В геометрии d -мерный простой многогранник — это d -мерный многогранник , каждая из вершин которого смежна ровно с d ребрами (также d гранями ). Вершинная фигура простого d -многогранника — это ( d – 1) - симплекс . [1]
Простые многогранники топологически двойственны симплициальным многогранникам . Семейство многогранников, которые являются как простыми, так и симплициальными, являются симплексами или двумерными многоугольниками . Простой многогранник — это трехмерный многогранник , вершины которого смежны с тремя ребрами и тремя гранями. Двойственным к простому многограннику является симплициальный многогранник , в котором все грани являются треугольниками. [2]
Трехмерные простые многогранники включают призмы (включая куб ), правильный тетраэдр и додекаэдр , а среди архимедовых тел — усеченный тетраэдр , усеченный куб , усеченный октаэдр , усеченный кубооктаэдр , усеченный додекаэдр , усеченный икосаэдр и усеченный икосододекаэдр . Они также включают многогранники Голдберга и фуллерены , включая скошенный тетраэдр , скошенный куб и скошенный додекаэдр . В общем, любой многогранник можно превратить в простой, усекая его вершины с валентностью четыре или выше. Например, усеченные трапецоэдры образуются путем усечения только вершин высокой степени трапецоэдра; они также являются простыми.
Четырехмерные простые многогранники включают правильный 120-ячейник и тессеракт . Простые однородные 4-многогранники включают усеченный 5-ячейник , усеченный тессеракт , усеченный 24-ячейник , усеченный 120-ячейник и дуопризмы . Все битусеченные, кантиусеченные или всеусеченные четырехмерные многогранники являются простыми.
Простые многогранники в более высоких размерностях включают d - симплекс , гиперкуб , ассоциаэдр , пермутоэдр и все всеусеченные многогранники.
Миха Перлес предположил, что простой многогранник полностью определяется своим 1-скелетом; его гипотеза была доказана в 1987 году Росвитой Блинд и Питером Мани-Левицкой. [3] Вскоре после этого Джил Калай предоставил более простое доказательство этого результата, основанное на теории уникальных ориентаций стоков . [4]