В универсальной алгебре многообразие алгебр или эквациональный класс — это класс всех алгебраических структур заданной сигнатуры , удовлетворяющих заданному набору тождеств . Например, группы образуют многообразие алгебр, как и абелевы группы , кольца , моноиды и т. д. Согласно теореме Биркгофа, класс алгебраических структур одной и той же сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений . В контексте теории категорий многообразие алгебр вместе со своими гомоморфизмами образует категорию ; их обычно называют финитными алгебраическими категориями .
Комножество — это класс всех коалгебраических структур заданной сигнатуры.
Разнообразие алгебр не следует путать с алгебраическим разнообразием , которое означает набор решений системы полиномиальных уравнений . Формально они совершенно различны, и их теории имеют мало общего.
Термин «многообразие алгебр» относится к алгебрам в общем смысле универсальной алгебры ; существует также более конкретный смысл алгебры, а именно как алгебры над полем , т. е. векторным пространством, снабженным билинейным умножением.
Сигнатура (в этом контексте) — это множество, элементы которого называются операциями , каждому из которых присвоено натуральное число (0, 1, 2, ...), называемое его арностью . При наличии сигнатуры σ и множества V , элементы которого называются переменными , слово — это конечное корневое дерево, в котором каждый узел помечен либо переменной, либо операцией, так что каждый узел, помеченный переменной, не имеет ветвей, отходящих от корня, а каждый узел, помеченный операцией o, имеет столько ветвей, отходящих от корня, сколько арности o . Эквациональный закон — это пара таких слов; аксиома, состоящая из слов v и w, записывается как v = w .
Теория состоит из сигнатуры, набора переменных и набора эквациональных законов. Любая теория дает множество алгебр следующим образом. Если задана теория T , алгебра T состоит из множества A вместе с, для каждой операции o из T с арностью n , функцией o A : A n → A такой, что для каждой аксиомы v = w и каждого присвоения элементов A переменным в этой аксиоме выполняется уравнение, которое задается применением операций к элементам A, как указано деревьями, определяющими v и w . Класс алгебр заданной теории T называется множеством алгебр .
Для двух алгебр теории T , скажем, A и B , гомоморфизм — это функция f : A → B такая, что
для каждой операции o арности n . Любая теория дает категорию , где объекты являются алгебрами этой теории, а морфизмы являются гомоморфизмами.
Класс всех полугрупп образует множество алгебр сигнатуры (2), что означает, что полугруппа имеет одну бинарную операцию. Достаточным определяющим уравнением является ассоциативный закон:
Класс групп образует множество алгебр сигнатуры (2,0,1), три операции которых соответственно являются умножением (двоичным), тождеством (нулевым, константным) и инверсией (унарной). Знакомые аксиомы ассоциативности, тождества и инверсии образуют один подходящий набор тождеств:
Класс колец также образует множество алгебр. Сигнатура здесь (2,2,0,0,1) (две бинарные операции, две константы и одна унарная операция).
Если мы зафиксируем конкретное кольцо R , мы можем рассмотреть класс левых R -модулей . Чтобы выразить скалярное умножение с элементами из R , нам понадобится одна унарная операция для каждого элемента R . Если кольцо бесконечно, у нас будет, таким образом, бесконечно много операций, что допускается определением алгебраической структуры в универсальной алгебре. Тогда нам также понадобится бесконечно много тождеств для выражения аксиом модуля, что допускается определением многообразия алгебр. Таким образом, левые R -модули образуют многообразие алгебр.
Поля не образуют разновидности алгебр; требование , чтобы все ненулевые элементы были обратимы, не может быть выражено как универсально удовлетворяемое тождество (см. ниже) .
Сократительные полугруппы также не образуют многообразия алгебр, поскольку свойство сокращения не является уравнением, а представляет собой импликацию, которая не эквивалентна никакому набору уравнений. Однако они образуют квазимногообразие, поскольку импликация, определяющая свойство сокращения, является примером квазитождества .
Учитывая класс алгебраических структур одной и той же сигнатуры, мы можем определить понятия гомоморфизма, подалгебры и произведения . Гаррет Биркгоф доказал, что класс алгебраических структур одной и той же сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и произвольных произведений. [1] Это результат фундаментальной важности для универсальной алгебры, известный как теорема Биркгофа о многообразии или теорема HSP . H , S и P обозначают соответственно операции гомоморфизма, подалгебры и произведения.
Одно направление эквивалентности, упомянутое выше, а именно, что класс алгебр, удовлетворяющий некоторому набору тождеств, должен быть замкнут относительно операций HSP, следует непосредственно из определений. Доказательство обратного — классы алгебр, замкнутые относительно операций HSP, должны быть эквациональными — более сложно.
Используя простое направление теоремы Биркгофа, мы можем, например, проверить приведенное выше утверждение о том, что аксиомы поля не выражаются никаким возможным набором тождеств: произведение полей не является полем, поэтому поля не образуют многообразия.
Подмногообразие многообразия алгебр V — это подкласс V , имеющий ту же сигнатуру, что и V , и сам являющийся многообразием, т. е. определяемый набором тождеств.
Обратите внимание, что хотя каждая группа становится полугруппой, когда тождество как константа опускается (и/или опускается обратная операция), класс групп не образует подмногообразия многообразия полугрупп, поскольку сигнатуры различны. Аналогично, класс полугрупп, которые являются группами, не является подмногообразием многообразия полугрупп. Класс моноидов, которые являются группами, содержит и не содержит свою подалгебру (точнее, подмоноид) .
Однако класс абелевых групп является подмногообразием многообразия групп, поскольку он состоит из тех групп, которые удовлетворяют xy = yx , без изменения сигнатуры. Конечно порождённые абелевы группы не образуют подмногообразия, поскольку по теореме Биркгофа они не образуют многообразия, поскольку произвольное произведение конечно порождённых абелевых групп не является конечно порождённым.
Рассматривая многообразие V и его гомоморфизмы как категорию , подмногообразие U из V является полной подкатегорией V , что означает, что для любых объектов a , b из U гомоморфизмы из a в b из U являются в точности гомоморфизмами из a в b из V .
Предположим, что V — нетривиальное многообразие алгебр, т.е. V содержит алгебры с более чем одним элементом. Можно показать, что для любого множества S многообразие V содержит свободную алгебру F S на S . Это означает, что существует инъективное отображение множеств i : S → F S , которое удовлетворяет следующему универсальному свойству : для любой алгебры A в V и любого отображения k : S → A существует единственный V -гомоморфизм f : F S → A такой, что f ∘ i = k .
Это обобщает понятия свободной группы , свободной абелевой группы , свободной алгебры , свободного модуля и т. д. Из этого следует, что каждая алгебра в многообразии является гомоморфным образом свободной алгебры.
Помимо многообразий, теоретики категорий используют две другие структуры, которые эквивалентны с точки зрения видов алгебр, которые они описывают: финитарные монады и теории Ловера . Мы можем перейти от многообразия к финитарной монаде следующим образом. Категория с некоторым многообразием алгебр в качестве объектов и гомоморфизмами в качестве морфизмов называется финитарной алгебраической категорией . Для любой финитарной алгебраической категории V забывающий функтор G : V → Set имеет левый сопряженный F : Set → V , а именно функтор, который назначает каждому множеству свободную алгебру на этом множестве. Это сопряжение является монадическим , что означает, что категория V эквивалентна категории Эйленберга–Мура Set T для монады T = GF . Более того, монада T является финитарной , что означает, что она коммутирует с фильтрованными копределами .
Монада T : Set → Set , таким образом, достаточна для восстановления финитарной алгебраической категории. Действительно, финитарные алгебраические категории — это именно те категории, которые эквивалентны категориям Эйленберга-Мура финитарных монад. Обе они, в свою очередь, эквивалентны категориям алгебр теорий Ловера.
Работа с монадами допускает следующее обобщение. Говорят, что категория является алгебраической, если она монадична над Set . Это более общее понятие, чем «финитарная алгебраическая категория», поскольку она допускает такие категории, как CABA (полные атомарные булевы алгебры) и CSLat (полные полурешетки), сигнатуры которых включают бесконечные операции. В этих двух случаях сигнатура большая, что означает, что она образует не множество, а собственный класс, поскольку ее операции имеют неограниченную арность. Алгебраическая категория сигма-алгебр также имеет бесконечные операции, но их арность счетна, откуда ее сигнатура мала (образует множество).
Каждая финитная алгебраическая категория является локально представимой категорией .
Поскольку многообразия замкнуты относительно произвольных прямых произведений, все нетривиальные многообразия содержат бесконечные алгебры. Были предприняты попытки разработать финитный аналог теории многообразий. Это привело, например, к понятию многообразия конечных полугрупп . Этот вид многообразия использует только финитные произведения. Однако он использует более общий вид тождеств.
Псевдомногообразие обычно определяется как класс алгебр заданной сигнатуры, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и финитных прямых произведений. Не каждый автор предполагает, что все алгебры псевдомногообразия конечны; если это так, то иногда говорят о множестве конечных алгебр . Для псевдомногообразий не существует общего финитного аналога теоремы Биркгофа, но во многих случаях введение более сложного понятия уравнений позволяет вывести похожие результаты. [2]
Псевдомногообразия имеют особое значение в изучении конечных полугрупп и, следовательно, в формальной теории языков . Теорема Эйленберга, часто называемая теоремой о многообразии , описывает естественное соответствие между многообразиями регулярных языков и псевдомногообразиями конечных полугрупп.
Две монографии доступны бесплатно онлайн:
