В математике программа Эрлангена — это метод характеристики геометрии, основанный на теории групп и проективной геометрии . Он был опубликован Феликсом Кляйном в 1872 году под названием Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Он назван в честь университета Эрланген-Нюрнберг , где работал Кляйн.
К 1872 году появились неевклидовы геометрии , но без способа определить их иерархию и отношения. Метод Клейна был принципиально новаторским в трех отношениях:
Позднее Эли Картан обобщил однородные модельные пространства Клейна до связностей Картана на некоторых главных расслоениях , что обобщило риманову геометрию .
Со времен Евклида геометрия означала геометрию евклидова пространства двух измерений ( планарная геометрия ) или трех измерений ( стереопространственная геометрия ). В первой половине девятнадцатого века произошло несколько событий, усложнивших картину. Математические приложения требовали геометрии четырех или более измерений ; пристальное изучение основ традиционной евклидовой геометрии выявило независимость постулата о параллельности от других, и родилась неевклидова геометрия . Клейн выдвинул идею о том, что все эти новые геометрии являются всего лишь частными случаями проективной геометрии , уже разработанной Понселе , Мёбиусом , Кэли и другими. Клейн также настоятельно предлагал математическим физикам , что даже умеренное развитие проективной сферы может принести им существенную пользу.
С каждой геометрией Клейн связал базовую группу симметрий . Таким образом, иерархия геометрий математически представлена как иерархия этих групп и иерархия их инвариантов . Например, длины, углы и площади сохраняются относительно евклидовой группы симметрий, в то время как только структура инцидентности и двойное отношение сохраняются при самых общих проективных преобразованиях . Понятие параллельности , которое сохраняется в аффинной геометрии , не имеет смысла в проективной геометрии . Затем, абстрагируя базовые группы симметрий от геометрий, отношения между ними могут быть восстановлены на уровне группы. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой группы проективной геометрии, любое понятие, инвариантное в проективной геометрии, априори имеет смысл в аффинной геометрии; но не наоборот. Если вы удалите требуемые симметрии, у вас будет более мощная теория, но меньше концепций и теорем (которые будут более глубокими и общими).
Другими словами, «традиционные пространства» являются однородными пространствами ; но не для однозначно определенной группы. Изменение группы меняет соответствующий геометрический язык.
На современном языке группы, рассматриваемые в классической геометрии, хорошо известны как группы Ли : классические группы . Конкретные отношения описываются довольно просто, с использованием технического языка.
Например, группа проективной геометрии в n вещественных измерениях является группой симметрии n -мерного вещественного проективного пространства ( общая линейная группа степени n + 1 , факторизованная по скалярным матрицам ). Аффинная группа будет подгруппой, уважающей (отображающей в себя, а не фиксирующей поточечно) выбранную гиперплоскость на бесконечности . Эта подгруппа имеет известную структуру ( полупрямое произведение общей линейной группы степени n с подгруппой трансляций ). Это описание затем сообщает нам, какие свойства являются «аффинными». В терминах евклидовой плоской геометрии быть параллелограммом аффинно, поскольку аффинные преобразования всегда переводят один параллелограмм в другой. Быть окружностью не аффинно, поскольку аффинный сдвиг превратит окружность в эллипс.
Чтобы точно объяснить связь между аффинной и евклидовой геометрией, нам теперь нужно закрепить группу евклидовой геометрии внутри аффинной группы. Евклидова группа на самом деле (используя предыдущее описание аффинной группы) является полупрямым произведением ортогональной (вращение и отражение) группы с переносами. (См. геометрию Клейна для более подробной информации.)
Долгосрочные эффекты программы Эрлангена можно увидеть во всей чистой математике (см., например, неявное использование в конгруэнтности (геометрии) ); а идея преобразований и синтеза с использованием групп симметрии стала стандартной в физике .
Когда топология обычно описывается в терминах свойств, инвариантных относительно гомеоморфизма , можно увидеть основную идею в действии. Группы, вовлеченные в процесс, будут бесконечномерными почти во всех случаях — и не группами Ли — но философия та же самая. Конечно, это в основном говорит о педагогическом влиянии Клейна. Книги, такие как книги HSM Coxeter, обычно использовали подход программы Erlangen, чтобы помочь «разместить» геометрии. В педагогических терминах программа стала геометрией преобразований , смешанным благословением в том смысле, что она строится на более сильных интуициях, чем стиль Евклида , но ее сложнее преобразовать в логическую систему .
В своей книге «Структурализм» (1970) Жан Пиаже пишет: «В глазах современных математиков-структуралистов, таких как Бурбаки , эрлангенская программа представляет собой лишь частичную победу структурализма, поскольку они хотят подчинить всю математику, а не только геометрию, идее структуры » .
Для геометрии и ее группы элемент группы иногда называется движением геометрии. Например, можно узнать о модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии через развитие, основанное на гиперболических движениях . Такое развитие позволяет методически доказать теорему об ультрапараллельности с помощью последовательных движений.
Довольно часто оказывается, что существуют две или более различных геометрий с изоморфными группами автоморфизмов . Возникает вопрос о прочтении программы Эрлангена от абстрактной группы к геометрии.
Один пример: ориентированная (т.е. отражения не включены) эллиптическая геометрия (т.е. поверхность n -сферы с отождествленными противоположными точками) и ориентированная сферическая геометрия (та же неевклидова геометрия , но с не отождествленными противоположными точками) имеют изоморфную группу автоморфизмов , SO( n +1) для четных n . Они могут показаться различными. Однако оказывается, что геометрии очень тесно связаны, таким образом, что это можно сделать точным.
Возьмем другой пример: эллиптические геометрии с разными радиусами кривизны имеют изоморфные группы автоморфизмов. Это не считается критикой, поскольку все такие геометрии изоморфны. Общая риманова геометрия выходит за рамки программы.
Комплексные , двойственные и двойные (также известные как расщепленно-комплексные) числа появляются как однородные пространства SL(2, R )/H для группы SL(2, R ) и ее подгрупп H=A, N, K. [1] Группа SL(2, R ) действует на эти однородные пространства посредством дробно-линейных преобразований , и большая часть соответствующих геометрий может быть получена единообразно из программы Эрлангена.
В физике появились еще несколько примечательных примеров.
Во-первых, n- мерная гиперболическая геометрия , n -мерное пространство де Ситтера и ( n −1)-мерная инверсная геометрия имеют изоморфные группы автоморфизмов,
ортохронная группа Лоренца , для n ≥ 3. Но это, по-видимому, различные геометрии. Здесь появляются некоторые интересные результаты из физики. Было показано, что физические модели в каждой из трех геометрий являются «дуальными» для некоторых моделей.
Опять же, n -мерное анти-де-ситтеровское пространство и ( n −1)-мерное конформное пространство с "лоренцевой" сигнатурой (в отличие от конформного пространства с "евклидовой" сигнатурой, которая идентична инверсной геометрии для трех измерений или больше) имеют изоморфные группы автоморфизмов, но являются различными геометриями. Опять же, в физике есть модели с "дуальностями" между обоими пространствами . Подробнее см. AdS/CFT .
Группа покрытия SU(2,2) изоморфна группе покрытия SO(4,2), которая является группой симметрии четырехмерного конформного пространства Минковского, пятимерного пространства антиде Ситтера и комплексного четырехмерного твисторного пространства .
Поэтому программу Эрлангена можно по-прежнему считать плодотворной в отношении дуальностей в физике.
В основополагающей статье, в которой были введены категории , Сондерс Маклейн и Сэмюэл Эйленберг заявили: «Это можно рассматривать как продолжение программы Клейна-Эрлангера в том смысле, что геометрическое пространство с его группой преобразований обобщается до категории с его алгеброй отображений». [2]
Связь программы Эрлангена с работами Шарля Эресмана по группоидам в геометрии рассматривается в статье Прадинеса ниже. [3]
В математической логике программа Эрлангена также послужила источником вдохновения для Альфреда Тарского при анализе логических понятий . [4]
