В финансах модель Марковица , предложенная Гарри Марковицем в 1952 году, является моделью оптимизации портфеля ; она помогает выбрать наиболее эффективный портфель, анализируя различные возможные портфели данных ценных бумаг. Здесь, выбирая ценные бумаги, которые не «движутся» точно вместе, модель HM показывает инвесторам, как снизить свой риск. Модель HM также называется моделью среднего значения — дисперсии из-за того, что она основана на ожидаемой доходности (среднем) и стандартном отклонении (дисперсии) различных портфелей. Она является основополагающей для Современной теории портфеля .
При разработке модели HM Марковиц сделал следующие предположения: [1]
Чтобы выбрать лучший портфель из ряда возможных портфелей, каждый из которых имеет разную доходность и риск, необходимо принять два отдельных решения, подробно описанных в следующих разделах:
Портфель, который дает максимальную доходность при заданном риске или минимальный риск при заданной доходности, является эффективным портфелем. Таким образом, портфели выбираются следующим образом:
(а) Из портфелей, имеющих одинаковую доходность, инвестор предпочтет портфель с меньшим риском, и [1]
(б) Из портфелей с одинаковым уровнем риска инвестор отдаст предпочтение портфелю с более высокой нормой доходности.
Поскольку инвестор рационален, он хотел бы иметь более высокую доходность. И поскольку он не склонен к риску, он хотел бы иметь более низкий риск. [1] На рисунке 1 заштрихованная область PVWP включает все возможные ценные бумаги, в которые инвестор может инвестировать. Эффективные портфели — это те, которые лежат на границе PQVW. Например, при уровне риска x 2 есть три портфеля S, T, U. Но портфель S называется эффективным портфелем, поскольку он имеет самую высокую доходность, y 2 , по сравнению с T и U [нужна точка]. Все портфели, которые лежат на границе PQVW, являются эффективными портфелями для данного уровня риска.
Граница PQVW называется Эффективной границей . Все портфели, которые лежат ниже Эффективной границы, недостаточно хороши, так как доходность будет ниже для данного риска. Портфели, которые лежат справа от Эффективной границы, будут недостаточно хороши, так как риск выше для данной нормы доходности. Все портфели, лежащие на границе PQVW, называются Эффективными портфелями. Эффективная граница одинакова для всех инвесторов, так как все инвесторы хотят максимальной доходности с минимально возможным риском и не склонны к риску.
Для выбора оптимального портфеля или лучшего портфеля анализируются предпочтения по соотношению риск-доходность. Инвестор, который крайне не расположен к риску, будет держать портфель в нижней левой части границы, а инвестор, который не слишком не расположен к риску, выберет портфель в верхней части границы.
Рисунок 2 показывает кривую безразличия риска и доходности для инвесторов. Показаны кривые безразличия C 1 , C 2 и C 3 . Каждая из различных точек на конкретной кривой безразличия показывает различную комбинацию риска и доходности, которая обеспечивает инвесторам одинаковое удовлетворение. Каждая кривая слева представляет более высокую полезность или удовлетворение. Целью инвестора будет максимизировать свое удовлетворение, перейдя на кривую, которая выше. Инвестор может иметь удовлетворение, представленное C 2 , но если его удовлетворение/полезность увеличивается, инвестор затем переходит на кривую C 3 . Таким образом, в любой момент времени инвестору будет безразлично между комбинациями S 1 и S 2 или S 5 и S 6 .
Оптимальный портфель инвестора находится в точке касания эффективной границы с кривой безразличия . Эта точка отмечает наивысший уровень удовлетворения, который может получить инвестор. Это показано на рисунке 3. R — это точка, в которой эффективная граница касается кривой безразличия C 3 , и также является эффективным портфелем. С этим портфелем инвестор получит наивысшее удовлетворение, а также наилучшее сочетание риска и доходности (портфель, который обеспечивает максимально возможную доходность для заданного уровня риска). Любой другой портфель, скажем, X, не является оптимальным портфелем, даже если он лежит на той же кривой безразличия, что и за пределами допустимого портфеля, доступного на рынке. Портфель Y также не является оптимальным, поскольку он не лежит на наилучшей допустимой кривой безразличия, даже если это допустимый рыночный портфель. Другой инвестор, имеющий другие наборы кривых безразличия, может иметь какой-то другой портфель в качестве своего наилучшего/оптимального портфеля.
Все портфели до сих пор оценивались только с точки зрения рискованных ценных бумаг, и в портфель можно также включать безрисковые ценные бумаги. Портфель с безрисковыми ценными бумагами позволит инвестору достичь более высокого уровня удовлетворенности. Это было объяснено на рисунке 4.
R 1 — это безрисковая доходность или доходность государственных ценных бумаг, поскольку эти ценные бумаги считаются не имеющими риска для целей моделирования. R 1 PX нарисована так, чтобы она была касательной к эффективной границе. Любая точка на линии R 1 PX показывает комбинацию различных пропорций безрисковых ценных бумаг и эффективных портфелей. Удовлетворение, которое инвестор получает от портфелей на линии R 1 PX, больше, чем удовлетворение, полученное от портфеля P. Все комбинации портфелей слева от P показывают комбинации рисковых и безрисковых активов, а все справа от P представляют собой покупки рисковых активов, сделанные за счет средств, заимствованных по безрисковой ставке.
В случае, если инвестор вложил все свои средства, можно занять дополнительные средства по безрисковой ставке и получить портфельную комбинацию, которая лежит на R 1 PX. R 1 PX известна как линия рынка капитала (CML). Эта линия представляет собой компромисс между риском и доходностью на рынке капитала . CML — это восходящая наклонная линия, что означает, что инвестор пойдет на более высокий риск, если доходность портфеля также выше. Портфель P является наиболее эффективным портфелем, поскольку он лежит как на CML, так и на границе эффективности, и каждый инвестор предпочел бы достичь этого портфеля, P. Портфель P известен как рыночный портфель и, как правило, является наиболее диверсифицированным портфелем. Он состоит по сути из всех акций и ценных бумаг на рынке капитала (как длинных, так и коротких). Рыночный портфель не будет включать конкретную ценную бумагу, если корреляция между портфелем и ценной бумагой равна нулю с отрицательной доходностью (азартная игра) или если корреляция равна единице (в зависимости от того, какая из них имеет более низкую доходность, инвестиции не оправдаются).
На рынке портфелей, состоящих из рискованных и безрисковых ценных бумаг, CML представляет собой условие равновесия. Линия рынка капитала говорит, что доходность портфеля равна безрисковой ставке плюс премия за риск. Премия за риск является произведением рыночной цены риска и количества риска, а риск является стандартным отклонением портфеля.
Уравнение CML имеет вид:
где,
(RM – IRF ) /σM – это наклон CML. (RM – IRF ) – это мера премии за риск или вознаграждения за владение рискованным портфелем вместо безрискового портфеля. σM – это риск рыночного портфеля. Таким образом, наклон измеряет вознаграждение за единицу рыночного риска.
Характерными признаками ХМЛ являются:
1. В точке касания, т.е. Портфеле P , находится оптимальное сочетание рискованных инвестиций и рыночного портфеля.
2. На CML лежат только эффективные портфели, состоящие из безрисковых инвестиций и рыночного портфеля P.
3. CML всегда имеет восходящий наклон, поскольку цена риска должна быть положительной. Рациональный инвестор не будет инвестировать, если не будет знать, что получит компенсацию за этот риск.
Рисунок 5 показывает, что инвестор выберет портфель на эффективной границе при отсутствии безрисковых инвестиций. Но когда вводятся безрисковые инвестиции, инвестор может выбрать портфель на CML (который представляет собой комбинацию рискованных и безрисковых инвестиций). Это можно сделать с помощью займа или кредитования по безрисковой процентной ставке (I RF ) и покупки эффективного портфеля P. Портфель, который выберет инвестор, зависит от его предпочтения риска. Часть от I RF до P является инвестицией в безрисковые активы и называется портфелем кредитования . В этой части инвестор ссужает часть по безрисковой ставке. Часть за пределами P называется портфелем заимствования , где инвестор занимает часть средств по безрисковой ставке, чтобы купить больше портфеля P.
1. Если не заданы ограничения положительности, решение Марковица может легко найти портфели с высоким уровнем заемных средств (крупные длинные позиции в подмножестве инвестиционных активов, финансируемые крупными короткими позициями в другом подмножестве активов) [ требуется ссылка ] , но, учитывая их заемный характер, доходность такого портфеля чрезвычайно чувствительна к небольшим изменениям в доходности составляющих активов и, следовательно, может быть чрезвычайно «опасной». Ограничения положительности легко реализовать и исправить эту проблему, но если пользователь хочет «верить» в надежность подхода Марковица, было бы неплохо, если бы более эффективные решения (по крайней мере, положительные веса) были получены без ограничений, когда набор инвестиционных активов близок к доступным инвестиционным возможностям (рыночный портфель) — но это часто не так.
2. Практически более неприятно, что небольшие изменения во входных данных могут привести к большим изменениям в портфеле. Оптимизация средней дисперсии страдает от «максимизации ошибок»: «алгоритм, который берет точечные оценки (доходности и ковариаций) в качестве входных данных и обрабатывает их так, как если бы они были известны с уверенностью, будет реагировать на крошечные различия в доходности, которые находятся в пределах погрешности измерения». [3] В реальном мире эта степень нестабильности приведет, прежде всего, к большим транзакционным издержкам, но также, вероятно, поколеблет уверенность управляющего портфелем в модели. [4] Экстраполируя этот момент дальше, среди определенных вселенных активов, ученые обнаружили, что модель Марковица была подвержена таким проблемам, как нестабильность модели, где, например, референтные активы имеют высокую степень корреляции. [5]
3. Объем информации (в частности, ковариационная матрица или полное совместное распределение вероятностей среди активов в рыночном портфеле), необходимый для вычисления оптимального портфеля со средним отклонением, часто является неразрешимым и, безусловно, не оставляет места для субъективных измерений («взглядов» на доходность портфелей подмножеств инвестируемых активов) [ требуется ссылка ] . Кроме того, зависимость от информации и необходимость вычисления ковариационной матрицы вносят некоторую, хотя и управляемую, вычислительную сложность и ограничение на масштабируемость модели для портфелей с достаточно большими универсумами активов. [6]
4. Ожидаемые доходы неопределенны, и когда мы делаем это предположение, задача оптимизации дает решения, отличные от решений модели Марковица. [7] [8]