Простаферез

Приблизительное умножение и деление с использованием формул тригонометрии

Простафаэрезис (от греч. προσθαφαίρεσις ) — алгоритм, использовавшийся в конце XVI и начале XVII века для приблизительного умножения и деления с использованием формул из тригонометрии . В течение 25 лет, предшествовавших изобретению логарифма в 1614 году, это был единственный известный общеприменимый способ быстрого приближения произведений. Его название происходит от греческого prosthen (πρόσθεν), что означает прежде, и aphaeresis (ἀφαίρεσις), что означает отнятие или вычитание. ^{[1] [2] [3]}

В древности этот термин использовался для обозначения сокращения, чтобы привести видимое место движущейся точки или планеты к среднему месту (см. Уравнение центра ). Николай Коперник несколько раз упоминает «простаферезис» в своей работе 1543 года «О вращении небесных тел» , имея в виду «большой параллакс», вызванный смещением наблюдателя из-за годового движения Земли.

История и мотивация

Сферический треугольник

В Европе XVI века небесная навигация кораблей в дальних плаваниях в значительной степени опиралась на эфемериды для определения их положения и курса. Эти объемные карты, подготовленные астрономами, подробно описывали положение звезд и планет в различные моменты времени. Модели, используемые для их вычисления, основывались на сферической тригонометрии , которая связывает углы и длины дуг сферических треугольников (см. диаграмму справа) с помощью таких формул, как

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha }$

и

${\displaystyle \sin b\sin \alpha =\sin a\sin \beta ,}$

где a , b и c — углы, образованные в центре сферы соответствующими дугами.

Когда одна величина в такой формуле неизвестна, а другие известны, неизвестную величину можно вычислить с помощью серии умножений, делений и поиска в тригонометрической таблице. Астрономам пришлось сделать тысячи таких вычислений, и поскольку лучшим доступным методом умножения было длинное умножение , большую часть этого времени тратили на утомительное перемножение продуктов.

Математики, особенно те, кто также были астрономами, искали более простой путь, и тригонометрия была одной из самых продвинутых и знакомых областей для этих людей. Простаферезис появился в 1580-х годах, но его создатель точно не известен; ^[4] среди его авторов были математики Ибн Юнис , Иоганнес Вернер , Пауль Виттих , Йост Бюрги , Христофор Клавиус и Франсуа Виет . Виттих, Ибн Юнис и Клавиус были астрономами, и все они были приписаны различными источниками как изобретатели этого метода. Его наиболее известным сторонником был Тихо Браге , который широко использовал его для астрономических расчетов, таких как описанные выше. Его также использовал Джон Непер , которому приписывают изобретение логарифмов, которые вытеснили его.

Идентичности

Доказательство без слов тождества суммы и разности в произведение косинусов с использованием равнобедренного треугольника – x на самом деле равен sin  a sin  b

Тригонометрические тождества , используемые простефаэрезисом, связывают произведения тригонометрических функций с суммами. Они включают в себя следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\cos a\cos b&={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\[6pt]\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\end{aligned}}}$

Первые две из них, как полагают, были получены Йостом Бюрги , ^{[ нужна цитата ]} который связал их с [Тихо?] Браге; ^{[ нужна цитата ]} остальные легко следуют из этих двух. Если обе стороны умножить на 2, эти формулы также называются формулами Вернера .

Алгоритм

Сравнение алгоритмов логарифма (вверху) и простафереза ​​(внизу) для умножения двух чисел

Используя вторую формулу выше, метод умножения двух чисел работает следующим образом:

1. Уменьшение масштаба : путем смещения десятичной точки влево или вправо масштабируйте оба числа до значений от до , которые будут обозначаться как и . ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \alpha }$ ${\displaystyle \cos \beta }$
2. Арккосинус : используя таблицу обратных косинусов, найдите два угла , косинусы которых являются нашими двумя значениями. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
3. Сумма и разность : Найдите сумму и разность двух углов.
4. Усреднение косинусов : Найдите косинусы суммы и разности углов, используя таблицу косинусов, и усредните их, получив (согласно второй формуле выше) произведение . ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$
5. Увеличьте масштаб : сдвиньте десятичную точку в ответе на общее число знаков, на которое мы сдвинули десятичную точку на первом шаге для каждого входного значения, но в противоположном направлении.

Например, чтобы умножить и : ${\displaystyle 309}$ ${\displaystyle 78.8}$

1. Уменьшить масштаб : Сдвинуть десятичную точку на три и две позиции влево соответственно. Получаем и . ${\displaystyle \cos \alpha =0.309}$ ${\displaystyle \cos \beta =0.788}$
2. Обратный косинус : , и . ${\displaystyle \arccos 0.309\approx 72^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos 0.788\approx 38^{\circ }}$
3. Сумма и разность : , и . ${\displaystyle 72^{\circ }+38^{\circ }=110^{\circ }}$ ${\displaystyle 72^{\circ }-38^{\circ }=34^{\circ }}$
4. Среднее значение косинусов : составляет около . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 110^{\circ }+\cos 34^{\circ })}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(-0.342+0.829)=0.2435}$
5. Масштабирование : Для каждого из и мы сдвинули десятичную точку в общей сложности на пять позиций влево, поэтому в ответе мы сдвинули пять позиций вправо. Результат . Это очень близко к фактическому произведению ( процентная погрешность ≈0,003%). ${\displaystyle 105}$ ${\displaystyle 720}$ ${\displaystyle 24\,350}$ ${\displaystyle 24\,349.2}$

Если нам нужно произведение косинусов двух начальных значений, что полезно в некоторых астрономических расчетах, упомянутых выше, то это на удивление еще проще: необходимы только шаги 3 и 4, описанные выше.

Для деления мы используем определение секанса как величины, обратной косинусу. Для деления на мы масштабируем числа до и . Теперь — косинус . Используя таблицу секансов , мы находим — секанс . Это означает, что , и поэтому мы можем умножить, используя вышеописанную процедуру. Усредним косинус суммы углов , с косинусом их разности , ${\displaystyle 3420}$ ${\displaystyle 127}$ ${\displaystyle 0.342}$ ${\displaystyle 1.27}$ ${\displaystyle 0.342}$ ${\displaystyle 70^{\circ }}$ ${\displaystyle 1.27}$ ${\displaystyle 38^{\circ }}$ ${\displaystyle 1/1.27\approx \cos 38^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.342}$ ${\displaystyle 1/1.27}$ ${\displaystyle 70^{\circ }+38^{\circ }=108^{\circ }}$ ${\displaystyle 70^{\circ }-38^{\circ }=32^{\circ }}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 108^{\circ }+\cos 32^{\circ })\approx {\tfrac {1}{2}}(-0.309+0.848)=0.2695.}$

Масштабирование для нахождения десятичной точки дает приблизительный ответ: . ${\displaystyle 26.95}$

Алгоритмы, использующие другие формулы, похожи, но каждый из них использует разные таблицы (синус, обратный синус, косинус и обратный косинус) в разных местах. Первые два являются самыми простыми, поскольку для каждого из них требуется только две таблицы. Однако использование второй формулы имеет уникальное преимущество: если доступна только таблица косинусов, ее можно использовать для оценки обратных косинусов путем поиска угла с ближайшим значением косинуса.

Обратите внимание, насколько алгоритм выше похож на процесс умножения с использованием логарифмов, который следует следующим шагам: уменьшить масштаб, взять логарифмы, сложить, взять обратный логарифм, увеличить масштаб. Неудивительно, что создатели логарифмов использовали простеаферезис. Действительно, эти два метода тесно связаны математически. В современных терминах простеаферезис можно рассматривать как основанный на логарифме комплексных чисел, в частности на формуле Эйлера

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Уменьшение ошибки

Если все операции выполняются с высокой точностью, то произведение может быть настолько точным, насколько это необходимо. Хотя суммы, разности и средние значения легко вычислить с высокой точностью, даже вручную, тригонометрические функции и особенно обратные тригонометрические функции — нет. По этой причине точность метода во многом зависит от точности и детализации используемых тригонометрических таблиц.

Например, таблица синусов с записью для каждого градуса может быть неточной на целых 0,0087, если мы просто округлим угол до ближайшего градуса ; каждый раз, когда мы удваиваем размер таблицы (например, давая записи для каждой половины градуса вместо каждого градуса), мы уменьшаем эту ошибку вдвое. Таблицы были кропотливо составлены для простафоэреза со значениями для каждой секунды или 3600-й градуса.

Функции обратных синуса и косинуса особенно проблемны, поскольку они становятся крутыми вблизи −1 и 1. Одним из решений является включение большего количества табличных значений в эту область. Другим решением является масштабирование входных данных до чисел между −0,9 и 0,9. Например, 950 станет 0,095 вместо 0,950.

Другим эффективным подходом к повышению точности является линейная интерполяция , которая выбирает значение между двумя соседними табличными значениями. Например, если мы знаем, что синус 45° составляет около 0,707, а синус 46° составляет около 0,719, мы можем оценить синус 45,7° как 0,707 × (1 − 0,7) + 0,719 × 0,7 = 0,7154. Фактический синус составляет 0,7157. Таблица косинусов всего с 180 записями в сочетании с линейной интерполяцией так же точна, как таблица с примерно45 000 записей без него. Даже быстрая оценка интерполированного значения часто гораздо ближе, чем ближайшее табличное значение. Подробнее см. в таблице поиска .

Обратные тождества

Формулы продукта также можно изменять, чтобы получить формулы, которые выражают сложение в терминах умножения. Хотя они менее полезны для вычисления продуктов, они все еще полезны для получения тригонометрических результатов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a+\sin b&=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\sin a-\sin b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a+\cos b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a-\cos b&=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Логарифмическая линейка

Ссылки

1. prosthaphæresis в словаре The Century Dictionary , The Century Co., Нью-Йорк, 1911.
2. Пирс, Р. К. Младший (январь 1977 г.). «Краткая история логарифмов». The Two-Year College Mathematics Journal . 8 (1). Математическая ассоциация Америки: 22–26. doi :10.2307/3026878. JSTOR  3026878.
3. Простафаерез, Брайан Борчерс
4. Торен, Виктор Э. (1988). «Повторный взгляд на простафаэрезис». Historia Mathematica . 15 (1): 32–39. doi : 10.1016/0315-0860(88)90047-X .

Внешние ссылки

• Формулы для простафереза
• Дэниел Э. Отеро Генри Бриггс Архивировано 22.05.2005 в Wayback Machine . Введение: потребность в скорости в расчетах.
• Mathworld: Формулы простафереза
• Адам Мосли. Тихо Браге и математические методы. Кембриджский университет.
• IEEE Computer Society. История вычислений: Джон Нейпир и изобретение логарифмов.
• Математические слова: Простафаерез
• Беатрис Лампкин. Вклад африканцев и афроамериканцев в математику. Архивировано 26 октября 2020 г. на Wayback Machine . Обсуждается вклад Ибн Юниса в простаферез.
• Простаферезис и явление биения в теории колебаний, Николас Дж. Роуз