Принцип исключения Паули

Правило квантовой механики: идентичные фермионы не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние.

Вольфганг Паули во время лекции в Копенгагене (1929). ^[1] Вольфганг Паули сформулировал принцип исключения Паули.

В квантовой механике принцип исключения Паули утверждает, что две или более идентичных частиц с полуцелыми спинами (т. е. фермионы ) не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние в системе, которая подчиняется законам квантовой механики . Этот принцип был сформулирован австрийским физиком Вольфгангом Паули в 1925 году для электронов , а затем распространен на все фермионы с помощью его спин-статистической теоремы 1940 года.

В случае электронов в атомах принцип исключения можно сформулировать следующим образом: в многоэлектронном атоме невозможно, чтобы любые два электрона имели одинаковые два значения всех четырех своих квантовых чисел , которые являются: n , главное квантовое число ; ℓ , азимутальное квантовое число ; m _ℓ , магнитное квантовое число ; и m _s , спиновое квантовое число . Например, если два электрона находятся на одной и той же орбитали , то их значения n , ℓ , и m _ℓ равны. В этом случае два значения пары m _s (спин) должны быть разными. Поскольку единственными двумя возможными значениями для проекции спина m _s являются +1/2 и −1/2, следует, что один электрон должен иметь m _s = +1/2, а другой m _s = −1/2.

Частицы с целым спином ( бозоны ) не подчиняются принципу исключения Паули. Любое количество идентичных бозонов может занимать одно и то же квантовое состояние, например, фотоны, производимые лазером , или атомы, находящиеся в конденсате Бозе-Эйнштейна .

Более строгое утверждение: при обмене двумя идентичными частицами полная (многочастичная) волновая функция антисимметрична для фермионов и симметрична для бозонов. Это означает, что если поменять местами пространственные и спиновые координаты двух идентичных частиц, то полная волновая функция меняет знак для фермионов, но не меняет знак для бозонов.

Итак, если бы гипотетически два фермиона находились в одном и том же состоянии, например, в одном атоме на одной и той же орбитали с одинаковым спином, то их перестановка ничего бы не изменила, и полная волновая функция осталась бы неизменной. Однако единственный способ, которым полная волновая функция может как менять знак (требуется для фермионов), так и оставаться неизменной, заключается в том, что такая функция должна быть равна нулю везде, что означает, что такое состояние не может существовать. Это рассуждение неприменимо к бозонам, поскольку знак не меняется.

Обзор

Принцип исключения Паули описывает поведение всех фермионов (частиц с полуцелым спином ), в то время как бозоны (частицы с целым спином) подчиняются другим принципам. Фермионы включают элементарные частицы , такие как кварки , электроны и нейтрино . Кроме того, барионы, такие как протоны и нейтроны ( субатомные частицы, состоящие из трех кварков), и некоторые атомы (например, гелий-3 ) являются фермионами и, следовательно, также описываются принципом исключения Паули. Атомы могут иметь разный общий спин, который определяет, являются ли они фермионами или бозонами: например, гелий-3 имеет спин 1/2 и, следовательно, является фермионом, тогда как гелий-4 имеет спин 0 и является бозоном. ^{[2] : 123–125} Принцип исключения Паули лежит в основе многих свойств повседневной материи, от ее крупномасштабной стабильности до химического поведения атомов .

Полуцелый спин означает, что собственное значение углового момента фермионов равно ( приведенной постоянной Планка ) умноженному на полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.). В теории квантовой механики фермионы описываются антисимметричными состояниями . Напротив, частицы с целым спином (бозоны) имеют симметричные волновые функции и могут совместно использовать одни и те же квантовые состояния. К бозонам относятся фотон , куперовские пары , которые отвечают за сверхпроводимость , а также W- и Z-бозоны . Фермионы получили свое название от статистического распределения Ферми-Дирака , которому они подчиняются, а бозоны — от распределения Бозе-Эйнштейна . ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$

История

В начале 20 века стало очевидно, что атомы и молекулы с четным числом электронов химически более стабильны, чем те, у которых число электронов нечетное. Например, в статье 1916 года «Атом и молекула» Гилберта Н. Льюиса третий из его шести постулатов химического поведения гласит, что атом имеет тенденцию удерживать четное число электронов в любой заданной оболочке, и особенно удерживать восемь электронов, которые, как он предполагал, обычно располагаются симметрично в восьми углах куба . ^[3] В 1919 году химик Ирвинг Ленгмюр предположил, что периодическую таблицу можно объяснить, если электроны в атоме связаны или сгруппированы каким-либо образом. Считалось, что группы электронов занимают набор электронных оболочек вокруг ядра. ^[4] В 1922 году Нильс Бор обновил свою модель атома , предположив, что определенное число электронов (например, 2, 8 и 18) соответствует стабильным «замкнутым оболочкам». ^{[5] : 203}

Паули искал объяснение этим числам, которые сначала были только эмпирическими . В то же время он пытался объяснить экспериментальные результаты эффекта Зеемана в атомной спектроскопии и в ферромагнетизме . Он нашел существенную подсказку в статье Эдмунда К. Стоунера 1924 года , в которой указывалось, что для заданного значения главного квантового числа ( n ) число уровней энергии одного электрона в спектрах щелочных металлов во внешнем магнитном поле, где все вырожденные уровни энергии разделены, равно числу электронов в замкнутой оболочке благородных газов для того же значения n . Это привело Паули к пониманию того, что сложные числа электронов в замкнутых оболочках можно свести к простому правилу одного электрона на состояние, если электронные состояния определяются с помощью четырех квантовых чисел. Для этой цели он ввел новое двузначное квантовое число, идентифицированное Сэмюэлем Гоудсмитом и Джорджем Уленбеком как спин электрона . ^{[6] [7]}

Связь с симметрией квантового состояния

В своей Нобелевской лекции Паули разъяснил важность симметрии квантового состояния для принципа исключения: ^[8]

Среди различных классов симметрии наиболее важными (которые, к тому же, для двух частиц являются единственными) являются симметричный класс , в котором волновая функция не меняет своего значения при перестановке пространственных и спиновых координат двух частиц, и антисимметричный класс , в котором при такой перестановке волновая функция меняет свой знак... [Антисимметричный класс является] правильной и общей волновой механической формулировкой принципа исключения.

Принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной относительно обмена . Если и пробегают базисные векторы гильбертова пространства, описывающие одночастичную систему, то тензорное произведение производит базисные векторы гильбертова пространства, описывающие систему из двух таких частиц. Любое двухчастичное состояние может быть представлено как суперпозиция (т.е. сумма) этих базисных векторов: ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |y\rangle }$ ${\displaystyle |x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,}$

где каждый A ( x , y ) является (комплексным) скалярным коэффициентом. Антисимметрия относительно обмена означает, что A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Это подразумевает A ( x , y ) = 0 при x = y , что является исключением Паули. Это верно в любом базисе, поскольку локальные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисимметричными.

Наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то компонент волновой функции

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big )}}$

обязательно антисимметрично. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент

${\displaystyle \langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.}$

Это ноль, потому что обе частицы имеют нулевую вероятность находиться в состоянии суперпозиции . Но это равно ${\displaystyle |x\rangle +|y\rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .}$

Первый и последний члены являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновой функции подчиняются:

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,}$

или

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x).}$

Для системы с n > 2 частицами многочастичные базисные состояния становятся n -кратными тензорными произведениями одночастичных базисных состояний, а коэффициенты волновой функции определяются n одночастичными состояниями. Условие антисимметрии гласит, что коэффициенты должны менять знак всякий раз, когда меняются местами любые два состояния: для любого . Принцип исключения является следствием того, что если для любого то Это показывает, что ни одна из n частиц не может находиться в одном и том же состоянии. ${\displaystyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=-A(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j,}$ ${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=0.}$

Расширенная квантовая теория

Согласно теореме о спине–статистике , частицы с целым спином занимают симметричные квантовые состояния, а частицы с полуцелым спином занимают антисимметричные состояния; кроме того, только целые или полуцелые значения спина допускаются принципами квантовой механики. В релятивистской квантовой теории поля принцип Паули следует из применения оператора вращения во мнимом времени к частицам с полуцелым спином.

В одном измерении бозоны, как и фермионы, могут подчиняться принципу исключения. Одномерный бозе-газ с дельта-функциональными отталкивающими взаимодействиями бесконечной силы эквивалентен газу свободных фермионов. Причина этого в том, что в одном измерении обмен частицами требует, чтобы они проходили друг сквозь друга; для бесконечно сильного отталкивания этого не может произойти. Эта модель описывается квантовым нелинейным уравнением Шредингера . В импульсном пространстве принцип исключения справедлив также для конечного отталкивания в бозе-газе с дельта-функциональными взаимодействиями ^[9] , а также для взаимодействующих спинов и модели Хаббарда в одном измерении и для других моделей, решаемых анзацем Бете . Основное состояние в моделях, решаемых анзацем Бете, представляет собой сферу Ферми .

Приложения

Атомы

Принцип исключения Паули помогает объяснить широкий спектр физических явлений. Одним из особенно важных следствий принципа является сложная структура электронной оболочки атомов и то, как атомы делят электроны, объясняя разнообразие химических элементов и их химических комбинаций. Электрически нейтральный атом содержит связанные электроны, количество которых равно количеству протонов в ядре . Электроны, будучи фермионами, не могут занимать то же квантовое состояние, что и другие электроны, поэтому электроны должны «складываться» внутри атома, т. е. иметь разные спины, находясь на той же электронной орбитали, как описано ниже.

Примером может служить нейтральный атом гелия (He), который имеет два связанных электрона, оба из которых могут занимать состояния с самой низкой энергией ( 1s ), приобретая противоположный спин; поскольку спин является частью квантового состояния электрона, два электрона находятся в разных квантовых состояниях и не нарушают принцип Паули. Однако спин может принимать только два различных значения ( собственных значения ). В атоме лития (Li) с тремя связанными электронами третий электрон не может находиться в состоянии 1s и должен вместо этого занимать состояние с более высокой энергией. Самое низкое доступное состояние - 2s, так что основное состояние Li - 1s ² 2s. Аналогично, последовательно более крупные элементы должны иметь оболочки последовательно более высокой энергии. Химические свойства элемента во многом зависят от числа электронов во внешней оболочке; атомы с разным числом занятых электронных оболочек, но одинаковым числом электронов во внешней оболочке имеют схожие свойства, что приводит к периодической таблице элементов . ^{[10] : 214–218}

Для проверки принципа исключения Паули для атома гелия Гордон Дрейк ^[11] провел очень точные расчеты для гипотетических состояний атома Не, которые его нарушают, которые называются паронными состояниями . Позднее К. Дейламиан и др. ^[12] использовали атомно-лучевой спектрометр для поиска паронного состояния 1s2s ¹ S ₀ , вычисленного Дрейком. Поиск оказался безуспешным и показал, что статистический вес этого паронного состояния имеет верхний предел5 × 10 ⁻⁶ . (Принцип исключения подразумевает нулевой вес.)

Свойства твердого тела

В проводниках и полупроводниках существует очень большое количество молекулярных орбиталей , которые эффективно образуют непрерывную зонную структуру энергетических уровней . В сильных проводниках ( металлах ) электроны настолько вырождены , что они даже не могут внести большой вклад в теплоемкость металла. ^{[13] : 133–147} Многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются прямым следствием исключения Паули.

Устойчивость материи

Устойчивость каждого электронного состояния в атоме описывается квантовой теорией атома, которая показывает, что близкое приближение электрона к ядру обязательно увеличивает кинетическую энергию электрона, что является применением принципа неопределенности Гейзенберга. ^[14] Однако устойчивость больших систем со многими электронами и многими нуклонами — это другой вопрос, требующий принципа исключения Паули. ^[15]

Было показано, что принцип исключения Паули отвечает за тот факт, что обычное объемное вещество стабильно и занимает объем. Это предположение было впервые высказано в 1931 году Полем Эренфестом , который указал, что электроны каждого атома не могут все попасть на орбиталь с наименьшей энергией и должны занимать последовательно более крупные оболочки. Поэтому атомы занимают объем и не могут быть сжаты слишком тесно вместе. ^[16]

Первое строгое доказательство было предоставлено в 1967 году Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом (нем.), которые рассмотрели баланс притяжения (электрон-ядерных) и отталкивания (электрон-электронных и ядерно-ядерных) сил и показали, что обычная материя коллапсировала бы и занимала бы гораздо меньший объем без принципа Паули. ^{[17] [18]} Гораздо более простое доказательство было найдено позже Эллиотом Х. Либом и Уолтером Тиррингом в 1975 году. Они предоставили нижнюю границу квантовой энергии в терминах модели Томаса-Ферми , которая является стабильной благодаря теореме Теллера . Доказательство использовало нижнюю границу кинетической энергии, которая теперь называется неравенством Либа-Тирринга .

Следствием принципа Паули здесь является то, что электроны с одинаковым спином удерживаются порознь отталкивающим обменным взаимодействием , которое является эффектом короткого действия, действующим одновременно с дальнодействующей электростатической или кулоновской силой . Этот эффект частично отвечает за повседневное наблюдение в макроскопическом мире, что два твердых объекта не могут находиться в одном и том же месте в одно и то же время.

Астрофизика

Дайсон и Ленард не рассматривали экстремальные магнитные или гравитационные силы, которые возникают в некоторых астрономических объектах. В 1995 году Эллиотт Либ и его коллеги показали, что принцип Паули все еще приводит к стабильности в интенсивных магнитных полях, таких как в нейтронных звездах , хотя и при гораздо более высокой плотности, чем в обычной материи. ^[19] Следствием общей теории относительности является то, что в достаточно интенсивных гравитационных полях материя коллапсирует, образуя черную дыру .

Астрономия наглядно демонстрирует действие принципа Паули в виде белых карликов и нейтронных звезд . В обоих телах атомная структура нарушается экстремальным давлением, но звезды удерживаются в гидростатическом равновесии давлением вырождения , также известным как давление Ферми. Эта экзотическая форма материи известна как вырожденная материя . Огромная гравитационная сила массы звезды обычно удерживается в равновесии тепловым давлением, вызванным теплом, выделяемым при термоядерном синтезе в ядре звезды. В белых карликах, которые не подвергаются ядерному синтезу, противодействующая сила гравитации обеспечивается давлением вырождения электронов . В нейтронных звездах , подверженных еще более сильным гравитационным силам, электроны слились с протонами, образовав нейтроны. Нейтроны способны создавать еще более высокое давление вырождения, давление вырождения нейтронов , хотя и на более коротком расстоянии. Это может стабилизировать нейтронные звезды от дальнейшего коллапса, но при меньшем размере и более высокой плотности , чем у белого карлика. Нейтронные звезды являются наиболее «жесткими» известными объектами; их модуль Юнга (или, точнее, объемный модуль ) на 20 порядков больше, чем у алмаза . Однако даже эта огромная жесткость может быть преодолена гравитационным полем нейтронной звезды с массой, превышающей предел Толмена–Оппенгеймера–Волкова , что приводит к образованию черной дыры . ^{[20] : 286–287}

Смотрите также

• Теорема о спиновой статистике
• Обмен взаимодействием
• Обмен симметрией
• Статистика Ферми-Дирака
• Ферми-дырка
• Правило Хунда
• эффект Паули

Ссылки

1. "Вольфганг Паули во время лекции в Копенгагене" . Получено 2023-09-11 .
2. Кеннет С. Крейн (5 ноября 1987 г.). Введение в ядерную физику . Wiley. ISBN 978-0-471-80553-3.
3. "Лайнус Полинг и природа химической связи: документальная история". Исследовательский центр специальных коллекций и архивов - Университет штата Орегон – через scarc.library.oregonstate.edu.
4. Langmuir, Irving (1919). "The Arrangement of Electrons in Atoms and Molecules" (PDF) . Journal of the American Chemical Society . 41 (6): 868–934. doi :10.1021/ja02227a002. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-03-30 . Получено 2008-09-01 .
5. Шавив, Глора (2010). Жизнь звезд: противоречивое начало и возникновение теории звездной структуры . Springer. ISBN 978-3-642-02087-2.
6. Straumann, Norbert (2004). «Роль принципа исключения для атомов в звездах: исторический отчет». Приглашенный доклад на 12-м семинаре по ядерной астрофизике : 184–196. arXiv : quant-ph/0403199 . Bibcode : 2004quant.ph..3199S. CiteSeerX 10.1.1.251.9585 . 
7. Паули, В. (1925). «Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren». Zeitschrift für Physik . 31 (1): 765–783. Бибкод : 1925ZPhy...31..765P. дои : 10.1007/BF02980631. S2CID  122941900.
8. "Вольфганг Паули, Нобелевская лекция (13 декабря 1946 г.)" (PDF) .
9. AG Izergin; VE Korepin (июль 1982). "Pauli principle for one-dimensional bosons and the algebraic Bethe ansatz" (PDF) . Letters in Mathematical Physics . 6 (4): 283–288. Bibcode :1982LMaPh...6..283I. doi :10.1007/BF00400323. S2CID  121829553. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-11-25 . Получено 2009-12-02 .
10. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.) , Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7
11. Drake, GWF (1989). «Предсказанные энергетические сдвиги для «паронического» гелия». Phys. Rev. A. 39 ( 2): 897–899. Bibcode : 1989PhRvA..39..897D. doi : 10.1103/PhysRevA.39.897. PMID  9901315. S2CID  35775478.
12. Deilamian, K.; et al. (1995). «Поиск малых нарушений постулата симметризации в возбужденном состоянии гелия». Phys. Rev. Lett . 74 (24): 4787–4790. Bibcode :1995PhRvL..74.4787D. doi :10.1103/PhysRevLett.74.4787. PMID  10058599.
13. Киттель, Чарльз (2005), Введение в физику твердого тела (8-е изд.), США: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8
14. Либ, Эллиотт Х. (2002). «Устойчивость материи и квантовая электродинамика». arXiv : math-ph/0209034 .
15. Это понимание приписывается Либу, Эллиотту Х. (2002). "Устойчивость материи и квантовая электродинамика". arXiv : math-ph/0209034 .и GL Sewell (2002). Квантовая механика и ее возникающая макрофизика . Princeton University Press. ISBN 0-691-05832-6.Ф. Дж. Дайсону и А. Ленарду: Устойчивость материи, части I и II ( J. Math. Phys. , 8 , 423–434 (1967); J. Math. Phys. , 9 , 698–711 (1968)).
16. Как описывает Ф. Дж. Дайсон (J.Math.Phys. 8 , 1538–1545 (1967)), Эренфест сделал это предложение в своей речи по случаю награждения Паули медалью Лоренца .
17. FJ Dyson и A. Lenard: Устойчивость материи, части I и II ( J. Math. Phys. , 8 , 423–434 (1967); J. Math. Phys. , 9 , 698–711 (1968) )
18. Дайсон, Фримен (1967). «Энергия основного состояния конечной системы заряженных частиц». J. Math. Phys . 8 (8): 1538–1545. Bibcode : 1967JMP.....8.1538D. doi : 10.1063/1.1705389.
19. Lieb, EH; Loss, M.; Solovej, JP (1995). «Устойчивость вещества в магнитных полях». Physical Review Letters . 75 (6): 985–9. arXiv : cond-mat/9506047 . Bibcode : 1995PhRvL..75..985L. doi : 10.1103/PhysRevLett.75.985. PMID  10060179. S2CID  2794188.
20. Мартин Бойовальд (5 ноября 2012 г.). Вселенная: взгляд с точки зрения классической и квантовой гравитации . John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-66769-7.

Общий

• Дилл, Дэн (2006). "Глава 3.5, Многоэлектронные атомы: Ферми-дырки и Ферми-кучи". Заметки по общей химии (2-е изд.) . WH Freeman. ISBN 1-4292-0068-5.
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.
• Массими, Микела (2005). Принцип исключения Паули . Cambridge University Press. ISBN 0-521-83911-4.
• Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2002). Современная физика (4-е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.
• Шерри, Эрик (2007). Периодическая таблица: ее история и ее значение . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-530573-9.

Внешние ссылки

• Нобелевская лекция: Принцип исключения и квантовая механика. Рассказ Паули о развитии принципа исключения.