Призрак Фаддеева-Попова.

Тип нефизического поля в квантовой теории поля, обеспечивающий математическую непротиворечивость.

В физике призраки Фаддеева-Попова (также называемые калибровочными призраками Фаддеева-Попова или призрачными полями Фаддеева-Попова ) представляют собой посторонние поля , которые вводятся в калибровочные квантовые теории поля для поддержания непротиворечивости формулировки интеграла по путям . Они названы в честь Людвига Фаддеева и Виктора Попова . ^{[1] [2]}

Более общее значение слова «призрак» в теоретической физике обсуждается в книге «Призрак (физика)» .

Пересчет в интегралах по траекториям Фейнмана

Необходимость призраков Фаддеева–Попова вытекает из требования, чтобы квантовые теории поля давали однозначные, несингулярные решения. Это невозможно в формулировке интеграла по траекториям , когда присутствует калибровочная симметрия, поскольку не существует процедуры выбора среди физически эквивалентных решений, связанных калибровочным преобразованием. Интегралы по путям пересчитывают конфигурации полей, соответствующие одному и тому же физическому состоянию; мера интегралов по путям содержит множитель, который не позволяет получать различные результаты непосредственно из действия .

Процедура Фаддеева–Попова

Однако можно изменить действие, чтобы можно было применять такие методы, как диаграммы Фейнмана, путем добавления призрачных полей , которые нарушают калибровочную симметрию. Поля-призраки не соответствуют никаким реальным частицам во внешних состояниях: они появляются как виртуальные частицы на диаграммах Фейнмана – или как отсутствие некоторых калибровочных конфигураций. Однако они являются необходимым вычислительным инструментом для сохранения унитарности .

Точная форма или формулировка призраков зависит от конкретной выбранной калибровки , хотя одни и те же физические результаты должны быть получены для всех калибровок, поскольку калибровка, выбранная для проведения вычислений, является произвольным выбором. Калибровка Фейнмана – Хофта обычно является самой простой калибровкой для этой цели, и в оставшейся части этой статьи она предполагается.

Рассмотрим, например, неабелеву калибровочную теорию с

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}[A]\exp i\int \mathrm {d} ^{4}x\left(-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }\right).}$

Интеграл необходимо ограничить посредством фиксации калибровки, чтобы интегрировать только по физически различным конфигурациям. Следуя Фаддееву и Попову, это ограничение можно применить, вставив ${\displaystyle G(A)=0}$

${\displaystyle 1=\int {\mathcal {D}}[\alpha (x)]\delta (G(A^{\alpha }))\mathrm {det} {\frac {\delta G(A^{\alpha })}{\delta \alpha }}}$

в интеграл. обозначает фиксированное калибровочное поле. ^[3] ${\displaystyle A^{\alpha }}$

Связь спин-статистика нарушена

Призраки Фаддеева-Попова нарушают соотношение спин-статистика , что является еще одной причиной, по которой их часто считают «нефизическими» частицами.

Например, в теориях Янга-Миллса (таких как квантовая хромодинамика ) призраки представляют собой комплексные скалярные поля ( спин 0), но они антикоммутируют (как фермионы ).

В общем, антикоммутирующие призраки связаны с бозонной симметрией, а коммутирующие призраки связаны с фермионной симметрией.

Поля датчиков и связанные с ними призрачные поля

Каждое калибровочное поле имеет связанный с ним призрак, и там, где калибровочное поле приобретает массу посредством механизма Хиггса , связанное с ним призрачное поле приобретает ту же массу (только в калибровке Фейнмана – 'т Хофта , что не верно для других калибровок).

Внешний вид на диаграммах Фейнмана

В диаграммах Фейнмана призраки выглядят как замкнутые петли, полностью состоящие из трех вершин, прикрепленных к остальной части диаграммы через калибровочную частицу в каждой трех вершине. Их вклад в S-матрицу точно компенсируется (в калибровке Фейнмана – Хофта ) вкладом аналогичной петли калибровочных частиц только с 3-вершинными связями или калибровочными присоединениями к остальной части диаграммы. ^[a] (Петля калибровочных частиц, не полностью состоящая из трехвершинных связей, не уничтожается призраками.) Противоположный знак вклада призраков и калибровочных петель обусловлен тем, что они имеют противоположную фермионную/бозонную природу. (С замкнутыми фермионными петлями связан дополнительный −1, а с бозонными петлями — нет.)

Лагранжиан призрачного поля

Лагранжиан призрачных полей в теориях Янга–Миллса (где – индекс в присоединенном представлении калибровочной группы ) имеет вид ${\displaystyle c^{a}(x)\,}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{ghost}}=\partial _{\mu }{\bar {c}}^{a}\partial ^{\mu }c^{a}+gf^{abc}\left(\partial ^{\mu }{\bar {c}}^{a}\right)A_{\mu }^{b}c^{c}\;.}$

Первый член является кинетическим, как и для регулярных комплексных скалярных полей, а второй член описывает взаимодействие с калибровочными полями , а также с полем Хиггса . Заметим, что в абелевых калибровочных теориях (таких как квантовая электродинамика ) призраки не оказывают никакого эффекта, поскольку и, следовательно, частицы-духи не взаимодействуют с калибровочными полями. ${\displaystyle f^{abc}=0}$

Сноски

1. Фейнман эмпирически обнаружил, что «бокс» и простое игнорирование этих диаграмм восстанавливают унитарность. « Потому что, к сожалению, я также обнаружил в процессе, что проблема присутствует в теории Янга-Миллса; и, во-вторых, я случайно обнаружил связь дерева с кольцами, которая представляет очень большой интерес и важность в мезонных теориях и, следовательно, И вот я застрял в необходимости продолжения этого расследования, и вы, конечно, понимаете, что это тайная причина выполнения любой работы, какой бы абсурдной, иррациональной и академической она ни выглядела: мы все понимаем, что, как бы мала она ни была Дело в том, что если это имеет физический интерес и обдумано достаточно тщательно, вы обязательно подумаете о чем-то, что полезно для чего-то другого ^» .

Рекомендации

1. Фаддеев, Л.Д.; Попов, В. (1967). «Диаграммы Фейнмана для поля Янга-Миллса». Физ. Летт. Б.​ 25 (1): 29. Бибкод : 1967PhLB...25...29F. дои : 10.1016/0370-2693(67)90067-6.
2. Чен, ВФ (2013). «Квантовая теория поля и дифференциальная геометрия». Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 10 (4): 1350003.arXiv : 0803.1340 . дои : 10.1142/S0219887813500035. S2CID  16651244.
3. Пескин, Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс.
4. Фейнман, Р.П. (1963). «Квантовая теория гравитации». Акта Физика Полоника . 24 : 697–722.

Внешние ссылки

• Фаддеев, Людвиг Дмитриевич (2009). «Призраки Фаддеева-Попова». Схоларпедия . 4 (4): 7389. Бибкод : 2009SchpJ...4.7389F. doi : 10.4249/scholarpedia.7389 .