Примитивные уравнения

Уравнения для аппроксимации глобального атмосферного потока

Примитивные уравнения представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных , которые используются для аппроксимации глобального атмосферного потока и используются в большинстве атмосферных моделей . Они состоят из трех основных наборов уравнений баланса:

1. Уравнение непрерывности : представляет собой закон сохранения массы.
2. Сохранение импульса : состоит из формы уравнений Навье–Стокса , которые описывают гидродинамический поток на поверхности сферы в предположении, что вертикальное движение намного меньше горизонтального движения (гидростазис) и что глубина слоя жидкости мала по сравнению с радиусом сферы.
3. Уравнение тепловой энергии : связь общей температуры системы с источниками и поглотителями тепла.

Примитивные уравнения могут быть линеаризованы для получения приливных уравнений Лапласа — задачи на собственные значения , из которой может быть определено аналитическое решение широтной структуры потока.

В целом, почти все формы примитивных уравнений связывают пять переменных u , v , ω, T , W и их эволюцию в пространстве и времени.

Уравнения были впервые записаны Вильгельмом Бьеркнесом . ^[1]

Определения

• ${\displaystyle u}$зональная скорость (скорость в направлении восток-запад по касательной к сфере)
• ${\displaystyle v}$меридиональная скорость (скорость в направлении север-юг по касательной к сфере)
• ${\displaystyle \omega }$вертикальная скорость в изобарических координатах
• ${\displaystyle T}$это температура
• ${\displaystyle \Phi }$это геопотенциал
• ${\displaystyle f}$— член, соответствующий силе Кориолиса , и равен , где — угловая скорость вращения Земли ( радиан в звездный час), а — широта ${\displaystyle 2\Omega \sin(\phi )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 2\pi /24}$ ${\displaystyle \phi }$
• ${\displaystyle R}$газовая постоянная
• ${\displaystyle p}$это давление
• ${\displaystyle \rho }$это плотность
• ${\displaystyle c_{p}}$это удельная теплоемкость на поверхности постоянного давления
• ${\displaystyle J}$тепловой поток в единицу времени на единицу массы
• ${\displaystyle W}$это осаждаемая вода
• ${\displaystyle \Pi }$это функция Экснера
• ${\displaystyle \theta }$потенциальная температура
• ${\displaystyle \eta }$Абсолютная завихренность

Силы, вызывающие атмосферное движение

Силы, вызывающие атмосферное движение, включают силу градиента давления , гравитацию и вязкое трение . Вместе они создают силы, которые ускоряют нашу атмосферу.

Сила градиента давления вызывает ускорение, заставляющее воздух двигаться из областей высокого давления в области низкого давления. Математически это можно записать так:

${\displaystyle {\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.}$

Гравитационная сила ускоряет объекты примерно на 9,8 м/с2 ^по направлению к центру Земли.

Силу вязкого трения можно приблизительно определить следующим образом:

${\displaystyle f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).}$

Используя второй закон Ньютона, эти силы (упоминаемые в уравнениях выше как ускорения, вызванные этими силами) можно суммировать, чтобы получить уравнение движения, описывающее эту систему. Это уравнение можно записать в виде:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+f_{r}}$

${\displaystyle g=g_{e}.\,}$

Таким образом, чтобы завершить систему уравнений и получить 6 уравнений и 6 переменных:

• ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]}$
• ${\displaystyle c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f}$
• ${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0}$
• ${\displaystyle p=nT.}$

где n — числовая плотность в моль, а T:=RT — эквивалентное значение температуры в джоулях/моль.

Формы примитивных уравнений

Точная форма примитивных уравнений зависит от выбранной вертикальной системы координат, например, координат давления, логарифмических координат давления или сигма-координат . Кроме того, переменные скорости, температуры и геопотенциала могут быть разложены на средние и возмущенные компоненты с использованием разложения Рейнольдса .

Координата давления в вертикальной, декартовой касательной плоскости

В этой форме давление выбирается в качестве вертикальной координаты, а горизонтальные координаты записываются для декартовой касательной плоскости (т.е. плоскости, касательной к некоторой точке на поверхности Земли). Эта форма не учитывает кривизну Земли, но полезна для визуализации некоторых физических процессов, вовлеченных в формулировку уравнений, благодаря своей относительной простоте.

Обратите внимание, что производные по времени заглавной буквы D являются материальными производными . Пять уравнений с пятью неизвестными составляют систему.

• уравнения импульса без трения:

${\displaystyle {\frac {Du}{Dt}}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {Dv}{Dt}}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}}$

• гидростатическое уравнение , частный случай уравнения вертикального импульса, в котором вертикальное ускорение считается пренебрежимо малым:

${\displaystyle 0=-{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}-{\frac {RT}{p}}}$

• уравнение непрерывности , связывающее горизонтальное расхождение/схождение с вертикальным движением в гидростатическом приближении ( ): ${\displaystyle dp=-\rho \,d\Phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0}$

• и термодинамическое уравнение энергии, следствие первого закона термодинамики

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}}$

Если принять во внимание утверждение о сохранении количества водяного пара, эти шесть уравнений образуют основу любой численной схемы прогнозирования погоды.

Примитивные уравнения с использованием сигма-системы координат, полярной стереографической проекции

Согласно Справочнику Национальной метеорологической службы № 1 – Факсимильные продукты , примитивные уравнения можно упростить до следующих уравнений:

• Зональный ветер:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial x}}}$

• Меридиональный ветер:

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial y}}}$

• Температура:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}}$

Первый член равен изменению температуры из-за входящей солнечной радиации и исходящей длинноволновой радиации, которая меняется со временем в течение дня. Второй, третий и четвертый члены обусловлены адвекцией. Кроме того, переменная T с нижним индексом — это изменение температуры на этой плоскости. Каждая T на самом деле отличается и связана с соответствующей ей плоскостью. Это делится на расстояние между точками сетки, чтобы получить изменение температуры с изменением расстояния. При умножении на скорость ветра на этой плоскости единицы кельвины на метр и метры в секунду дают кельвины в секунду. Сумма всех изменений температуры из-за движений в направлениях x , y и z дает общее изменение температуры со временем.

• Осадочная вода:

${\displaystyle {\frac {\delta W}{\partial t}}=u{\frac {\partial W}{\partial x}}+v{\frac {\partial W}{\partial y}}+w{\frac {\partial W}{\partial z}}}$

Это уравнение и обозначение работают примерно так же, как уравнение температуры. Это уравнение описывает движение воды из одного места в другое в точке, не принимая во внимание воду, которая меняет форму. Внутри данной системы общее изменение воды со временем равно нулю. Однако концентрациям разрешено перемещаться вместе с ветром.

• Толщина давления:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}}$

Эти упрощения значительно облегчают понимание того, что происходит в модели. Такие вещи, как температура (потенциальная температура), осаждаемая вода и в некоторой степени толщина давления просто перемещаются из одной точки сетки в другую вместе с ветром. Ветер прогнозируется немного иначе. Он использует геопотенциал, удельную теплоту, функцию Экснера π и изменение сигма-координаты.

Решение линеаризованных примитивных уравнений

Аналитическое решение линеаризованных примитивных уравнений включает синусоидальные колебания по времени и долготе, модулированные коэффициентами, связанными с высотой и широтой.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}u,v,\Phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\Phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}}$

где s и — зональное волновое число и угловая частота соответственно. Решение представляет атмосферные волны и приливы . ${\displaystyle \sigma }$

При разделении коэффициентов на составляющие высоты и широты зависимость от высоты принимает форму распространяющихся или затухающих волн (в зависимости от условий), тогда как зависимость от широты задается функциями Хафа .

Это аналитическое решение возможно только тогда, когда примитивные уравнения линеаризованы и упрощены. К сожалению, многие из этих упрощений (например, отсутствие диссипации, изотермическая атмосфера) не соответствуют условиям в реальной атмосфере. В результате численное решение , учитывающее эти факторы, часто рассчитывается с использованием моделей общей циркуляции и климатических моделей .

Смотрите также

• Барометрическая формула
• Климатическая модель
• Уравнения Эйлера
• Динамика жидкости
• Модель общей циркуляции
• Численный прогноз погоды

Ссылки

1. До 1955 года: численные модели и предыстория МОЦАО

• Бенистон, Мартин. От турбулентности к климату: численные исследования атмосферы с иерархией моделей. Берлин: Springer, 1998. ISBN  3-540-63495-9
• Фёрт, Роберт. Построение сетки и точность мезомасштабных и микромасштабных метеорологических моделей. LSMSA, 2006.
• Томпсон, Филип. Численный анализ и прогноз погоды. Нью-Йорк: The Macmillan Company, 1961.
• Пилке, Роджер А. Мезомасштабное метеорологическое моделирование. Орландо: Academic Press, Inc., 1984. ISBN 0-12-554820-6 
• Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная метеорологическая служба. Справочник Национальной метеорологической службы № 1 – Факсимильные продукты. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли, 1979.

Внешние ссылки

Национальная метеорологическая служба – Совместный научно-исследовательский и учебный сайт NCSU, Обзор примитивных уравнений.