Сумматорная функция делителя

Сумматорная функция функции счета делителей

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для ${\displaystyle x<10^{4}}$

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для ${\displaystyle x<10^{7}}$

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для , представленная в виде распределения или гистограммы. Вертикальный масштаб не является постоянным слева направо; нажмите на изображение для подробного описания. ${\displaystyle x<10^{7}}$

В теории чисел функция суммирования делителей представляет собой функцию, которая является суммой по функции делителя . Это часто встречается при изучении асимптотического поведения дзета-функции Римана . Различные исследования поведения функции делителя иногда называют задачами о делителях .

Определение

Сумматорная функция делителя определяется как

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$

где

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1}$

это функция делителя . Функция делителя подсчитывает количество способов, которыми целое число n можно записать в виде произведения двух целых чисел. В более общем смысле определяют

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$

где d _k ( n ) подсчитывает количество способов, которыми n можно записать в виде произведения k чисел. Эту величину можно представить как количество точек решетки, отгороженных гиперболической поверхностью в k измерениях. Таким образом, для k =2 _{функция} D ( x ) = D2 ( x ) подсчитывает количество точек на квадратной решетке, ограниченной слева вертикальной осью, снизу горизонтальной осью и сверху. справа от гиперболы jk  =  x . Грубо говоря, эту форму можно представить как гиперболический симплекс . Это позволяет нам предоставить альтернативное выражение для D ( x ) и простой способ его вычисления во времени: ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}$, где ${\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }$

Если гипербола в этом контексте заменяется кругом, то определение значения результирующей функции известно как проблема круга Гаусса .

Последовательность D(n) (последовательность A006218 в OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Проблема делителей Дирихле

Найти замкнутую форму для этого суммированного выражения, кажется, выходит за рамки имеющихся методов, но можно дать приближения. Ведущее поведение ряда определяется выражением

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

где – постоянная Эйлера–Машерони , а член ошибки равен ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).}$

Здесь обозначает обозначение Big-O . Эта оценка может быть доказана с использованием метода гиперболы Дирихле , и она была впервые установлена ^{​​Дирихле} в 1849 году ^. который ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

справедливо для всех . На сегодняшний день эта проблема остается нерешенной. Прогресс был медленным. Многие из одних и тех же методов работают для этой задачи и для задачи Гаусса о круге , еще одной задачи подсчета точек решетки. Раздел F1 книги « Нерешенные проблемы теории чисел» ^[2] описывает то, что известно и неизвестно об этих проблемах. ${\displaystyle \epsilon >0}$

• В 1904 г. Г. Вороной доказал, что член ошибки можно улучшить до ^{[3] : 381.} ${\displaystyle O(x^{1/3}\log x).}$
• В 1916 году Г.Х. Харди показал, что . В частности, он продемонстрировал, что для некоторой константы существуют значения x , для которых и значения x , для которых . ^{[1] : 69} ${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$ ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$
• В 1922 г. Дж. ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}$
• В 1928 году ван дер Корпут доказал это . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}}$
• Это доказали в 1950 г. Чжи Цзун-тао и независимо в 1953 г. Х.Э. Ричерт . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...}$
• Это продемонстрировал в 1969 году Григорий Колесник . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}}$
• В 1973 году Колесник продемонстрировал это . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...}$
• В 1982 году Колесник продемонстрировал это . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}}$
• В 1988 году Х. Иванец и К. Дж. Моццочи доказали это . ^[4] ${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}}$
• В 2003 году М. Н. Хаксли улучшил это, показав, что … ^[5] ${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...}$

Итак, лежит где-то между 1/4 и 131/416 (около 0,3149); широко распространено мнение, что оно составляет 1/4. Теоретические данные подтверждают эту гипотезу, поскольку она имеет (негауссово) предельное распределение. ^[6] Значение 1/4 также следует из гипотезы о парах показателей . ^[7] ${\displaystyle \inf \theta }$ ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$

Задача о делителе Пильца

В обобщенном случае

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

где – многочлен степени . Используя простые оценки, легко показать, что ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

для целого числа . Как и в случае, нижняя грань границы неизвестна ни при каком значении . Вычисление этих инфим известно как проблема делителей Пильца, по имени немецкого математика Адольфа Пильца (см. также его немецкую страницу). Определив порядок как наименьшее значение, для которого выполняется, для любого , получим следующие результаты (обратите внимание, что это результат предыдущего раздела): ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,}$^[5]

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$^[8] и ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}$

• ЕС Титчмарш предполагает, что ${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

Преобразование Меллина

Обе части могут быть выражены как преобразования Меллина :

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

для . Здесь – дзета-функция Римана . Аналогично, у человека есть ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

с . Главный член получается путем смещения контура за двойной полюс в точке : главный член - это просто вычет по интегральной формуле Коши . В общем, у человека есть ${\displaystyle 0<c^{\prime }<1}$ ${\displaystyle D(x)}$ ${\displaystyle w=1}$

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

и то же самое для , для . ${\displaystyle \Delta _{k}(x)}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

Примечания

1. Монтгомери, Хью ; Р. К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I: Классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6.
2. Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-0-387-20860-2.
3. Ивич, Александр (2003). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-42813-3.
4. Иванец, Х .; Си Джей Моццочи (1988). «О задачах о делителях и окружностях». Журнал теории чисел . 29 : 60–93. дои : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
5. Хаксли, Миннесота (2003). «Экспоненциальные суммы и точки решетки III». Учеб. Лондонская математика. Соц . 87 (3): 591–609. дои : 10.1112/S0024611503014485. ISSN  0024-6115. Збл  1065.11079.
6. Хит-Браун, доктор медицинских наук (1992). «Распределение и моменты ошибки в задаче о делителях Дирихле». Акта Арифметика . 60 (4): 389–415. дои : 10.4064/aa-60-4-389-415 . ISSN  0065-1036. S2CID  59450869. Теорема 1. Функция имеет функцию распределения
7. Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 59. ИСБН 0-8218-0737-4. Збл  0814.11001.
8. Г. Колесник. Об оценке кратных экспоненциальных сумм, в «Последние достижения в аналитической теории чисел», Symposium Durham 1979 (том 1), Academic, Лондон, 1981, стр. 231–246.
9. Александр Ивич . Теория дзета-функции Римана с приложениями (теорема 13.2). Джон Уайли и сыновья 1985.

Рекомендации

• HM Эдвардс , Дзета-функция Римана , (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9 
• EC Титчмарш, Теория дзета-функции Римана , (1951) Оксфорд, издательство Clarendon Press, Оксфорд. (Обсуждение проблемы обобщенных делителей см. в главе 12.)
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001 (Дает вводную формулировку проблемы делителей Дирихле.)
• Он поднялся. Курс теории чисел. , Оксфорд, 1988.
• М. Н. Хаксли (2003) «Экспоненциальные суммы и точки решетки III», Proc. Лондонская математика. Соц. (3)87:591–609