Принцип Даламбера

Высказывание в классической механике

«Трактат о динамике» Жана Лерона Д'Аламбера , 1743 г. В нем французский ученый сформулировал принцип количества движения, также известный как «принцип Д'Аламбера».

Жан д'Аламбер (1717–1783)

Принцип Даламбера , также известный как принцип Лагранжа–Д'Аламбера , является утверждением фундаментальных классических законов движения. Он назван в честь своего первооткрывателя, французского физика и математика Жана Лерона Д'Аламбера , и итало-французского математика Жозефа Луи Лагранжа . Принцип Д'Аламбера обобщает принцип виртуальной работы со статических на динамические системы , вводя силы инерции , которые при добавлении к приложенным силам в системе приводят к динамическому равновесию . ^{[1] [2]}

Принцип Даламбера может быть применен в случаях кинематических ограничений , зависящих от скоростей. ^{[1] : 92} Принцип не применяется для необратимых перемещений, таких как трение скольжения , и требуется более общая спецификация необратимости. ^{[3] [4]}

Заявление принципа

Принцип утверждает, что сумма разностей между силами, действующими на систему массивных частиц, и производными по времени импульсов самой системы, спроецированных на любое виртуальное смещение, согласующееся с ограничениями системы, равна нулю. ^{[ необходимо пояснение ]} Таким образом, в математической записи принцип Даламбера записывается следующим образом: $${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,}$$

где:

• ${\displaystyle i}$— это целое число, используемое для обозначения (с помощью нижнего индекса) переменной, соответствующей конкретной частице в системе,
• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$- полная приложенная сила (исключая силы ограничений) к -й частице, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle m_{i}}$- масса -й частицы, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$- скорость -й частицы, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$— виртуальное смещение -й частицы, соответствующее ограничениям. ${\displaystyle i}$

Точечная нотация Ньютона используется для представления производной по времени. Вышеприведенное уравнение часто называют принципом Даламбера, но впервые в этой вариационной форме его записал Жозеф Луи Лагранж . ^[5] Вклад Даламбера состоял в том, чтобы продемонстрировать, что в совокупности динамической системы силы принуждения исчезают. То есть, обобщенные силы не обязательно должны включать силы принуждения. Это эквивалентно несколько более громоздкому принципу наименьшего принуждения Гаусса . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{j}}$

Производные

Общий случай с переменной массой

В общем утверждении принципа Даламбера упоминаются « производные по времени импульсов системы ». По второму закону Ньютона, первая производная по времени импульса — это сила. Импульс -й массы — это произведение ее массы и скорости: а ее производная по времени равна ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}}$$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}.}$$

Во многих приложениях массы постоянны, и это уравнение сводится к $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}.}$$

Однако некоторые приложения предполагают изменение масс (например, сворачивание или разворачивание цепей), и в этих случаях оба термина и должны присутствовать, что дает ${\displaystyle {\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

Частный случай с постоянной массой

Рассмотрим закон Ньютона для системы частиц постоянной массы, . Полная сила, действующая на каждую частицу, равна ^[6] где ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$— это полные силы, действующие на частицы системы,
• ${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}}$— это силы инерции, возникающие из суммарных сил.

Перемещение инерционных сил влево дает выражение, которое можно считать выражением квазистатического равновесия, но которое на самом деле является всего лишь небольшой алгебраической манипуляцией закона Ньютона: ^[6] $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .}$$

Рассмотрение виртуальной работы , , выполняемой общими и инерционными силами вместе посредством произвольного виртуального смещения , системы приводит к нулевому тождеству, поскольку сумма задействованных сил равна нулю для каждой частицы. ^[6] ${\displaystyle \delta W}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$$

Исходное векторное уравнение может быть восстановлено, если признать, что выражение работы должно быть выполнено для произвольных перемещений. Разделение общих сил на приложенные силы, , и силы ограничения, , дает ^[6] ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$ $${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

Если предполагается, что произвольные виртуальные смещения происходят в направлениях, ортогональных силам ограничений (что обычно не так, поэтому этот вывод работает только для особых случаев), силы ограничений не выполняют никакой работы. Такие смещения считаются согласованными с ограничениями. ^[7] Это приводит к формулировке принципа Даламбера , который гласит, что разность приложенных сил и сил инерции для динамической системы не выполняет никакой виртуальной работы: ^[6] ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ $${\displaystyle \delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

Существует также соответствующий принцип для статических систем, называемый принципом виртуальной работы приложенных сил .

Принцип инерционных сил Даламбера

Даламбер показал, что можно преобразовать ускоряющееся твердое тело в эквивалентную статическую систему, добавив так называемые « силу инерции » и «момент инерции» или момент. Сила инерции должна действовать через центр масс, а момент инерции может действовать в любом месте. Затем систему можно проанализировать точно так же, как статическую систему, подверженную действию этой «силы и момента инерции» и внешних сил. Преимущество состоит в том, что в эквивалентной статической системе можно брать моменты относительно любой точки (а не только центра масс). Это часто приводит к более простым вычислениям, поскольку любую силу (в свою очередь) можно исключить из уравнений моментов, выбрав соответствующую точку, относительно которой следует применить уравнение моментов (сумма моментов = нулю). Даже в курсе «Основы динамики и кинематики машин» этот принцип помогает в анализе сил, действующих на звено механизма, когда оно находится в движении. В учебниках по инженерной динамике это иногда называют принципом Даламбера .

Некоторые преподаватели предупреждают, что попытки использовать инерциальную механику Даламбера приводят к тому, что учащиеся часто совершают ошибки в знаках. ^[8] Потенциальной причиной этих ошибок является знак инерциальных сил . Инерциальные силы можно использовать для описания кажущейся силы в неинерциальной системе отсчета , которая имеет ускорение относительно инерциальной системы отсчета . В такой неинерциальной системе отсчета масса, которая находится в состоянии покоя и имеет нулевое ускорение в инерциальной системе отсчета, поскольку на нее не действуют никакие силы, все равно будет иметь ускорение, и кажущаяся инерциальная или псевдо- или фиктивная сила будет казаться действующей на нее: в этой ситуации инерциальная сила имеет знак минус. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle -\mathbf {a} }$ ${\displaystyle -m\mathbf {a} }$

Динамическое равновесие

Форма принципа виртуальной работы Даламбера гласит, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального смещения системы. Таким образом, динамическое равновесие системы твердых тел с обобщенными координатами требует для любого набора виртуальных перемещений с быть обобщенной приложенной силой и быть обобщенной силой инерции. Это условие дает уравнения, которые также можно записать как Результатом является набор из m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердых тел. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ ${\displaystyle \delta q_{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}^{*}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Формулировка с использованием лагранжиана

Принцип Даламбера можно переписать в терминах лагранжиана L=TV системы как обобщенную версию принципа Гамильтона следующим образом, где: $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$приложенные силы

• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$виртуальное смещение -й частицы, соответствующее ограничениям ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$
• критическая кривая удовлетворяет ограничениям ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

С помощью Лагранжиана восстанавливается предыдущая формулировка принципа Даламбера. $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},}$$

Обобщение для термодинамики

Расширение принципа Даламбера может быть использовано в термодинамике. ^[4] Например, для адиабатически замкнутой термодинамической системы, описываемой лагранжианом, зависящим от единственной энтропии S и с постоянными массами , такой как , это записывается следующим образом , где предыдущие ограничения и обобщаются для включения энтропии следующим образом: ${\displaystyle m_{i}}$ $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),}$$ $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.}$

Здесь - температура системы, - внешние силы, - внутренние диссипативные силы. Это приводит к уравнениям механического и теплового баланса: ^[4] Типичные приложения принципа включают термомеханические системы, мембранный транспорт и химические реакции. ${\displaystyle T=\partial V/\partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$ $${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.}$$

Для классического принципа Даламбера восстановлены уравнения. ${\displaystyle \delta S={\dot {S}}=0}$

Ссылки

1. Ланцос, Корнелиус (1964). Вариационные принципы механики. Торонто, Издательство Торонтского университета. С. 92.
2. Даламбер, Жан ле Рон (1743). Traité de dinamique. стр. 50–51.
3. Udwadia, FE; Kalaba, RE (2002). "On the Foundations of Analytical Dynamics" (PDF) . Intl. Journ. Nonlinear Mechanics . 37 (6): 1079–1090. Bibcode :2002IJNLM..37.1079U. CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . doi :10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-13. 
4. Гей-Бальмаз, Франсуа; Ёсимура, Хироаки (2018). «От механики Лагранжа к неравновесной термодинамике: вариационная перспектива». Энтропия . 21 (1): 8. arXiv : 1904.03738 . Bibcode : 2018Entrp..21....8G. doi : 10.3390/e21010008 . ISSN  1099-4300. PMC 7514189. PMID  33266724 . 
5. Арнольд Зоммерфельд (1956), Механика: Лекции по теоретической физике , том 1, стр. 53
6. Torby, Bruce (1984). "Энергетические методы". Advanced Dynamics for Engineers . Серия HRW по машиностроению. Соединенные Штаты Америки: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.
7. Jong, Ing-Chang (2005). «Улучшение механики материалов». Обучение студентов работе и метод виртуальной работы в статике: руководящая стратегия с иллюстративными примерами. Ежегодная конференция и выставка Американского общества инженерного образования 2005 года . Получено 24 июня 2014 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
8. Ruina, Andy L., and Rudra Pratap . Введение в статику и динамику. Препринт для Oxford University Press, 2008.