Приближение

Что-то примерно такое же, как что-то другое

Приближение — это что-либо намеренно похожее, но не точно равное чему-либо.

Этимология и использование

Слово approximation происходит от латинского approximatus , от proximus, означающего «очень близко» , и префикса ad- ( ad- перед p становится ap- путем ассимиляции ), означающего «к» . ^[1] Такие слова, как approx , approx и approx используются особенно в технических или научных контекстах. В повседневном английском языке такие слова, как rough или around, используются с похожим значением. ^[2] Его часто можно встретить в сокращении approx.

Этот термин может применяться к различным свойствам (например, значению, количеству, изображению, описанию), которые являются почти, но не совсем точными; похожими, но не совсем одинаковыми (например, приблизительное время было 10 часов).

Хотя аппроксимация чаще всего применяется к числам , ее также часто применяют к таким вещам, как математические функции , фигуры и физические законы .

В науке приближение может относиться к использованию более простого процесса или модели, когда правильную модель трудно использовать. Приближенная модель используется для упрощения вычислений. Приближения также могут использоваться, если неполная информация не позволяет использовать точные представления.

Тип используемой аппроксимации зависит от имеющейся информации , требуемой степени точности , чувствительности задачи к этим данным и экономии (обычно времени и усилий), которая может быть достигнута с помощью аппроксимации.

Математика

Теория приближений — раздел математики и количественная часть функционального анализа . Диофантовы приближения имеют дело с приближениями действительных чисел рациональными числами .

Приближение обычно происходит, когда точная форма или точное числовое число неизвестны или их трудно получить. Однако может существовать некоторая известная форма, которая может представлять действительную форму, так что не может быть обнаружено существенного отклонения. Например, 1,5 × 10 ⁶ означает, что истинное значение чего-либо измеряемого составляет 1 500 000 с точностью до ближайшей сотни тысяч (поэтому фактическое значение находится где-то между 1 450 000 и 1 550 000); это контрастирует с записью 1,500 × 10 ⁶ , которая означает, что истинное значение составляет 1 500 000 с точностью до ближайшей тысячи (подразумевая, что истинное значение находится где-то между 1 499 500 и 1 500 500).

Числовые приближения иногда возникают из-за использования небольшого количества значащих цифр . Расчеты, вероятно, будут включать ошибки округления и другие ошибки приближения . Логарифмические таблицы , логарифмические линейки и калькуляторы выдают приблизительные ответы на все, кроме самых простых расчетов. Результаты компьютерных вычислений обычно представляют собой приближение, выраженное ограниченным количеством значащих цифр, хотя их можно запрограммировать для получения более точных результатов. ^[3] Приближение может иметь место, когда десятичное число не может быть выражено конечным количеством двоичных цифр.

С приближением функций связано асимптотическое значение функции, то есть значение, когда один или несколько параметров функции становятся произвольно большими. Например, сумма ⁠ ⁠ ${\displaystyle k/2+k/4+k/8+\cdots +k/2^{n}}$ асимптотически равна k . В математике не используется последовательная нотация, и некоторые тексты используют ≈ для обозначения приблизительного равенства и ~ для обозначения асимптотического равенства, тогда как другие тексты используют символы наоборот.

Типографика

Знак приблизительного равенства , ≈ , был введен британским математиком Альфредом Гринхиллом . ^{[ необходима ссылка ]}

символы LaTeX

Символы, используемые в разметке LaTeX .

• ${\displaystyle \approx }$( \approx), обычно для обозначения приближения между числами, например . ${\displaystyle \pi \approx 3.14}$
• ${\displaystyle \not \approx }$( \not\approx), обычно для указания того, что числа не являются приблизительно равными ( ). ${\displaystyle 1\not \approx 2}$
• ${\displaystyle \simeq }$( \simeq), обычно для обозначения асимптотической эквивалентности между функциями, например . ${\displaystyle f(n)\simeq 3n^{2}}$
  • Таким образом, написание будет неверным в рамках этого определения, несмотря на широкое использование. ${\displaystyle \pi \simeq 3.14}$
• ${\displaystyle \sim }$( \sim), обычно для указания пропорциональности между функциями, то же самое в строке выше будет . ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(n)\sim n^{2}}$
• ${\displaystyle \cong }$( \cong), обычно для обозначения соответствия между фигурами, например . ${\displaystyle \Delta ABC\cong \Delta A'B'C'}$
• ${\displaystyle \eqsim }$( \eqsim), обычно для указания того, что две величины равны с точностью до констант.
• ${\displaystyle \lessapprox }$( \lessapprox) и ( ), как правило, для указания того, что неравенство выполняется или два значения приблизительно равны. ${\displaystyle \gtrapprox }$\gtrapprox

Юникод

Символы, используемые для обозначения приблизительно равных элементов, представляют собой волнистые или пунктирные знаки равенства. ^[4]

Наука

Приближение возникает естественным образом в научных экспериментах . Предсказания научной теории могут отличаться от фактических измерений. Это может быть связано с тем, что в реальной ситуации есть факторы, которые не включены в теорию. Например, простые расчеты могут не включать эффект сопротивления воздуха. При таких обстоятельствах теория является приближением к реальности. Различия могут также возникать из-за ограничений в технике измерения. В этом случае измерение является приближением к фактическому значению.

История науки показывает, что более ранние теории и законы могут быть приближениями к некоторому более глубокому набору законов. Согласно принципу соответствия , новая научная теория должна воспроизводить результаты более старых, устоявшихся теорий в тех областях, где старые теории работают. ^[6] Старая теория становится приближением к новой теории.

Некоторые проблемы в физике слишком сложны для решения прямым анализом, или прогресс может быть ограничен имеющимися аналитическими инструментами. Таким образом, даже когда точное представление известно, приближение может дать достаточно точное решение, значительно уменьшая сложность проблемы. Физики часто аппроксимируют форму Земли как сферу, хотя возможны более точные представления, поскольку многие физические характеристики (например, гравитацию ) гораздо легче рассчитать для сферы, чем для других форм.

Аппроксимация также используется для анализа движения нескольких планет, вращающихся вокруг звезды. Это чрезвычайно сложно из-за сложных взаимодействий гравитационных эффектов планет друг на друга. ^[7] Приближенное решение достигается путем выполнения итераций . В первой итерации гравитационные взаимодействия планет игнорируются, и звезда считается неподвижной. Если требуется более точное решение, выполняется еще одна итерация, используя положения и движения планет, определенные в первой итерации, но добавляя гравитационное взаимодействие первого порядка от каждой планеты на другие. Этот процесс может повторяться до тех пор, пока не будет получено удовлетворительно точное решение.

Использование возмущений для исправления ошибок может дать более точные решения. Моделирование движений планет и звезды также дает более точные решения.

Наиболее распространенные версии философии науки признают, что эмпирические измерения всегда являются приблизительными — они не в полной мере отражают то, что измеряется.

Закон

В Европейском союзе (ЕС) «сближение» относится к процессу, посредством которого законодательство ЕС реализуется и включается в национальные законы государств-членов , несмотря на различия в существующей правовой базе в каждой стране. Сближение требуется как часть процесса подготовки к вступлению для новых государств-членов, ^[8] и как непрерывный процесс, когда это требуется Директивой ЕС . Сближение — это ключевое слово, обычно используемое в названии директивы, например, Директива о товарных знаках от 16 декабря 2015 года служит «для сближения законов государств-членов, касающихся товарных знаков». ^[9] Европейская комиссия описывает сближение права как «уникальное обязательство членства в Европейском союзе». ^[8]

Смотрите также

• Алгоритм аппроксимации  – класс алгоритмов, которые находят приближенные решения задач оптимизации.
• Приблизительные вычисления  – Вычисление почти точных результатов
• Приближения числа π  – Различные методы, используемые для вычисления числа π
• Биномиальное приближение  – Аппроксимация степеней некоторых биномов
• Отношение конгруэнтности  – Отношение эквивалентности в алгебре
• Двойная тильда (значение)  – Различные значения ~~ или ≈
• Оценка  – процесс нахождения приближения
• Задача Ферми  – задача оценки в физике или инженерном образовании
• Идеализация (философия науки)  – процесс, посредством которого научная модель упрощается путем принятия строго ложных фактов за истинные.
• Наименьшие квадраты  – метод аппроксимации в статистике
• Линейная аппроксимация  – аппроксимация функции ее касательной в точке
• Метод Ньютона  – Алгоритм нахождения нулей функций
• Порядок аппроксимации  – Выражения для точности аппроксимации
• Грубый набор  – Приближение математического набора
• Методы Рунге–Кутты  – Семейство неявных и явных итерационных методов
• Значимые цифры  – любая цифра числа в пределах его разрешающей способности, в отличие от ложных цифр.
• Малоугловое приближение  – Упрощение основных тригонометрических функций
• АЦП последовательного приближения  – Тип аналого-цифрового преобразователя
• Ряд Тейлора  – математическое приближение функции
• Отношение толерантности  – математическое отношение, которое является рефлексивным и симметричным.
• Интуиция  – способность приобретать знания без сознательного рассуждения.

Ссылки

1. Краткий Оксфордский словарь, восьмое издание 1990 г., ISBN  0-19-861243-5
2. Словарь современного английского языка Longman, Pearson Education Ltd 2009, ISBN 978 1 4082 1532 6 
3. "Руководство по численным вычислениям". Архивировано из оригинала 2016-04-06 . Получено 2013-06-16 .
4. "Математические операторы – Unicode" (PDF) . Получено 20.04.2013 .
5. D & D Standard Oil & Gas Abbreviator. PennWell. 2006. стр. 366. ISBN 9781593701086. Получено 21 мая 2020 г. . ≐ приближается к пределу
6. Принцип соответствия – Encyclopaedia Britannica
7. Задача трех тел
8. Европейская комиссия, Руководство по сближению экологического законодательства Европейского союза, последнее обновление 2 августа 2019 г., доступ 15 ноября 2022 г.
9. EUR-Lex, Директива (ЕС) 2015/2436 Европейского парламента и Совета от 16 декабря 2015 г. о сближении законов государств-членов в отношении товарных знаков (переработанная версия) (текст, имеющий отношение к ЕЭЗ), опубликовано 23 декабря 2015 г., дата обращения 15 ноября 2022 г.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Approximation на Wikimedia Commons