В математике , особенно в теории групп , прямое произведение — это операция, которая берет две группы G и H и создает новую группу, обычно обозначаемую G × H. Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из нескольких важных понятий прямого произведения в математике.
В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначается . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно фундаментальной теореме о конечных абелевых группах , каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклических групп .
Учитывая группы G (с операцией * ) и H (с операцией ∆ ), прямое произведение G × H определяется следующим образом:
Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы. Конкретно:
Тогда прямое произведение G × H изоморфно четырехгруппе Клейна :
Пусть G и H — группы, пусть P = G × H и рассмотрим следующие два подмножества P :
Обе они на самом деле являются подгруппами P , первая из которых изоморфна G , а вторая изоморфна H. Если мы отождествим их с G и H соответственно, то мы сможем думать о прямом произведении P как о содержащем исходные группы G и H как подгруппы.
Эти подгруппы P обладают следующими тремя важными свойствами: (Еще раз говорим, что мы отождествляем G ′ и H ′ с G и H соответственно.)
Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения P. То есть, если P — любая группа, имеющая подгруппы G и H , которые удовлетворяют указанным выше свойствам, то P обязательно изоморфна прямому произведению G и H . В этой ситуации P иногда называют внутренним прямым произведением своих подгрупп G и H.
В некоторых контекстах третье свойство выше заменяется следующим:
Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, и этот факт можно вывести, рассматривая коммутатор [ g , h ] любых g в G , h в H.
Алгебраическую структуру G × H можно использовать для представления прямого произведения в терминах представлений G и H . В частности, предположим, что
где и — (непересекающиеся) порождающие множества , а и — определяющие отношения. Затем
где набор отношений, определяющих, что каждый элемент коммутирует с каждым элементом .
Например, если
затем
Как упоминалось выше, подгруппы G и H нормальны в G × H . В частности, определим функции π G : G × H → G и π H : G × H → H формулами
Тогда π G и π H — гомоморфизмы , известные как гомоморфизмы проекций , ядрами которых являются H и G соответственно.
Отсюда следует, что G × H является расширением G посредством H ( или наоборот). В случае, когда G × H — конечная группа , отсюда следует, что композиционные факторы G × H представляют собой в точности объединение композиционных факторов G и композиционных факторов H.
Прямое произведение G × H можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Пусть π G : G × H → G и π H : G × H → H — гомоморфизмы проекций. Тогда для любой группы P и любых гомоморфизмов ƒ G : P → G и ƒ H : P → H существует единственный гомоморфизм ƒ: P → G × H , делающий коммутирующую следующую диаграмму :
В частности, гомоморфизм ƒ задается формулой
Это частный случай универсального свойства продуктов в теории категорий .
Если A — подгруппа группы G , а B — подгруппа группы H , то прямое произведение A × B является подгруппой группы G × H. Например, изоморфная копия G в G × H — это произведение G × {1} , где {1} — тривиальная подгруппа H.
Если A и B нормальны, то A × B — нормальная подгруппа группы G × H . Более того, фактор прямых произведений изоморфен прямому произведению частных:
Обратите внимание, что в общем случае неверно, что каждая подгруппа G × H является произведением подгруппы G с подгруппой H . Например, если G — любая нетривиальная группа, то произведение G × G имеет диагональную подгруппу
которая не является прямым произведением двух подгрупп G .
Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса . Другие подгруппы включают волокнистые продукты G и H.
Два элемента ( g 1 , h 1 ) и ( g 2 , h 2 ) сопряжены в G × H тогда и только тогда, когда g 1 и g 2 сопряжены в G , а h 1 и h 2 сопряжены в H . Отсюда следует, что каждый класс сопряженности в G × H является просто декартовым произведением класса сопряженности в G и класса сопряженности в H .
Аналогично, если ( g , h ) ∈ G × H , централизатор ( g , h ) является просто произведением централизаторов g и h :
Аналогично, центр G × H является произведением центров G и H :
Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются как прямые произведения.
Если α — автоморфизм группы G , а β — автоморфизм группы H , то функция произведения α × β : G × H → G × H, определенная формулой
является автоморфизмом G × H . Отсюда следует, что Aut( G × H ) имеет подгруппу, изоморфную прямому произведению Aut( G ) × Aut( H ) .
Вообще говоря, неверно, что каждый автоморфизм группы G × H имеет указанную выше форму. (То есть Aut( G ) × Aut( H ) часто является собственной подгруппой Aut( G × H ) .) Например, если G — любая группа, то существует автоморфизм σ группы G × G , который меняет местами две группы. факторы, т.е.
Другой пример, группа автоморфизмов Z × Z — это GL (2, Z ) , группа всех матриц 2 × 2 с целыми элементами и определителем ±1 . Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов имеют приведенный выше вид.
В общем, каждый эндоморфизм G × H можно записать как матрицу размера 2 × 2 .
где α — эндоморфизм G , δ — эндоморфизм H , а β : H → G и γ : G → H — гомоморфизмы. Такая матрица должна обладать тем свойством, что каждый элемент образа α коммутирует с каждым элементом образа β , а каждый элемент образа γ коммутирует с каждым элементом образа δ .
Когда G и H — неразложимые бесцентровые группы, тогда группа автоморфизмов относительно проста: Aut( G ) × Aut( H ), если G и H не изоморфны, и Aut( G ) wr 2, если G ≅ H , wr обозначает венок изделие . Это часть теоремы Крулля – Шмидта и в более общем смысле справедлива для конечных прямых произведений.
Можно взять прямое произведение более чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп G 1 , ..., G n прямое произведение
определяется следующим образом:
Он обладает многими из тех же свойств, что и прямое произведение двух групп, и может быть охарактеризован алгебраически аналогичным образом.
Также возможно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп G 1 , G 2 , ... это можно определить так же, как и конечное прямое произведение, описанное выше, при этом элементы бесконечного прямого произведения представляют собой бесконечные кортежи.
В более общем смысле, для индексированного семейства { G i } i ∈ I групп прямое произведение Π i ∈ I G i определяется следующим образом:
В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение Π i ∈ I G i не порождается элементами изоморфных подгрупп { G i } i ∈ I . Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма , которая состоит из всех элементов, имеющих только конечное число неединичных компонентов.
Напомним, что группа P с подгруппами G и H изоморфна прямому произведению G и H , если она удовлетворяет следующим трем условиям:
Полупрямое произведение G и H получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп G , H должна быть нормальной. Результирующее произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар ( g , h ) , но с немного более сложным правилом умножения.
Также возможно полностью ослабить третье условие, требуя, чтобы ни одна из двух подгрупп не была нормальной. В этом случае группа P называется произведением Заппы–Сепа групп G и H.
Свободное произведение G и H , обычно обозначаемое G ∗ H , аналогично прямому произведению, за исключением того, что подгруппы G и H группы G ∗ H не обязаны коммутировать. То есть, если
являются представлениями для G и H , то
В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. Фактически свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Бесплатный продукт на самом деле является побочным продуктом в категории групп .
Если G и H — группы, то подпрямое произведение G и H — это любая подгруппа G × H , которая сюръективно отображается на G и H относительно гомоморфизмов проекции. По лемме Гурса каждое подпрямое произведение является расслоенным произведением.
Пусть G , H и Q — группы, и пусть 𝜑 : G → Q и χ : H → Q — гомоморфизмы. Расслоенное произведение G и H над Q , также известное как обратный образ , представляет собой следующую подгруппу G × H :