Проекционно-оцененная мера

Математическая операторно-значимая мера интереса в квантовой механике и функциональном анализе

В математике , в частности в функциональном анализе , проекционно-значная мера (или спектральная мера ) — это функция, определённая на определённых подмножествах фиксированного множества, значения которой являются самосопряженными проекциями на фиксированное гильбертово пространство . ^[1] Проекционно-значная мера (ПВМ) формально похожа на вещественнозначную меру , за исключением того, что её значения являются самосопряженными проекциями, а не вещественными числами. Как и в случае обычных мер, можно интегрировать комплекснозначные функции относительно ПВМ; результатом такого интегрирования является линейный оператор на заданном гильбертовом пространстве.

Проекционно-значные меры используются для выражения результатов в спектральной теории , таких как важная спектральная теорема для самосопряженных операторов , в этом случае PVM иногда называют спектральной мерой . Функциональное исчисление Бореля для самосопряженных операторов строится с использованием интегралов относительно PVM. В квантовой механике PVM являются математическим описанием проективных измерений . ^{[ необходимо разъяснение ]} Они обобщаются положительными операторно-значными мерами (POVM) в том же смысле, в каком смешанное состояние или матрица плотности обобщают понятие чистого состояния .

Определение

Пусть обозначает сепарабельное комплексное гильбертово пространство и измеримое пространство , состоящее из множества и борелевской σ-алгебры на . Проекционнозначная мера — это отображение из в множество ограниченных самосопряженных операторов на , удовлетворяющее следующим свойствам: ^{[2] [3]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle \pi (E)}$является ортогональной проекцией для всех ${\displaystyle E\in M.}$
• ${\displaystyle \pi (\emptyset )=0}$и , где — пустое множество , а оператор тождественности — . ${\displaystyle \pi (X)=I}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle I}$
• Если в не пересекаются, то для всех , ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v\in H}$

${\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}$

• ${\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}$для всех ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}$

Второе и четвертое свойства показывают, что если и не пересекаются, т. е. , то изображения и ортогональны друг другу. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }$ ${\displaystyle \pi (E_{1})}$ ${\displaystyle \pi (E_{2})}$

Пусть и его ортогональное дополнение обозначают образ и ядро ​​, соответственно, пространства . Если является замкнутым подпространством , то может быть записано как ортогональное разложение и является единственным оператором тождества на , удовлетворяющим всем четырем свойствам. ^{[4] [5]} ${\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))}$ ${\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}$ ${\displaystyle \pi (E)}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}$ ${\displaystyle \pi (E)=I_{E}}$ ${\displaystyle V_{E}}$

Для каждого и проекционно-значная мера образует комплексно-значную меру, определяемую как ${\displaystyle \xi ,\eta \in H}$ ${\displaystyle E\in M}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

с общей вариацией не более . ^[6] Это сводится к действительной мере , когда ${\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

и вероятностная мера, когда — единичный вектор . ${\displaystyle \xi }$

Пример Пусть будет σ -мерным пространством и для всех пусть ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ ${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}$

быть определен как

${\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}$

т.е. как умножение на индикаторную функцию на L 2 ( X ) . Затем определяет проекционно-значную меру. ^[6] Например, если , , и тогда есть связанная комплексная мера , которая принимает измеримую функцию и дает интеграл ${\displaystyle 1_{E}}$ ${\displaystyle \pi (E)=1_{E}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E=(0,1)}$ ${\displaystyle \phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx}$

Расширения проекционно-значимых мер

Если π — проекционнозначная мера на измеримом пространстве ( X , M ), то отображение

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

продолжается до линейного отображения на векторном пространстве ступенчатых функций на X . На самом деле, легко проверить, что это отображение является кольцевым гомоморфизмом . Это отображение продолжается каноническим образом на все ограниченные комплекснозначные измеримые функции на X , и мы имеем следующее.

Теорема  —  Для любой ограниченной борелевской функции на существует единственный ограниченный оператор такой, что ^{[7] [8]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:H\to H}$

${\displaystyle \langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.}$

где — конечная мера Бореля, заданная формулой ${\displaystyle \mu _{\xi }}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.}$

Следовательно, является пространством с конечной мерой . ${\displaystyle (X,M,\mu )}$

Теорема верна и для неограниченных измеримых функций , но тогда будет неограниченным линейным оператором в гильбертовом пространстве . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$

Это позволяет определить функциональное исчисление Бореля для таких операторов, а затем перейти к измеримым функциям с помощью теоремы о представлении Рисса–Маркова–Какутани . То есть, если — измеримая функция, то существует единственная мера, такая что ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).}$

Спектральная теорема

Пусть — сепарабельное комплексное гильбертово пространство , — ограниченный самосопряженный оператор и спектр . Тогда спектральная теорема утверждает , что существует единственная проекционнозначная мера , определенная на борелевском подмножестве , такая, что ^[9] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi ^{A}}$ ${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}$

где интеграл продолжается до неограниченной функции , когда спектр неограничен. ^[10] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

Прямые интегралы

Сначала мы приведем общий пример проекционнозначной меры, основанной на прямых интегралах . Предположим, что ( X , M , μ) — это мерное пространство, и пусть { Hx _} x _{∈ X} — μ-измеримое семейство сепарабельных гильбертовых пространств. Для каждого E ∈ M пусть π ( _E ) — оператор умножения на 1 _E в гильбертовом пространстве

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Тогда π является проекционнозначной мерой на ( X , M ).

Предположим, что π , ρ — проекционнозначные меры на ( X , M ) со значениями в проекциях H , K. π , ρ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U : H → K такой, что

${\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

для каждого E ∈ M.

Теорема . Если ( X , M ) — стандартное борелевское пространство , то для каждой проекционнозначной меры π на ( X , M ), принимающей значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, существует борелевская мера μ и μ-измеримое семейство гильбертовых пространств { H _x } _{x ∈ X} , такие, что π унитарно эквивалентно умножению на 1 _E на гильбертовом пространстве

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Класс меры ^{[ необходимо разъяснение ]} μ и класс эквивалентности меры функции кратности x → dim H _x полностью характеризуют проекционнозначную меру с точностью до унитарной эквивалентности.

Проекционно-значная мера π является однородной кратности n тогда и только тогда, когда функция кратности имеет постоянное значение n . Очевидно,

Теорема . Любая проекционнозначная мера π, принимающая значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, является ортогональной прямой суммой однородных проекционнозначных мер:

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}$

где

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}$

и

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

Применение в квантовой механике

В квантовой механике, если задана проекционно-значная мера измеримого пространства в пространстве непрерывных эндоморфизмов на гильбертовом пространстве , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$

• проективное пространство Гильбертова пространства интерпретируется как множество возможных ( нормализуемых ) состояний квантовой системы, ^[11] ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$
• измеримое пространство — это пространство значений для некоторого квантового свойства системы («наблюдаемого»), ${\displaystyle X}$
• Проекционно-значная мера выражает вероятность того, что наблюдаемая величина принимает различные значения. ${\displaystyle \pi }$

Обычный выбор — это реальная линия, но это также может быть ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(для положения или импульса в трех измерениях),
• дискретный набор (для момента импульса, энергии связанного состояния и т. д.),
• 2-точечный набор «истина» и «ложь» для истинностного значения произвольного предложения о . ${\displaystyle \varphi }$

Пусть будет измеримым подмножеством и нормализованным векторным квантовым состоянием в , так что его норма Гильберта является унитарной, . Вероятность того, что наблюдаемая примет свое значение в , учитывая систему в состоянии , равна ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle .}$

Мы можем проанализировать это двумя способами. Во-первых, для каждого фиксированного проекция является самосопряженным оператором , на котором 1-собственное пространство — это состояния , для которых значение наблюдаемой всегда лежит в , а 0-собственное пространство — это состояния , для которых значение наблюдаемой никогда не лежит в . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi (E)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E}$

Во-вторых, для каждого фиксированного нормализованного векторного состояния ассоциация ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }$

это вероятностная мера превращения значений наблюдаемой величины в случайную величину. ${\displaystyle X}$

Измерение, которое может быть выполнено с помощью проекционно-значной меры, называется проективным измерением . ${\displaystyle \pi }$

Если — вещественная числовая прямая, то существует связанный с ней самосопряженный оператор, определенный на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

что сводится к

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

если носитель является дискретным подмножеством . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$

Вышеуказанный оператор называется наблюдаемой величиной, связанной со спектральной мерой. ${\displaystyle A}$

Обобщения

Идея проекционно-значной меры обобщается положительной операторно-значной мерой (POVM), где необходимость ортогональности, подразумеваемая проекционными операторами, заменяется идеей набора операторов, которые являются неортогональным разбиением единицы ^{[ необходимо разъяснение ]} . Это обобщение мотивировано приложениями к квантовой теории информации .

Смотрите также

• Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр

Примечания

1. Конвей 2000, стр. 41.
2. Холл 2013, стр. 138.
3. Рид и Саймон 1980, стр. 234.
4. Рудин 1991, стр. 308.
5. Холл 2013, стр. 541.
6. Conway 2000, стр. 42.
7. Ковальски, Эммануэль (2009), Спектральная теория в гильбертовых пространствах (PDF) , конспект лекций ETH Zürich, стр. 50
8. Рид и Саймон 1980, стр. 227,235.
9. Рид и Саймон 1980, стр. 235.
10. Холл 2013, стр. 205.
11. Аштекар и Шиллинг 1999, стр. 23–65.

Ссылки

• Аштекар, Абхай; Шиллинг, Трой А. (1999). «Геометрическая формулировка квантовой механики». На пути Эйнштейна . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. arXiv : gr-qc/9706069 . doi :10.1007/978-1-4612-1422-9_3. ISBN 978-1-4612-7137-6.* Конвей, Джон Б. (2000). Курс теории операторов . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2065-0.
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-7116-5.
• Макки, Г. В., Теория представлений унитарных групп , Издательство Чикагского университета, 1976 г.
• Моретти, Вальтер (2017), Спектральная теория и квантовая механика. Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку , т. 110, Springer, Bibcode :2017stqm.book.....M, ISBN 978-3-319-70705-1
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рид, М.; Саймон , Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, Американское математическое общество, 2009.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Варадараджан, В.С., Геометрия квантовой теории, т. 2, Springer Verlag, 1970.