Соотношение Клаузиуса -Клапейрона в химической термодинамике определяет температурную зависимость давления, особенно давления пара, при прерывистом фазовом переходе между двумя фазами вещества одного компонента. Он назван в честь Рудольфа Клаузиуса [1] и Бенуа Поля Эмиля Клапейрона . [2] Однако на самом деле это соотношение было первоначально получено Сади Карно в его «Размышлениях о движущей силе огня» , которые были опубликованы в 1824 году, но в значительной степени игнорировались, пока десятилетия спустя не были заново открыты Клаузиусом, Клапейроном и лордом Кельвином . [3] Кельвин сказал об аргументе Карно, что «во всей области естественной философии нет ничего более примечательного, чем установление общих законов посредством такого процесса рассуждения». [4]
Кельвин и его брат Джеймс Томсон подтвердили это соотношение экспериментально в 1849–1850 годах, и оно имело историческое значение как очень раннее успешное применение теоретической термодинамики. [5] Его актуальность для метеорологии и климатологии заключается в увеличении водоудерживающей способности атмосферы примерно на 7% на каждый 1 °C (1,8 °F) повышения температуры.
Уравнение Клаузиуса-Клапейрона [7] : 509 применяется к испарению жидкостей, где пар подчиняется закону идеального газа с использованием постоянной идеального газа , а объемом жидкости пренебрегают, поскольку он намного меньше объема пара V . Его часто используют для расчета давления паров жидкости. [8]
Уравнение выражает это в более удобной форме просто через скрытую теплоту для умеренных температур и давлений.
Соотношение Клаузиуса-Клапейрона описывает фазовый переход в замкнутой системе, состоящей из двух смежных фаз, конденсированного вещества и идеального газа, одного вещества, находящихся во взаимном термодинамическом равновесии, при постоянной температуре и давлении . Следовательно, [7] : 508
где давление. Поскольку давление и температура постоянны, производная давления по температуре не меняется. [9] [10] : 57, 62, 671 Следовательно, частную производную удельной энтропии можно превратить в полную производную
и полная производная давления по температуре может быть исключена при интегрировании от начальной фазы до конечной фазы , [7] : 508, чтобы получить
где и – соответственно изменение удельной энтропии и удельного объема. Учитывая, что фазовый переход является внутренне обратимым процессом и что наша система закрыта, первый закон термодинамики справедлив:
где – внутренняя энергия системы. Учитывая постоянство давления и температуры (при фазовом переходе) и определение удельной энтальпии , получаем
При постоянных давлении и температуре (при фазовом переходе) получаем [7] : 508
Подставив этот результат в приведенную выше производную давления ( ), получим [7] : 508 [11]
Этот результат (также известный как уравнение Клапейрона ) приравнивает наклон кривой сосуществования к функции удельной скрытой теплоты , температуры и изменения удельного объема . Вместо конкретных также можно использовать соответствующие молярные значения.
Вывод из соотношения Гиббса – Дюэма.
Предположим, что две фазы и находятся в контакте и находятся в равновесии друг с другом. Их химические потенциалы связаны соотношением
(где удельная энтропия , удельный объем и молярная масса ), чтобы получить
Перестановка дает
откуда вывод уравнения Клапейрона продолжается, как и в предыдущем разделе.
Приближение идеального газа при низких температурах
Когда фазовый переход вещества происходит между газовой фазой и конденсированной фазой ( жидкой или твердой ) и происходит при температурах намного ниже критической температуры этого вещества, удельный объем газовой фазы значительно превышает удельный объем конденсированной фазы. . Таким образом, можно приблизительно
мы можем получить уравнение Клаузиуса–Клапейрона [7] : 509
для низких температур и давлений [7] : 509 где – удельная скрытая теплота вещества. Вместо конкретных значений также можно использовать соответствующие молярные значения (т.е. в кДж/моль и R = 8,31 Дж/(моль⋅К)).
Пусть и – любые две точки на кривой сосуществования двух фаз и . В общем, варьируется между любыми двумя такими точками в зависимости от температуры. Но если аппроксимировать как константу,
или [10] : 672 [12]
Эти последние уравнения полезны, поскольку они связывают давление и температуру равновесного или насыщенного пара со скрытой теплотой фазового перехода, не требуя данных об удельном объеме. Например, для воды, близкой к нормальной температуре кипения , с молярной энтальпией испарения 40,7 кДж/моль и R = 8,31 Дж/(моль⋅К),
.
Вывод Клапейрона
В оригинальной работе Клапейрона выдвигается следующий аргумент. [13]
Клапейрон рассмотрел процесс Карно для насыщенного водяного пара с горизонтальными изобарами. Поскольку давление является функцией только температуры, изобары также являются изотермами. Если в процессе участвует бесконечно малое количество воды и бесконечно малая разница температур , то поглощенное тепло равно
и соответствующая работа
где – разница объемов в жидкой фазе и паровой фазе. Отношение представляет собой КПД двигателя Карно, . [а] Замена и перестановка дает
где строчная буква обозначает изменение удельного объема при переходе.
Приложения
Химия и химическая технология
Для переходов между газом и конденсированной фазой в описанных выше приближениях выражение можно переписать в виде
В этом приложении нельзя пренебрегать температурной зависимостью скрытого тепла . К счастью,Формула Августа – Роша – Магнуса дает очень хорошее приближение: [14] [15]
где — в гПа , а — в градусах Цельсия (тогда как везде на этой странице — абсолютная температура, например, в кельвинах).
В типичных атмосферных условиях знаменатель показателя степени слабо зависит от (единицей измерения является градус Цельсия). Следовательно, уравнение Огюста-Роша-Магнуса предполагает, что давление насыщенного водяного пара изменяется примерно экспоненциально с температурой в типичных атмосферных условиях, и, следовательно, водоудерживающая способность атмосферы увеличивается примерно на 7% на каждый подъем температуры на 1 ° C. [17]
Пример
Одно из применений этого уравнения — определить, произойдет ли фазовый переход в данной ситуации. Рассмотрим вопрос, какое давление необходимо, чтобы растопить лед при температуре ниже 0 °С. Обратите внимание, что вода необычна тем, что изменение ее объема при плавлении отрицательно. Мы можем предположить
и подставив в
(скрытая теплота плавления воды),
К (абсолютная температура),
(изменение удельного объема от твердого состояния к жидкому),
мы получаем
Чтобы привести грубый пример того, какое это давление: чтобы растопить лед при температуре -7 °C (температура, установленная на многих катках), потребуется балансировать небольшой автомобиль (масса ~ 1000 кг [ 18] ) на наперстке ( площадь ~ 1 см 2 ). Это показывает, что катание на коньках нельзя просто объяснить понижением температуры плавления, вызванным давлением, и на самом деле механизм довольно сложен. [19]
Вторая производная
Хотя соотношение Клаузиуса-Клапейрона дает наклон кривой сосуществования, оно не дает никакой информации о ее кривизне или второй производной . Вторая производная кривой сосуществования фаз 1 и 2 имеет вид [20]
^ Клаузиус, Р. (1850). «Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbstableiten lassen» [О движущей силе тепла и выводимых из нее законах относительно теории тепла]. Аннален дер Физик (на немецком языке). 155 (4): 500–524. Бибкод : 1850АнП...155..500С. дои : 10.1002/andp.18501550403. hdl : 2027/uc1.$b242250 .
^ Клапейрон, MC (1834). «Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur». Journal de l'École Polytechnique [fr] (на французском языке). 23 : 153–190. ковчег:/12148/bpt6k4336791/f157.
^ Фейнман, Ричард (1963). «Иллюстрации термодинамики». Фейнмановские лекции по физике . Калифорнийский технологический институт . Проверено 13 декабря 2023 г. Это соотношение было выведено Карно, но оно называется уравнением Клаузиуса-Клапейрона.
^ Томсон, Уильям (1849). «Отчет о теории Карно о движущей силе тепла; с численными результатами, полученными на основе экспериментов Рено с паром». Труды Эдинбургского королевского общества . 16 (5): 541–574. дои : 10.1017/S0080456800022481.
^ Пиппард, Альфред Б. (1981). Элементы классической термодинамики: для продвинутых студентов-физиков (Ред.). Кембридж: Univ. Пр. п. 116. ИСБН978-0-521-09101-5.
^ Козиол, Андреа; Перкинс, Декстер. «Обучение фазовому равновесию». serc.carleton.edu . Карлтонский университет . Проверено 1 февраля 2023 г.
^ abcdefghi Wark, Кеннет (1988) [1966]. «Обобщенные термодинамические соотношения». Термодинамика (5-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc. ISBN978-0-07-068286-3.
^ Клаузиус; Клапейрон. «Уравнение Клаузиуса-Клапейрона». Сеть исследований Боднера . Университет Пердью . Проверено 1 февраля 2023 г.
^ Карл Род Нейв (2006). «Поверхность PvT для вещества, которое сжимается при замерзании». Гиперфизика . Государственный университет Джорджии . Проверено 16 октября 2007 г.
^ аб Ченгель, Юнус А.; Болес, Майкл А. (1998) [1989]. Термодинамика – инженерный подход . Серия McGraw-Hill по машиностроению (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: МакГроу-Хилл. ISBN978-0-07-011927-7.
^ Зальцман, Уильям Р. (21 августа 2001 г.). «Уравнения Клапейрона и Клаузиуса – Клапейрона». Химическая термодинамика . Университет Аризоны. Архивировано из оригинала 7 июня 2007 г. Проверено 11 октября 2007 г.
^ Мастертон, Уильям Л.; Херли, Сесиль Н. (2008). Химия: принципы и реакции (6-е изд.). Cengage Обучение. п. 230. ИСБН9780495126713. Проверено 3 апреля 2020 г. .
^ Клапейрон, Э (1834). «Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur». Журнал Политехнической школы . XIV : 153–190.
^ Алдухов, Олег; Эскридж, Роберт (1 ноября 1997 г.), Улучшенная аппроксимация давления насыщенного пара в форме Магнуса, NOAA , doi : 10.2172/548871Уравнение 25 дает эти коэффициенты.
^ Алдухов, Олег А.; Эскридж, Роберт Э. (1996). «Улучшенная аппроксимация давления насыщенного пара формой Магнуса». Журнал прикладной метеорологии . 35 (4): 601–609. Бибкод : 1996JApMe..35..601A. doi : 10.1175/1520-0450(1996)035<0601:IMFAOS>2.0.CO;2 .Уравнение 21 дает эти коэффициенты.
^ Лоуренс, МГ (2005). «Взаимосвязь между относительной влажностью и температурой точки росы во влажном воздухе: простое преобразование и применение» (PDF) . Бюллетень Американского метеорологического общества . 86 (2): 225–233. Бибкод : 2005BAMS...86..225L. дои : 10.1175/BAMS-86-2-225.
^ МГЭИК, Изменение климата, 2007: Рабочая группа I: Физические научные основы, «Часто задаваемые вопросы 3.2 Как меняются осадки?». Архивировано 2 ноября 2018 г. в Wayback Machine .
^ Зорина, Яна (2000). «Масса автомобиля». Справочник по физике .
^ Лифферинк, Ринс В.; Ся, Фэн-Чунь; Вебер, Барт; Бонн, Дэниел (08 февраля 2021 г.). «Трение на льду: как температура, давление и скорость контролируют скользкость льда». Физический обзор X . 11 (1): 011025. doi : 10.1103/PhysRevX.11.011025 .
^ Крафчик, Мэтью; Санчес Веласко, Эдуардо (2014). «За пределами Клаузиуса – Клапейрона: определение второй производной линии фазового перехода первого рода». Американский журнал физики . 82 (4): 301–305. Бибкод : 2014AmJPh..82..301K. дои : 10.1119/1.4858403.
Библиография
Яу, МК; Роджерс, Р.Р. (1989). Краткий курс физики облаков (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-3215-7.
Каллен, Х.Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатику . Уайли. ISBN 978-0-471-86256-7.
Примечания
^ В оригинальной работе она называлась просто функцией Карно и в таком виде не была известна. Клаузиус определил форму 30 лет спустя и добавил свое имя к одноименному отношению Клаузиуса-Клапейрона.