проблема Ямабэ

Проблема Ямабэ относится к гипотезе в математической области дифференциальной геометрии , которая была разрешена в 1980-х годах. Это утверждение о скалярной кривизне римановых многообразий :

Пусть ( M , g ) — замкнутое гладкое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция f на M такая, что риманова метрика fg имеет постоянную скалярную кривизну.

Вычислив формулу того, как скалярная кривизна fg соотносится с кривизной g , это утверждение можно перефразировать в следующей форме:

Пусть ( M , g ) — замкнутое гладкое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция φ на M и число c , такие, что

${\displaystyle {\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.}$

Здесь n обозначает размерность M , R ^g обозначает скалярную кривизну g , а ∆ ^g обозначает оператор Лапласа-Бельтрами g .

Математик Хидехико Ямабэ в статье Ямабэ (1960) выдал вышеуказанные утверждения в качестве теорем и предоставил доказательство; однако Трудингер (1968) обнаружил ошибку в его доказательстве. Проблема понимания того, являются ли вышеуказанные утверждения истинными или ложными, стала известна как проблема Ямабэ. Совместная работа Ямабэ, Трудингера, Тьерри Обена и Ричарда Шёна дала утвердительное решение проблемы в 1984 году.

В настоящее время это считается классической проблемой геометрического анализа , доказательство которой требует новых методов в области дифференциальной геометрии и уравнений с частными производными . Решающим моментом в окончательном решении проблемы Шёном было применение теоремы о положительной энергии общей теории относительности , которая является чисто дифференциально-геометрической математической теоремой, впервые доказанной (во временной постановке) в 1979 году Шёном и Шинг-Тунг Яу .

Более поздняя работа была написана Саймоном Брендлом , Маркусом Кури, Фернандо Кода Маркесом и Шоеном, которые рассматривали совокупность всех положительных и гладких функций f , таких что для заданного риманова многообразия ( M , g ) метрика fg имеет постоянную скалярную кривизну. Кроме того, проблема Ямабе, поставленная в схожих условиях, например, для полных некомпактных римановых многообразий, еще не полностью понята.

Проблема Ямабэ в особых случаях

Здесь мы называем «решением проблемы Ямабэ» на римановом многообразии риманову метрику g на M , для которой существует положительная гладкая функция с ${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.}$

На замкнутом многообразии Эйнштейна

Пусть будет гладким римановым многообразием. Рассмотрим положительную гладкую функцию, такую, что является произвольным элементом гладкого конформного класса Стандартное вычисление показывает ${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}.}$

${\displaystyle {\overline {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}}_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Big )}.}$

Взяв g -внутреннее произведение с результатами в ${\displaystyle \textstyle \varphi (\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)}$

${\displaystyle \varphi \left\langle {\overline {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatorname {Ric} ,\operatorname {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}-{\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.}$

Если предполагается, что это Эйнштейн, то левая часть исчезает. Если предполагается, что замкнуто, то можно сделать интегрирование по частям, вспоминая тождество Бианки, чтобы увидеть ${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,}$

${\displaystyle \int _{M}\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g}=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R,\nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.}$

Если g имеет постоянную скалярную кривизну, то правая часть исчезает. Последующее исчезновение левой части доказывает следующий факт, принадлежащий Обата (1971):

Каждое решение задачи Ямабэ на замкнутом многообразии Эйнштейна является решением Эйнштейна.

Затем Обата продолжил доказывать, что, за исключением случая стандартной сферы с ее обычной метрикой постоянной секционной кривизны, единственные метрики постоянной скалярной кривизны в конформном классе метрики Эйнштейна (на замкнутом многообразии) являются постоянными кратными данной метрики. Доказательство продолжается, показывая, что градиент конформного фактора на самом деле является конформным полем Киллинга. Если конформный фактор не является постоянным, то следование линиям потока этого градиентного поля, начиная с минимума конформного фактора, позволяет показать, что многообразие конформно связано с цилиндром и, следовательно, имеет исчезающую кривизну Вейля. ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

Некомпактный корпус

Близким вопросом является так называемая «некомпактная проблема Ямабе», которая спрашивает: верно ли, что на каждом гладком полном римановом многообразии ( M , g ) , которое не является компактным, существует метрика, которая конформна g , имеет постоянную скалярную кривизну и также является полной? Ответ — нет, из-за контрпримеров, приведенных Джином (1988). Известны различные дополнительные критерии, при которых может быть показано существование решения проблемы Ямабе для некомпактного многообразия (например, Aviles & McOwen (1988)); однако получение полного понимания того, когда проблема может быть решена в некомпактном случае, остается темой исследования.

Смотрите также

• Ямабэ поток
• Инвариант Ямабэ

Ссылки

Научные статьи

• Обен, Тьерри (1976), «Различные нелинейные уравнения и проблемы Ямабе, касающиеся скалярного курбюры», J. Math. Приложение Pures. , 55 : 269–296
• Aviles, P.; McOwen, RC (1988), "Конформная деформация к постоянной отрицательной скалярной кривизне на некомпактных римановых многообразиях", J. Differ. Geom. , 27 (2): 225–239, doi : 10.4310/jdg/1214441781 , MR  0925121
• Jin, Zhi Ren (1988), "Контрпример к проблеме Ямабэ для полных некомпактных многообразий", Partial Differential Equations (Tianjin, 1986) , Lecture Notes in Mathematics, т. 1306, Berlin: Springer, стр. 93–101, doi :10.1007/BFb0082927, MR  1032773
• Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. (1987), «Проблема Ямабэ», Бюллетень Американского математического общества , 17 : 37–81, doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5.
• Обата, Морио (1971), «Гипотезы о конформных преобразованиях римановых многообразий», Журнал дифференциальной геометрии , 6 : 247–258, doi : 10.4310/jdg/1214430407 , MR  0303464
• Шен, Ричард (1984), «Конформная деформация римановой метрики к постоянной скалярной кривизне», J. Differ. Geom. , 20 (2): 479–495, doi : 10.4310/jdg/1214439291
• Трудингер, Нил С. (1968), «Замечания относительно конформной деформации римановых структур на компактных многообразиях», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 22 : 265–274, MR  0240748
• Ямабэ, Хидехико (1960), «О деформации римановых структур на компактных многообразиях», Osaka Journal of Mathematics , 12 : 21–37, ISSN  0030-6126, MR  0125546

Учебники

• Обен, Тьерри. Некоторые нелинейные проблемы в римановой геометрии. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Берлин, 1998. xviii+395 стр. ISBN 3-540-60752-8 
• Schoen, R.; Yau, S.-T. Lectures on Differential Geometry. Lectures Notes made by Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong и Yi Chao Xu. Translated with Chinese Ding and SY Cheng. With preface translate with Chinese Kaising Tso. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v+235 pp. ISBN 1-57146-012-8 
• Струве, Майкл. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. Четвертое издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 34. Springer-Verlag, Берлин, 2008. xx+302 стр. ISBN 978-3-540-74012-4 .