Проническое число

Число, произведение последовательных целых чисел

Проническое число — это число, которое является произведением двух последовательных целых чисел , то есть число вида . ^[1] Изучение этих чисел восходит к Аристотелю . Их также называют продолговатыми числами , гетеромическими числами , ^[2] или прямоугольными числами ; ^[3] однако термин «прямоугольное число» также применялся к составным числам . ^{[4] [5]} ${\displaystyle n(n+1)}$

Первые несколько пронических чисел:

, 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462 … (последовательность A002378 в OEIS ).

Обозначив проническое число , имеем . Поэтому при обсуждении пронических чисел можно без потери общности предположить, что , соглашение, которое принимается в следующих разделах. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle P_{{-}n}=P_{n{-}1}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Как фигурные числа

Дважды треугольное число является проническим числом.

n- е проническое число на n больше n - го квадратного числа

Пронические числа изучались как фигурные числа наряду с треугольными числами и квадратными числами в «Метафизике » Аристотеля [ ^2] , и их открытие было приписано гораздо раньше пифагорейцам [ ^3] . Как вид фигурных чисел, пронические числа иногда называют продолговатыми ^[2], потому что они аналогичны многоугольным числам в следующем смысле: ^[1]

n - е проническое число является суммой первых n четных целых чисел, и как таковое в два раза больше n- го треугольного числа ^{[1] [2]} и на n больше n -го квадратного числа , как указано в альтернативной формуле n ² + n для пронических чисел. Следовательно, n- е проническое число и n- е квадратное число (сумма первых n нечетных целых чисел ) образуют суперчастное отношение :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{n^{2}}}={\frac {n+1}{n}}}$

Из-за этого соотношения n -е проническое число находится на радиусе n и n + 1 от полного квадрата, а n- й полный квадрат находится на радиусе n от пронического числа. N- е проническое число также является разностью между нечетным квадратом (2 n + 1) ² и ( n +1) -м центрированным шестиугольным числом .

Поскольку число недиагональных элементов в квадратной матрице в два раза больше треугольного числа, это проническое число. ^[6]

Сумма пронических чисел

Частичная сумма первых n положительных пронических чисел равна удвоенному значению n- го тетраэдрического числа :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}}$.

Сумма обратных величин положительных пронических чисел (исключая 0) представляет собой телескопический ряд , сумма которого равна 1: ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1}$.

Частичная сумма первых n членов этого ряда равна ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}}$.

Сумма знакопеременных чисел, обратных положительным проническим числам (исключая 0), представляет собой сходящийся ряд :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1}$.

Дополнительные свойства

Пронические числа четные, и 2 — единственное простое проническое число. Это также единственное проническое число в последовательности Фибоначчи и единственное проническое число Люка . ^{[8] [9]}

Среднее арифметическое двух последовательных пронических чисел является квадратом числа :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}}$

Итак, между любыми двумя последовательными проническими числами существует квадрат. Он уникален, поскольку

${\displaystyle n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.}$

Другим следствием этой цепочки неравенств является следующее свойство. Если m — проническое число, то выполняется следующее:

${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.}$

Тот факт, что последовательные целые числа взаимно просты и что проническое число является произведением двух последовательных целых чисел, приводит к ряду свойств. Каждый отдельный простой множитель пронического числа присутствует только в одном из множителей n или n + 1 . Таким образом, проническое число является бесквадратным тогда и только тогда, когда n и n + 1 также являются бесквадратными. Количество различных простых множителей пронического числа равно сумме количества различных простых множителей n и n + 1 .

Если к десятичному представлению любого пронического числа прибавить 25 , то результатом будет квадратное число, квадрат числа, оканчивающегося на 5; например, 625 = 25 ² и 1225 = 35 ² . Это так, потому что

${\displaystyle 100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}}$.

Ссылки

1. Конвей, Дж. Х .; Гай, Р. К. (1996), Книга чисел , Нью-Йорк: Коперник, Рисунок 2.15, стр. 34.
2. Knorr, Wilbur Richard (1975), Эволюция евклидовых элементов, Дордрехт-Бостон, Массачусетс: D. Reidel Publishing Co., стр. 144–150, ISBN 90-277-0509-7, МР  0472300.
3. Ben-Menahem, Ari (2009), Историческая энциклопедия естественных и математических наук, том 1, ссылка Springer, Springer-Verlag, стр. 161, ISBN 9783540688310.
4. "Плутарх, De Iside et Osiride, раздел 42", www.perseus.tufts.edu , получено 16 апреля 2018 г.
5. Хиггинс, Питер Майкл (2008), История чисел: от подсчета до криптографии, Copernicus Books, стр. 9, ISBN 9781848000018.
6. Раммель, Рудольф Дж. (1988), Прикладной факторный анализ, Northwestern University Press, стр. 319, ISBN 9780810108240.
7. Frantz, Marc (2010), «Телескопическая серия в перспективе», в Diefenderfer, Caren L. ; Nelsen, Roger B. (ред.), The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond , Classroom Resource Materials, Mathematical Association of America, стр. 467–468, ISBN 9780883857618.
8. McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Lucas numbers" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60–62, doi :10.1080/00150517.1998.12428962, MR  1605345, заархивировано из оригинала (PDF) 2017-07-05 , извлечено 2011-05-21.
9. Макдэниел, Уэйн Л. (1998), «Пронические числа Фибоначчи» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 56–59, doi :10.1080/00150517.1998.12428961, MR  1605341.