Конструкция механизма

Область экономики и теории игр

Верхнее левое пространство изображает пространство типов, а верхнее правое пространство X — пространство результатов. Функция социального выбора сопоставляет профиль типа с результатом. В играх проектирования механизмов агенты отправляют сообщения в игровой среде . Равновесие в игре может быть спроектировано для реализации некоторой функции социального выбора . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \xi (M,g,\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

Проектирование механизмов , иногда называемое теорией внедрения или проектированием институтов , ^[1] является разделом экономики , социального выбора и теории игр , который занимается проектированием игровых форм (или механизмов) для реализации заданной функции социального выбора . Поскольку оно начинается с конца игры (оптимального результата), а затем движется в обратном направлении, чтобы найти игру, которая его реализует, его иногда называют обратной теорией игр . ^[2]

Проектирование механизмов имеет широкое применение, включая традиционные области экономики, такие как проектирование рынка , а также политологию (через теорию голосования ) и даже сетевые системы (например, в междоменной маршрутизации ). ^[2]

Проектирование механизмов изучает концепции решений для класса игр с частной информацией. Леонид Гурвиц объясняет, что «в задаче проектирования целевая функция является основным заданным, а механизм — неизвестным. Таким образом, задача проектирования является обратной по отношению к традиционной экономической теории, которая обычно посвящена анализу производительности данного механизма». ^[3]

Премия памяти Нобеля по экономике 2007 года была присуждена Леониду Гурвицу , Эрику Маскину и Роджеру Майерсону «за создание основ теории проектирования механизмов». ^[4] Смежные работы Уильяма Викри, которые легли в основу этой области, принесли ему Нобелевскую премию 1996 года.

Описание

Один человек, называемый «принципалом», хотел бы обусловить свое поведение информацией, которая известна только игрокам игры . Например, принципал хотел бы узнать истинное качество подержанной машины, которую предлагает продавец. Он не может ничего узнать, просто спросив продавца, потому что в интересах продавца исказить правду. Однако в разработке механизмов у принципала есть одно преимущество: он может разработать игру, правила которой влияют на других, чтобы они действовали так, как ему хотелось бы.

Без теории проектирования механизмов задача принципала была бы трудноразрешимой. Ему пришлось бы рассмотреть все возможные игры и выбрать ту, которая лучше всего влияет на тактику других игроков. Кроме того, принципалу пришлось бы делать выводы из агентов, которые могут лгать ему. Благодаря принципу раскрытия информации принципалу нужно рассматривать только игры, в которых агенты правдиво сообщают свою личную информацию.

Фонды

Механизм

Игра в проектирование механизмов — это игра частной информации, в которой один из агентов, называемый принципалом, выбирает структуру выплат. Согласно Харсаньи  (1967), агенты получают секретные «сообщения» от природы, содержащие информацию, относящуюся к выплатам. Например, сообщение может содержать информацию об их предпочтениях или качестве товара для продажи. Мы называем эту информацию «типом» агента (обычно отмечается и, соответственно, пространством типов ). Затем агенты сообщают тип принципалу (обычно отмечается шляпой ), что может быть стратегической ложью. После отчета принципалу и агентам выплачивается сумма в соответствии со структурой выплат, выбранной принципалом. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

Продолжительность игры:

1. Принципал обязуется использовать механизм , который предоставляет результат в зависимости от заявленного типа ${\displaystyle y()}$ ${\displaystyle y}$
2. Агенты сообщают, возможно, нечестно, профиль типа ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$
3. Механизм выполняется (агенты получают результат ) ${\displaystyle y({\hat {\theta }})}$

Чтобы понять, кто что получает, принято делить результат на распределение товаров и денежный перевод, где обозначает распределение предоставленных или полученных товаров как функцию типа, а обозначает денежный перевод как функцию типа. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y(\theta )=\{x(\theta ),t(\theta )\},\ x\in X,t\in T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

В качестве ориентира проектировщик часто определяет, что должно произойти при полной информации. Определите функцию общественного выбора, отображающую профиль (истинного) типа непосредственно в распределение полученных или предоставленных товаров, ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta ):\Theta \rightarrow Y}$

Напротив, механизм сопоставляет сообщенный профиль типа с результатом (опять же, как распределение товаров , так и денежный перевод ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow Y}$

Принцип откровения

Предложенный механизм представляет собой байесовскую игру (игру частной информации), и если она хорошо себя ведет, то игра имеет байесовское равновесие Нэша . В равновесии агенты выбирают свои отчеты стратегически как функцию типа

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )}$

Трудно решить байесовские равновесия в такой обстановке, поскольку это включает в себя решение для стратегий наилучшего ответа агентов и для наилучшего вывода из возможной стратегической лжи. Благодаря всеобъемлющему результату, называемому принципом раскрытия, независимо от механизма, разработчик может ^[5] сосредоточить внимание на равновесиях, в которых агенты правдиво сообщают тип. Принцип раскрытия гласит: «Каждому байесовскому равновесию Нэша соответствует байесовская игра с тем же равновесным результатом, но в которой игроки правдиво сообщают тип».

Это чрезвычайно полезно. Принцип позволяет решить байесовское равновесие, предполагая, что все игроки правдиво сообщают тип (с учетом ограничения совместимости стимулов ). Одним ударом он устраняет необходимость рассматривать либо стратегическое поведение, либо ложь.

Его доказательство довольно прямое. Предположим байесовскую игру, в которой стратегия агента и выигрыш являются функциями его типа и того, что делают другие, . По определению равновесная стратегия агента i — это стратегия Нэша в ожидаемой полезности: ${\displaystyle u_{i}\left(s_{i}(\theta _{i}),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$ ${\displaystyle s(\theta _{i})}$

${\displaystyle s_{i}(\theta _{i})\in \arg \max _{s'_{i}\in S_{i}}\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s'_{i},s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$

Просто определите механизм, который побудил бы агентов выбирать одно и то же равновесие. Самый простой способ определить — это механизм, который обязуется играть стратегии равновесия агентов за них.

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow S(\Theta )\rightarrow Y}$

При таком механизме агенты, конечно, считают оптимальным раскрыть тип, поскольку механизм играет стратегии, которые они в любом случае сочли оптимальными. Формально, выбирайте так, чтобы ${\displaystyle y(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{i}\in {}&\arg \max _{\theta '_{i}\in \Theta }\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(y(\theta '_{i},\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\\[5pt]&=\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s_{i}(\theta ),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\end{aligned}}}$

Осуществимость

Конструктор механизма обычно надеется, что либо

• разработать механизм , который «реализует» функцию социального выбора ${\displaystyle y()}$
• найти механизм , который максимизирует некоторый критерий ценности (например, прибыль) ${\displaystyle y()}$

Реализовать функцию общественного выбора означает найти некоторую передаточную функцию , которая мотивирует агентов выбирать . Формально, если профиль стратегии равновесия в рамках механизма соответствует тому же распределению товаров, что и функция общественного выбора , ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle t(\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )=x\left({\hat {\theta }}(\theta )\right)}$

мы говорим, что механизм реализует функцию социального выбора.

Благодаря принципу откровения, дизайнер обычно может найти функцию передачи для реализации социального выбора, решая связанную игру правдивости. Если агенты считают оптимальным правдиво сообщать тип, ${\displaystyle t(\theta )}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )=\theta }$

мы говорим, что такой механизм является истинно реализуемым . Задача состоит в том, чтобы решить для истинно реализуемого и приписать эту передаточную функцию исходной игре. Распределение истинно реализуемо, если существует передаточная функция, такая что ${\displaystyle t(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle t(\theta )}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x({\hat {\theta }}),t({\hat {\theta }}),\theta )\ \forall \theta ,{\hat {\theta }}\in \Theta }$

что также называется ограничением совместимости стимулов (ИС).

В приложениях условие IC является ключом к описанию формы любым полезным способом. При определенных условиях оно может даже аналитически изолировать передаточную функцию. Кроме того, иногда добавляется ограничение участия ( индивидуальной рациональности ), если у агентов есть возможность не играть. ${\displaystyle t(\theta )}$

Необходимость

Рассмотрим ситуацию, в которой все агенты имеют функцию полезности, зависящую от типа . Рассмотрим также распределение товаров , которое имеет векторное значение и размер (который допускает количество товаров), и предположим, что оно кусочно-непрерывно относительно своих аргументов. ${\displaystyle u(x,t,\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Функция реализуема только если ${\displaystyle x(\theta )}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right){\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0}$

всякий раз, когда и и x непрерывен при . Это необходимое условие и выводится из условий первого и второго порядка задачи оптимизации агента, предполагающей истину. ${\displaystyle x=x(\theta )}$ ${\displaystyle t=t(\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$

Его значение можно понять из двух частей. Первая часть говорит, что предельная норма замещения агента (MRS) увеличивается как функция типа,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathrm {MRS} _{x,t}}$

Короче говоря, агенты не скажут правду, если механизм не предложит агентам более высокого типа более выгодную сделку. В противном случае агенты более высокого типа, столкнувшиеся с любым механизмом, который наказывает агенты высокого типа за сообщение, будут лгать и заявлять, что они являются агентами более низкого типа, нарушая ограничение совместимости стимулов для правдивого сообщения. Вторая часть — это условие монотонности, ожидающее своего выполнения, ^{[ необходимо разъяснение ]}

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \theta }}}$

что, если быть позитивным, означает, что высшим типам должно быть дано больше добра.

Существует потенциал для взаимодействия двух частей. Если для некоторого диапазона типов контракт предлагал меньшее количество для более высоких типов , возможно, механизм мог бы компенсировать это, предоставив более высоким типам скидку. Но такой контракт уже существует для агентов низкого типа, поэтому это решение является патологическим. Такое решение иногда возникает в процессе решения для механизма. В этих случаях его необходимо «отгладить». В среде с несколькими товарами проектировщик также может вознаградить агента большим количеством одного товара для замены меньшего количества другого (например, масло вместо маргарина ). Механизмы с несколькими товарами являются областью продолжающихся исследований в области проектирования механизмов. ${\displaystyle \partial x/\partial \theta <0}$

Достаточность

В документах по проектированию механизмов обычно делаются два предположения, чтобы гарантировать реализуемость:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}>0\ \forall k}$

Это известно под несколькими названиями: условие одиночного пересечения , условие сортировки и условие Спенса–Миррлиса. Это означает, что функция полезности имеет такую ​​форму, что MRS агента возрастает по типу. ^{[ необходимо разъяснение ]}

${\displaystyle \exists K_{0},K_{1}{\text{ such that }}\left|{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\partial u/\partial t}}\right|\leq K_{0}+K_{1}|t|}$

Это техническое условие, ограничивающее темпы роста MRS.

Эти предположения достаточны для того, чтобы обеспечить реализацию любого монотонного ( существует , который может его реализовать). Кроме того, в условиях единственного блага условие единственного пересечения достаточно для того, чтобы обеспечить реализацию только монотонного, поэтому проектировщик может ограничить свой поиск монотонным . ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle t(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

Выделенные результаты

Теорема эквивалентности доходов

Викри  (1961) приводит знаменитый результат, что любой член большого класса аукционов гарантирует продавцу тот же ожидаемый доход и что ожидаемый доход — это лучшее, что может сделать продавец. Это так, если

1. Покупатели имеют идентичные функции оценки (которые могут быть функцией типа)
2. Типы покупателей распределены независимо
3. Типы покупателей выбираются из непрерывного распределения.
4. Тип распределения имеет свойство монотонной интенсивности опасности
5. Механизм продает товар покупателю с самой высокой оценкой

Последнее условие имеет решающее значение для теоремы. Подразумевается, что для того, чтобы продавец получил более высокий доход, он должен рискнуть и передать товар агенту с более низкой оценкой. Обычно это означает, что он должен рискнуть и не продать товар вообще.

Механизмы Викри–Кларка–Гроувса

Модель аукциона Викри (1961) была позже расширена Кларком  (1971) и Гроувсом для рассмотрения проблемы общественного выбора, в которой стоимость общественного проекта несут все агенты, например, строить ли муниципальный мост. Результирующий механизм «Викри–Кларка–Гроувса» может мотивировать агентов выбирать социально эффективное распределение общественного блага, даже если агенты имеют известные частные оценки. Другими словами, он может решить « трагедию общин » — при определенных условиях, в частности, квазилинейной полезности или если не требуется бюджетный баланс.

Рассмотрим ситуацию, в которой ряд агентов имеют квазилинейную полезность с частными оценками , где валюта оценивается линейно. Разработчик VCG разрабатывает стимул-совместимый (следовательно, истинно реализуемый) механизм для получения истинного профиля типа, из которого разработчик реализует социально оптимальное распределение ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle v(x,t,\theta )}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{I}^{*}(\theta )\in {\underset {x\in X}{\operatorname {argmax} }}\sum _{i\in I}v(x,\theta _{i})}$

Умность механизма VCG заключается в том, как он мотивирует правдивое раскрытие информации. Он устраняет стимулы к предоставлению ложных отчетов, наказывая любого агента стоимостью искажения, которое он вызывает. Среди отчетов, которые может сделать агент, механизм VCG допускает «нулевой» отчет, в котором говорится, что он безразличен к общественному благу и заботится только о переводе денег. Это фактически исключает агента из игры. Если агент решает сообщить о типе, механизм VCG взимает с агента плату, если его отчет является ключевым , то есть если его отчет изменяет оптимальное распределение x таким образом, чтобы навредить другим агентам. Оплата рассчитывается

${\displaystyle t_{i}({\hat {\theta }})=\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I-i}^{*}(\theta _{I-i}),\theta _{j})-\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I}^{*}({\hat {\theta }}_{i},\theta _{I}),\theta _{j})}$

который суммирует искажения полезности других агентов (а не его собственной), вызванные отчетностью одного агента.

Теорема Гиббарда – Саттертуэйта

Гиббард  (1973) и Саттертуэйт  (1975) приводят результат невозможности, близкий по духу к теореме Эрроу о невозможности . Для очень общего класса игр могут быть реализованы только «диктаторские» функции общественного выбора.

Функция общественного выбора f () является диктаторской , если один агент всегда получает наиболее выгодное для него распределение благ,

${\displaystyle {\text{for }}f(\Theta ){\text{, }}\exists i\in I{\text{ such that }}u_{i}(x,\theta _{i})\geq u_{i}(x',\theta _{i})\ \forall x'\in X}$

Теорема утверждает, что при общих условиях любая истинно реализуемая функция общественного выбора должна быть диктаторской, если:

1. X конечен и содержит не менее трех элементов
2. Предпочтения рациональны
3. ${\displaystyle f(\Theta )=X}$

Теорема Майерсона–Саттертуэйта

Майерсон и Саттертуэйт (1983) показывают, что не существует эффективного способа для двух сторон торговать товаром, когда у каждой из них есть секретные и вероятностно меняющиеся оценки для него, без риска заставить одну из сторон торговать себе в убыток. Это один из самых замечательных отрицательных результатов в экономике — своего рода отрицательное зеркало фундаментальных теорем экономики благосостояния .

Значение Шепли

Филлипс и Марден (2018) доказали, что для игр с разделением затрат с вогнутыми функциями затрат оптимальное правило распределения затрат, которое сначала оптимизирует наихудшие неэффективности в игре (цена анархии ), а затем, во-вторых, оптимизирует наилучшие результаты ( цена стабильности ), — это в точности правило распределения затрат по значению Шепли. ^[6] Симметричное утверждение аналогично справедливо для игр с разделением полезности с выпуклыми функциями полезности.

Ценовая дискриминация

Mirrlees  (1971) вводит установку, в которой передаточная функция t () легко решается. Благодаря своей релевантности и трактуемости это распространенная установка в литературе. Рассмотрим установку с одним товаром и одним агентом, в которой агент имеет квазилинейную полезность с неизвестным параметром типа ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle u(x,t,\theta )=V(x,\theta )-t}$

и в котором у принципала есть предшествующий CDF по типу агента . Принципал может производить товары по выпуклой предельной стоимости c ( x ) и хочет максимизировать ожидаемую прибыль от транзакции ${\displaystyle P(\theta )}$

${\displaystyle \max _{x(\theta ),t(\theta )}\mathbb {E} _{\theta }\left[t(\theta )-c\left(x(\theta )\right)\right]}$

в соответствии с условиями IC и IR

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x(\theta '),t(\theta '),\theta )\ \forall \theta ,\theta '}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq {\underline {u}}(\theta )\ \forall \theta }$

Принципал здесь — монополист, пытающийся установить схему ценообразования, максимизирующую прибыль, в которой он не может определить тип клиента. Типичным примером является авиакомпания, устанавливающая тарифы для деловых, туристических и студенческих путешественников. Из-за условия IR она должна предоставить каждому типу достаточно выгодную сделку, чтобы побудить к участию. Из-за условия IC она должна предоставить каждому типу достаточно выгодную сделку, чтобы тип предпочел ее сделку любой другой.

Прием, предложенный Миррлисом (1971), заключается в использовании теоремы об огибающей для исключения передаточной функции из ожидания максимизации,

${\displaystyle {\text{let }}U(\theta )=\max _{\theta '}u\left(x(\theta '),t(\theta '),\theta \right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{d\theta }}={\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial V}{\partial \theta }}}$

Интеграция,

${\displaystyle U(\theta )={\underline {u}}(\theta _{0})+\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}}$

где - некоторый тип индекса. Заменяем стимул-совместимый в максиманде, ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle t(\theta )=V(x(\theta ),\theta )-U(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\\&{}=\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\end{aligned}}}$

после интегрирования по частям. Эту функцию можно максимизировать поточечно.

Поскольку уже совместимо по стимулам, проектировщик может отказаться от ограничения IC. Если функция полезности удовлетворяет условию Спенса–Миррлиса, то существует монотонная функция. Ограничение IR можно проверить в равновесии, а тарифный план соответственно повысить или понизить. Кроме того, обратите внимание на наличие коэффициента риска в выражении. Если распределение типов имеет свойство монотонного коэффициента риска, FOC достаточно для решения для t (). Если нет, то необходимо проверить, выполняется ли ограничение монотонности (см. достаточность выше) везде вдоль тарифных планов распределения и тарифных планов. Если нет, то проектировщик должен использовать метод Майерсона. ${\displaystyle U(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

Майерсон гладильная

Можно решить для графика товаров или цен, который удовлетворяет условиям первого порядка, но не является монотонным. Если это так, необходимо «сгладить» график, выбрав некоторое значение, при котором функция становится плоской.

В некоторых приложениях проектировщик может решить условия первого порядка для графиков цен и распределений, но обнаружить, что они не монотонны. Например, в квазилинейной постановке это часто случается, когда коэффициент риска сам по себе не монотонен. По условию Спенса–Миррлиса оптимальные графики цен и распределений должны быть монотонными, поэтому проектировщик должен исключить любой интервал, на котором график меняет направление, сгладив его.

Интуитивно, происходит следующее: дизайнер считает оптимальным объединить определенные типы вместе и дать им тот же контракт. Обычно дизайнер мотивирует более высокие типы выделиться, предлагая им более выгодную сделку. Если на границе недостаточно много более высоких типов, дизайнер не считает целесообразным предоставлять более низким типам уступку (называемую их информационной рентой), чтобы взимать с более высоких типов контракт, специфичный для типа.

Рассмотрим монополиста-принципала, продающего агентам с квазилинейной полезностью, пример выше. Предположим, что график распределения, удовлетворяющий условиям первого порядка, имеет один внутренний пик в и один внутренний провал в , проиллюстрированный справа. ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}>\theta _{1}}$

• Следуя Майерсону (1981), сглаживаем его, выбирая удовлетворяющее , где — обратная функция x, отображаемая в , а — обратная функция x, отображаемая в . То есть возвращает a до внутреннего пика и возвращает a после внутреннего провала. ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \int _{\phi _{2}(x)}^{\phi _{1}(x)}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)d\theta =0}$$ ${\displaystyle \phi _{1}(x)}$ ${\displaystyle \theta \leq \theta _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}(x)}$ ${\displaystyle \theta \geq \theta _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$
• Если немонотонная область граничит с краем пространства типов, просто установите соответствующую функцию (или обе) для типа границы. Если есть несколько областей, см. учебник для итеративной процедуры; может быть, что более чем одна впадина должна быть выглажена вместе. ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

Доказательство

Доказательство использует теорию оптимального управления. Оно рассматривает множество интервалов в немонотонной области , на которых оно может сгладить график. Затем оно записывает гамильтониан для получения необходимых условий для a в интервалах ${\displaystyle \left[{\underline {\theta }},{\overline {\theta }}\right]}$ ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

1. который удовлетворяет монотонности
2. для которых ограничение монотонности не является обязательным на границах интервала

Условие два гарантирует, что удовлетворяющий задаче оптимального управления воссоединяется с расписанием в исходной задаче на границах интервала (без скачков). Любое удовлетворяющее необходимым условиям должно быть плоским, поскольку оно должно быть монотонным и все же воссоединяться на границах. ${\displaystyle x(\theta )}$ ${\displaystyle x(\theta )}$

Как и прежде, максимизируйте ожидаемый выигрыш принципала, но на этот раз с учетом ограничения монотонности.

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0}$

и использовать для этого гамильтониан с теневой ценой ${\displaystyle \nu (\theta )}$

${\displaystyle H=\left(V(x,\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}(x,\theta )-c(x)\right)p(\theta )+\nu (\theta ){\frac {\partial x}{\partial \theta }}}$

где есть переменная состояния и управление. Как обычно в оптимальном управлении уравнение эволюции состояния должно удовлетворять ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial x/\partial \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \nu }{\partial \theta }}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )}$

Используя условие 2, отметим, что ограничение монотонности не является обязательным на границах интервала , ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \nu ({\underline {\theta }})=\nu ({\overline {\theta }})=0}$

это означает, что условие переменной costate может быть интегрировано и также равно 0

${\displaystyle \int _{\underline {\theta }}^{\overline {\theta }}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )\,d\theta =0}$

Среднее искажение излишка основного долга должно быть равно 0. Чтобы выровнять график, найдите такое , чтобы его прообраз отображался на интервал, удовлетворяющий указанному выше условию. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$

Смотрите также

• Разработка алгоритмического механизма
• Элвин Э. Рот – Нобелевская премия, дизайн рынка
• Задача о назначении
• Теория контракта
• Теория внедрения
• Совместимость стимулов
• Принцип откровения
• Умный рынок
• Метагейм

Примечания

1. "Журнал дизайна механизмов и институтов". www.mechanism-design.org . Получено 01.07.2024 .
2. Penna, Paolo; Ventre, Carmine (июль 2014 г.). «Оптимальные механизмы, устойчивые к сговору, с проверкой». Игры и экономическое поведение . 86 : 491–509. doi :10.1016/j.geb.2012.09.002. ISSN  0899-8256.
3. Л. Гурвиц и С. Рейтер (2006), Проектирование экономических механизмов , стр. 30
4. "Премия Шведского государственного банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля 2007 года" (пресс-релиз). Нобелевский фонд . 15 октября 2007 г. Получено 15 августа 2008 г.
5. В необычных обстоятельствах некоторые игры с правдой имеют больше равновесий, чем байесовская игра, из которой они были получены. См. Fudenburg-Tirole Ch. 7.2 для некоторых ссылок.
6. Филлипс, Мэтью; Марден, Джейсон Р. (июль 2018 г.). «Проектные компромиссы в вогнутых играх с разделением затрат». IEEE Transactions on Automatic Control . 63 (7): 2242–2247. doi :10.1109/tac.2017.2765299. ISSN  0018-9286. S2CID  45923961.

Ссылки

• Кларк, Эдвард Х. (1971). «Многокомпонентное ценообразование общественных благ» (PDF) . Public Choice . 11 (1): 17–33. doi :10.1007/BF01726210. JSTOR  30022651. S2CID  154860771.
• Гиббард, Аллан (1973). «Манипуляция схемами голосования: общий результат» (PDF) . Econometrica . 41 (4): 587–601. doi :10.2307/1914083. JSTOR  1914083.
• Гроувс, Теодор (1973). «Стимулы в командах» (PDF) . Econometrica . 41 (4): 617–631. doi :10.2307/1914085. JSTOR  1914085.
• Харсани, Джон К. (1967). «Игры с неполной информацией, в которые играют «байесовские» игроки, I-III. Часть I. Базовая модель». Management Science . 14 (3): 159–182. doi :10.1287/mnsc.14.3.159. JSTOR  2628393.
• Mirrlees, JA (1971). "Исследование теории оптимального подоходного налогообложения" (PDF) . Review of Economic Studies . 38 (2): 175–208. doi :10.2307/2296779. JSTOR  2296779. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-05-10 . Получено 2016-08-12 .
• Майерсон, Роджер Б.; Саттертуэйт, Марк А. (1983). «Эффективные механизмы двусторонней торговли» (PDF) . Журнал экономической теории . 29 (2): 265–281. doi :10.1016/0022-0531(83)90048-0. hdl : 10419/220829 .
• Саттертуэйт, Марк Аллен (1975). «Неуязвимость стратегии и условия Эрроу: теоремы существования и соответствия для процедур голосования и функций общественного благосостояния». Журнал экономической теории . 10 (2): 187–217. CiteSeerX  10.1.1.471.9842 . doi :10.1016/0022-0531(75)90050-2.
• Викри, Уильям (1961). «Контрспекуляция, аукционы и конкурентные запечатанные торги» (PDF) . Журнал финансов . 16 (1): 8–37. doi :10.1111/j.1540-6261.1961.tb02789.x.

Дальнейшее чтение

• Глава 7 из книги Фьюденберг, Дрю; Тироль, Жан (1991), Теория игр , Бостон: MIT Press , ISBN 978-0-262-06141-4. Стандартный текст для аспирантуры по теории игр.
• Глава 23 из книги Мас-Колелл ; Уинстон; Грин (1995), Микроэкономическая теория , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-507340-9. Стандартный текст для аспирантуры по микроэкономике.
• Милгром, Пол (2004), «Использование теории аукционов в работе» , Нью-Йорк: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55184-7. Применение принципов проектирования механизмов в контексте аукционов.
• Ноам Нисан . Технический доклад Google о проектировании механизмов.
• Легро, Патрик; Кантильон, Эстель (2007). «Что такое дизайн механизма и почему он важен для разработки политики?». Центр исследований экономической политики .
• Роджер Б. Майерсон (2008), «Проектирование механизмов», Новый онлайн-словарь экономики Palgrave, Аннотация.
• Диамантарас, Димитриос (2009), Набор инструментов для экономического проектирования , Нью-Йорк: Palgrave Macmillan , ISBN 978-0-230-61060-6. Выпускной текст, специально посвященный проектированию механизмов.

Внешние ссылки

• Эрик Маскин «Нобелевская премия» прочитан 8 декабря 2007 года в Aula Magna Стокгольмского университета.