложение и скалярное умножение остаются непрерывными операциями, а X является локально выпуклым топологическим векторным пространством .

Если X — нормированное пространство, то двойственное пространство само является нормированным векторным пространством с использованием нормы

Эта норма порождает топологию, называемую сильной топологией , на . Это топология равномерной сходимости . Равномерная и сильная топологии, как правило, различны для других пространств линейных отображений; см. ниже.

Слабая-* топология

Слабая* топология является важным примером полярной топологии .

Пространство X может быть вложено в его двойной дуальный X** с помощью

Таким образом, является инъективным линейным отображением, хотя и не обязательно сюръективным (пространства, для которых это каноническое вложение сюръективно, называются рефлексивными ). Слабая-* топология на является слабой топологией, индуцированной образом . Другими словами, это самая грубая топология, такая, что отображения T x , определенные из в базовое поле или остаются непрерывными.

Слабая-* сходимость

Сеть в сходится к в топологии weak-*, если она сходится поточечно :

для всех . В частности, последовательность сходится к при условии, что

для всех xX. В этом случае пишут

при n → ∞ .

Слабо-* сходимость иногда называют простой сходимостью или поточечной сходимостью . Действительно, она совпадает с поточечной сходимостью линейных функционалов.

Характеристики

Если Xсепарабельное (т.е. имеющее счетное плотное подмножество) локально выпуклое пространство, а H — ограниченное по норме подмножество его непрерывного сопряженного пространства, то H, наделенное слабой* (подпространственной) топологией, является метризуемым топологическим пространством. [1] Однако для бесконечномерных пространств метрика не может быть трансляционно-инвариантной. [2] Если X — сепарабельное метризуемое локально выпуклое пространство, то слабая* топология на непрерывном сопряженном пространстве X является сепарабельной. [1]

Свойства нормированных пространств

По определению, слабая* топология слабее слабой топологии на . Важным фактом о слабой* топологии является теорема Банаха–Алаоглу : если X нормировано, то замкнутый единичный шар в является слабо* -компактным (в более общем случае, поляра в окрестности 0 в X является слабо*-компактным). Более того, замкнутый единичный шар в нормированном пространстве X является компактным в слабой топологии тогда и только тогда, когда X рефлексивно .

В более общем случае, пусть F — локально компактное поле значений (например, действительные числа, комплексные числа или любая из p-адических числовых систем). Пусть X — нормированное топологическое векторное пространство над F , совместимое с абсолютным значением в F . Тогда в , топологическом сопряженном пространстве X непрерывных F -значных линейных функционалов на X , все замкнутые по норме шары компактны в слабой* топологии.

Если X — нормированное пространство, то выполняется версия теоремы Гейне-Бореля . В частности, подмножество непрерывного сопряженного пространства является слабо* компактным тогда и только тогда, когда оно слабо* замкнуто и ограничено по норме. [1] Это подразумевает, в частности, что когда X — бесконечномерное нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в начале координат в сопряженном пространстве X не содержит никакой слабо* окрестности 0 (поскольку любая такая окрестность не ограничена по норме). [1] Таким образом, даже если замкнутые по норме шары компактны, X* не является слабо* локально компактным .

Если X — нормированное пространство, то X сепарабельно тогда и только тогда, когда слабая* топология на замкнутом единичном шаре метризуема, [1] в этом случае слабая* топология метризуема на ограниченных нормой подмножествах . Если нормированное пространство X имеет сопряженное пространство, которое сепарабельно (относительно топологии с дуальной нормой), то X обязательно сепарабельно. [1] Если Xбанахово пространство , слабая* топология не метризуема на всех из , если только X не конечномерно. [3]

Примеры

Гильбертовы пространства

Рассмотрим, например, разницу между сильной и слабой сходимостью функций в гильбертовом пространстве L 2 ( ) . Сильная сходимость последовательности к элементу ψ означает, что

при k → ∞ . Здесь понятие сходимости соответствует норме на L 2 .

В отличие от этого слабая сходимость требует только того, чтобы

для всех функций fL 2 (или, что более типично, всех f в плотном подмножестве L 2 , таком как пространство тестовых функций , если последовательность { ψ k } ограничена). Для заданных тестовых функций соответствующее понятие сходимости соответствует только топологии, используемой в .

Например, в гильбертовом пространстве L 2 (0,π) последовательность функций

образуют ортонормированный базис . В частности, (сильный) предел при k → ∞ не существует. С другой стороны, по лемме Римана–Лебега слабый предел существует и равен нулю.

Распределения

Обычно пространства распределений получаются путем формирования сильного сопряжения пространства тестовых функций (например, гладких функций с компактным носителем на ). В альтернативной конструкции таких пространств можно взять слабое сопряжение пространства тестовых функций внутри гильбертова пространства, такого как L 2 . Таким образом, можно рассмотреть идею оснащенного гильбертова пространства .

Слабая топология, индуцированная алгебраическим дуальным

Предположим, что X — векторное пространство, а X #алгебраическое сопряженное пространство X (т. е. векторное пространство всех линейных функционалов на X ). Если X наделено слабой топологией, индуцированной X # , то непрерывное сопряженное пространство X — это X # , каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве X , каждое векторное подпространство X замкнуто и имеет топологическое дополнение . [4]

Топологии операторов

Если X и Y являются топологическими векторными пространствами, пространство L ( X , Y ) непрерывных линейных операторов f  : X  →  Y может нести множество различных возможных топологий. Наименование таких топологий зависит от вида топологии, используемой на целевом пространстве Y для определения сходимости операторов (Yosida 1980, IV.7 Топологии линейных отображений). В общем случае существует обширный массив возможных топологий операторов на L ( X , Y ) , наименование которых не совсем интуитивно понятно.

Например, сильная операторная топология на L ( X , Y ) является топологией поточечной сходимости . Например, если Y — нормированное пространство, то эта топология определяется полунормами, индексированными xX :

В более общем случае, если семейство полунорм Q определяет топологию на Y , то полунормы p q , x на L ( X , Y ), определяющие сильную топологию, задаются как

индексируется qQ и xX.

В частности, см. топологию слабого оператора и топологию слабого* оператора .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcdefghijklm Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
  2. ^ Фолланд 1999, стр. 170.
  3. Предложение 2.6.12, стр. 226 в Megginson, Robert E. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN 0-387-98431-3.
  4. Трев 2006, стр. 36, 201.

Библиография