Соболевское пространство

Векторное пространство функций в математике

В математике пространство Соболева — это векторное пространство функций, снабженное нормой , представляющей собой комбинацию Lp ^- норм функции вместе с ее производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабом смысле , чтобы сделать пространство полным , т.е. банаховым пространством . Интуитивно понятно, что пространство Соболева — это пространство функций, имеющих достаточно много производных для некоторой области применения, таких как уравнения в частных производных , и снабженное нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.

Пространства Соболева названы в честь российского математика Сергея Соболева . Их важность обусловлена ​​тем, что слабые решения некоторых важных уравнений в частных производных существуют в соответствующих пространствах Соболева даже тогда, когда нет сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными, понимаемыми в классическом смысле.

Мотивация

В этом разделе и на протяжении всей статьи представлено открытое подмножество ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Существует множество критериев гладкости математических функций . Самым основным критерием может быть критерий непрерывности . Более сильное понятие гладкости — это понятие дифференцируемости (поскольку дифференцируемые функции также непрерывны), а еще более сильное понятие гладкости — это то, что производная также непрерывна (эти функции называются классами — см. Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, в частности для дифференциальных уравнений . Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство (или и т. д.) не совсем подходящее пространство для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств для поиска решений уравнений в частных производных. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются через интегральные нормы. Типичным примером является измерение энергии распределения температуры или скорости по -норме . Поэтому важно разработать инструмент для дифференцирования пространственных функций Лебега . ${\displaystyle L^{2}}$

Формула интегрирования по частям дает, что для каждого , где – натуральное число , и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,}$

где – мультииндекс порядка и мы используем обозначения: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |=k}$

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Левая часть этого уравнения по-прежнему имеет смысл, если только предположить, что она локально интегрируема . Если существует локально интегрируемая функция такая, что ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }v\,\varphi \;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

то мы называем слабую -ю частную производную от . Если существует слабая -я частная производная от , то она однозначно определена почти всюду и, таким образом, однозначно определена как элемент пространства Лебега . С другой стороны, если , то классическая и слабая производные совпадают. Таким образом, если является слабой -й частной производной от , мы можем обозначить ее через . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$

Например, функция

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

не является непрерывным в нуле и не дифференцируемым в точках −1, 0 или 1. Однако функция

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

удовлетворяет определению как слабая производная, которая затем квалифицируется как находящаяся в пространстве Соболева (для любого разрешенного см. определение ниже). ${\displaystyle u(x),}$ ${\displaystyle W^{1,p}}$ ${\displaystyle p}$

Пространства Соболева сочетают в себе понятия слабой дифференцируемости и нормы Лебега . ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

Пространства Соболева с целым k

Одномерный случай

В одномерном случае пространство Соболева для определяется как подмножество функций из таких, что и ее слабые производные до порядка имеют конечную норму L p . Как упоминалось выше, необходимо проявлять некоторую осторожность при определении производных в собственном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что -я производная почти всюду дифференцируема и почти всюду равна интегралу Лебега от своей производной (это исключает несущественные примеры типа функции Кантора ). ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k{-}1)}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}}$

Согласно этому определению пространства Соболева допускают естественную норму

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Это можно распространить на случай , при этом норма определяется с использованием существенного супремума по формуле ${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

Оборудованное нормой пространство становится банаховым . Оказывается, достаточно взять только первую и последнюю последовательность, т. е. норму, определяемую формулой ${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

эквивалентна указанной выше норме (т.е. индуцированные топологии норм одинаковы).

Случай p = 2

Пространства Соболева с р = 2 особенно важны из-за их связи с рядами Фурье и потому, что они образуют гильбертово пространство . Для обозначения этого случая возникли специальные обозначения, поскольку пространство является гильбертовым:

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

Пространство можно естественным образом определить в терминах рядов Фурье , коэффициенты которых убывают достаточно быстро, а именно: ${\displaystyle H^{k}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},}$

где – ряд Фурье и обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.}$

Оба представления легко следуют из теоремы Парсеваля и того факта, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на . ${\displaystyle in}$

Более того, пространство допускает внутренний продукт , как и пространство. Фактически, внутренний продукт определяется через внутренний продукт: ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle H^{0}=L^{2}.}$ ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.}$

С этим внутренним произведением пространство становится гильбертовым пространством. ${\displaystyle H^{k}}$

Другие примеры

В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, – пространство абсолютно непрерывных функций на (0, 1) (вернее, классов эквивалентности функций, почти всюду равных таковым), а – пространство ограниченных липшицевых функций на I для каждого интервала I . Однако эти свойства теряются или становятся не такими простыми для функций с более чем одной переменной. ${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$ ${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$

Все пространства являются (нормированными) алгебрами , т.е. произведение двух элементов снова является функцией этого пространства Соболева, чего не происходит для (Например, функции, ведущие себя как | x | ^−1/3 в начале координат, находятся внутри , но произведения двух таких функций нет в ). ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{2},}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Многомерный случай

Переход к многомерности приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование быть интегралом не обобщает, и самым простым решением является рассмотрение производных в смысле теории распределения . ${\displaystyle f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

Далее следует формальное определение. Пусть пространство Соболева определяется как множество всех функций на таких, что для каждого мультииндекса со смешанной частной производной ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

существует в слабом смысле и находится в т.е. ${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

То есть пространство Соболева определяется как ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

Натуральное число называется порядком пространства Соболева. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

Существует несколько вариантов нормы. Следующие два являются общими и эквивалентными в смысле эквивалентности норм : ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

По отношению к любой из этих норм пространство является банаховым. For также является сепарабельным пространством . Его принято обозначать через, так как оно является гильбертовым пространством с нормой . ^[1] ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$

Приближение гладкими функциями

Работать с пространствами Соболева, опираясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно знать, что по теореме Мейерса-Серрена функция может быть аппроксимирована гладкими функциями . Этот факт часто позволяет перевести свойства гладких функций на функции Соболева. Если конечен и открыт, то для любой аппроксимирующей последовательности функций существует такая, что: ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.}$

Если имеет липшицеву границу , мы можем даже предположить, что это ограничение гладких функций с компактным носителем на всем из ^[2] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Примеры

В более высоких измерениях уже не верно, например, что оно содержит только непрерывные функции. Например, где находится единичный шар в трех измерениях. При пространство будет содержать только непрерывные функции, но для которых это уже верно, зависит как от размерности , так и от размерности. Например, как легко проверить с помощью сферических полярных координат для функции , определенной на n -мерном шаре, имеем: ${\displaystyle W^{1,1}}$ ${\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$ ${\displaystyle k>n/p}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.}$

Интуитивно понятно, что увеличение f при 0 «значит меньше», когда n велико, поскольку единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри» в более высоких измерениях.

Абсолютно непрерывная на прямых (ACL) характеризация функций Соболева

Пусть Если функция находится в то, возможно, после изменения функции на множестве нулевой меры, ограничение почти на каждую линию, параллельную координатным направлениям в, абсолютно непрерывно ; И наоборот, если ограничение почти на каждую прямую, параллельную координатным направлениям, абсолютно непрерывно, то поточечный градиент существует почти всюду и предусмотрен в в частности, в этом случае слабые частные производные и поточечные частные производные совпадают почти всюду. Характеристика ACL пространств Соболева была установлена ​​Отто М. Никодимом (1933); см. (Мазья 2011, §1.1.3). ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Более сильный результат имеет место, когда функция в после модификации на множестве нулевой меры является непрерывной по Гельдеру экспоненты согласно неравенству Морри . В частности, если и имеет липшицеву границу, то функция липшицева . ${\displaystyle p>n.}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle \Omega }$

Функции, исчезающие на границе

Пространство Соболева также обозначается как Это гильбертово пространство с важным подпространством, определенным как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в в . Норма Соболева, определенная выше, сводится здесь к ${\displaystyle W^{1,2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.}$

Если граница имеет регулярную границу, ее можно описать как пространство функций, обращающихся в нуль на границе в смысле следов (см. ниже). Если if — ограниченный интервал, то он состоит из непрерывных функций вида ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Omega =(a,b)}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}$

где обобщенная производная находится в и имеет интеграл 0, так что ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle f(b)=f(a)=0.}$

Когда ограничено, неравенство Пуанкаре утверждает, что существует такая константа, что: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C=C(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Когда ограничено, вложение из в компактно . Этот факт играет роль при изучении задачи Дирихле , а также в том, что существует ортонормированный базис , состоящий из собственных векторов оператора Лапласа (с граничным условием Дирихле ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Следы

Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений в частных производных. Существенно учитывать граничные значения функций Соболева. Если , эти граничные значения описываются ограничением. Однако неясно, как описать значения на границе, поскольку n -мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема ^[2] решает проблему: ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$ ${\displaystyle u|_{\partial \Omega }.}$ ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega ),}$

Теорема о следах  .  Предположим, что Ω ограничена липшицевой границей . Тогда существует ограниченный линейный оператор такой, что ${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}}$$

Ту называют следом и . Грубо говоря, эта теорема расширяет оператор ограничения на пространство Соболева для корректного Ω. Заметим, что оператор следа T, вообще говоря, не сюръективен, но при 1 < p < ∞ он непрерывно отображается в пространство Соболева–Слободецкого. ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}$

Интуитивно понятно, что взятие следа стоит 1/ p производной. Функции u из W ^1,p (Ω) с нулевым следом, т.е. Tu  = 0, можно охарактеризовать равенством

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},}$

где

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

Другими словами, для Ω, ограниченного липшицевой границей, функции с нулевым следом в можно аппроксимировать гладкими функциями с компактным носителем. ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

Пространства Соболева с нецелыми k

Потенциальные пространства Бесселя

Для натурального числа k и 1 < p < ∞ можно показать (с помощью множителей Фурье ^{[3] [4]} ), что пространство эквивалентно можно определить как ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}$

с нормой

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k любым действительным числом s . Полученные пространства

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

называются потенциальными пространствами Бесселя ^[5] (по имени Фридриха Бесселя ). Это банаховы пространства в общем случае и гильбертовы пространства в частном случае p = 2.

Действительно , множество ограничений функций из в Ω снабжено нормой ${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.}$

Опять же, H ^s,p (Ω) — банахово пространство, а в случае p = 2 — гильбертово пространство.

Используя теоремы о расширении пространств Соболева, можно показать, что W ^k,p (Ω) = H ^k,p (Ω) имеет место в смысле эквивалентных норм, если Ω — область с равномерной C ^k -границей, k — естественная число и 1 < п < ∞ . По вложениям

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

потенциальные пространства Бесселя образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева . С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя представляют собой комплексные интерполяционные пространства пространств Соболева, т. е. в смысле эквивалентных норм справедливо соотношение ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

где:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

Пространства Соболева–Слободецкого

Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка возникает из идеи обобщить условие Гёльдера на L ^p -установку. ^[6] Для и полунорма Слободецкого (примерно аналогичная полунорме Гёльдера) определяется формулой ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Пусть s > 0 не целое число и положим . Используя ту же идею, что и для пространств Гёльдера , пространство Соболева–Слободецкого ^[7] определяется как ${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

Это банахово пространство для нормы

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

Если оно достаточно регулярно в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то пространства Соболева–Слободецкого также образуют шкалу банаховых пространств, т. е. имеют непрерывные вложения или вложения ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

Существуют примеры нерегулярных Ω, которые не являются даже векторными подпространствами при 0 < s < 1 (см. пример 9.1 из ^[8] ). ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

С абстрактной точки зрения пространства совпадают с вещественными интерполяционными пространствами Соболева, т.е. в смысле эквивалентных норм имеет место следующее: ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .}$

Пространства Соболева–Слободецкого играют важную роль в изучении следов функций Соболева. Они являются частными случаями пространств Бесова . ^[4]

Операторы расширения

Если это область , граница которой не слишком плохо себя ведет (например, если ее граница является многообразием или удовлетворяет более разрешающему « условию конуса »), то существует оператор A, отображающий функции из в такие функции, что: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) для почти каждого x в и ${\displaystyle \Omega }$
2. ${\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$непрерывен для любого 1 ≤ p ≤ ∞ и целого k .

Такой оператор A будем называть оператором расширения для ${\displaystyle \Omega .}$

Случай р = 2

Операторы расширения — наиболее естественный способ определения нецелых чисел ( мы не можем работать напрямую, поскольку преобразование Фурье — глобальная операция). Мы определяем , говоря, что тогда и только тогда, когда. Эквивалентно, комплексная интерполяция дает одни и те же пространства, если есть оператор расширения. Если нет оператора расширения, комплексная интерполяция — единственный способ получить пробелы . ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

В результате интерполяционное неравенство по-прежнему сохраняется.

Расширение на ноль

Как и выше, мы определяем замыкание пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Учитывая определение следа, данное выше, мы можем утверждать следующее. ${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

Теорема  .  Пусть C ^m регулярно , m ≥ s , и пусть P — линейное отображение, отправляющее u в ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

$${\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}}$$

где d/dn — производная, нормальная к G , а k — наибольшее целое число, меньшее s . Тогда это и есть ядро ​​P . ${\displaystyle H_{0}^{s}}$

Если мы можем определить его расширение нулем естественным образом, а именно ${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

Теорема  .  Пусть Отображение непрерывно в том и только в том случае, если s не имеет формы для n — целое число. ${\displaystyle s>{\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle u\mapsto {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}}}$

Для f ∈ Lp (Ω) ее ^{продолжение} нулем,

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

является элементом Кроме того, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

В случае пространства Соболева W ^1,p ( ) для 1 ⩽ p ⩽ ∞ продолжение функции u нулем не обязательно даст элемент из But, если Ω ограничено липшицевой границей (например, ∂Ω есть C ¹ ) , то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т. е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор ^[2] ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

такой, что для каждого п.в. на Ω Eu имеет компактный носитель внутри O и существует константа C, зависящая только от p , Ω, O и размерности n , такая, что ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Мы называем расширение to ${\displaystyle Eu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Соболевские вложения

Естественен вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточное количество слабых производных (т.е. больших k ) приводит к классической производной. Эта идея обобщена и уточнена в теореме вложения Соболева .

Напишите пространство Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности n . Здесь k может быть любым действительным числом, причем 1 ≤  p  ≤ ∞. (Для p  = ∞ пространство Соболева определяется как пространство Гёльдера C ^{n ,α} , где k  =  n  + α и 0 < α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если и то ${\displaystyle W^{k,p}}$ ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle k\geqslant m}$ ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}$

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

и вложение непрерывно. Более того, если и то вложение вполне непрерывно (иногда это называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха–Кондрахова ). У функций в все производные порядка меньше m непрерывны, поэтому, в частности, это дает условия в пространствах Соболева для непрерывности различных производных. Неформально эти вложения говорят, что преобразование оценки L ^p в оценку ограниченности требует 1/ p производных на измерение. ${\displaystyle k>m}$ ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}}$ ${\displaystyle W^{m,\infty }}$

Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, например (Stein 1970). Вложения Соболева на них некомпактны, часто обладают родственным, но более слабым свойством кокомпактности . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Смотрите также

• Соболевское картографирование
• Соучек пространство

Примечания

1. Эванс 2010, Глава 5.2.
2. Адамс и Фурнье, 2003 г.
3. Берг и Лёфстрём, 1976 г.
4. Трибель 1995
5. Потенциальные пространства Бесселя с переменной интегрируемостью были независимо введены Алмейдой и Самко (А. Алмейда и С. Самко, «Характеризация потенциалов Рисса и Бесселя на переменных пространствах Лебега », J. Function Spaces Appl. 4 (2006), вып. 2, 113–144) и Гурка, Харьюлехто и Неквинда (П. Гурка, П. Харьюлехто и А. Неквинда: «Потенциальные пространства Бесселя с переменным показателем», Math. Inequal. Appl. 10 (2007), № 3, 661 –676).
6. Лунарди 1995
7. В литературе дробные пространства соболевского типа также называют пространствами Ароншайна , пространствами Гальярдо или пространствами Слободецкого , по именам математиков, введших их в 1950-е годы: Н. Ароншайна («Граничные значения функций с конечным интегралом Дирихле », Технический отчет Канзасского университета 14 (1955), 77–94), Э. Гальярдо («Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili», Ricerche Mat. 7 (1958), 102–137) и Л. Н. Слободецкого. («Обобщенные пространства Соболева и их приложения к краевым задачам уравнений в частных производных», Ленинград. Гос. пед. ин-т уч. зап. 197 (1958), 54–112).
8. Ди Нецца, Элеонора; Палатуччи, Джампьеро; Вальдиночи, Энрико (01 июля 2012 г.). «Автостопом по дробным пространствам Соболева». Бюллетень математических наук . 136 (5): 521–573. arXiv : 1104.4345 . doi : 10.1016/j.bulsci.2011.12.004 . ISSN  0007-4497.

Рекомендации

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон (2003) [1975]. Соболевские пространства . Чистая и прикладная математика. Том. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . ISBN 978-0-12-044143-3..
• Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ многообразий. Уравнения Монжа-Ампера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], вып. 252, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN. 978-0-387-90704-8, МР  0681859.
• Берг, Йоран; Лёфстрём, Йорген (1976), Интерполяционные пространства, Введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 223, Springer-Verlag, стр. X + 207, ISBN. 978-7-5062-6011-4, МР  0482275, Збл  0344.46071
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998]. Уравнения в частных производных . Аспирантура по математике . Том. 19 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 749. ИСБН 978-0-8218-4974-3.
• Леони, Джованни (2009). Первый курс по пространствам Соболева . Аспирантура по математике . Том. 105. Американское математическое общество. стр. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8. МР  2527916. Збл  1180.46001.
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Серия Спрингера в советской математике, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xix + 486, doi : 10.1007/978-3-662-09922-3 , ISBN 0-387-13589-8, МР  0817985, Збл  0692.46023
• Мазья Владимир Георгиевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции в плохих областях, Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. xx + 481, ISBN 981-02-2767-1, МР  1643072, Збл  0918.46033.
• Мазья, Владимир Георгиевич (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям в частных производных, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xxviii+866, doi : 10.1007/978-3-642-15564-2, ISBN 978-3-642-15563-5, МР  2777530, Збл  1217.46002.
• Лунарди, Алессандра (1995), Аналитические полугруппы и оптимальная регулярность в параболических задачах , Базель: Birkhäuser Verlag.
• Никодим, Отто (1933), «Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet», Fund. Математика. , 21 : 129–150, doi : 10.4064/fm-21-1-129-150.
• Никольский, С.М. (2001) [1994], «Теоремы вложения», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Никольский, С.М. (2001) [1994], «Пространство Соболева», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Соболев С.Л. (1963), «Об одной теореме функционального анализа», Одиннадцать статей по анализу , Переводы Американского математического общества: Серия 2, том. 34, стр. 39–68, doi : 10.1090/trans2/034/02, ISBN. 9780821817346; перевод Мат. Сб., 4 (1938) стр. 471–497.
• Соболев С. Л. (1963), Некоторые приложения функционального анализа в математической физике , Амер. Математика. Соц..
• Стейн, Э. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Univ. Пресса, ISBN 0-691-08079-8.
• Трибель, Х. (1995), Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы , Гейдельберг: Иоганн Амброзиус Барт.
• Цимер, Уильям П. (1989), Слабо дифференцируемые функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 120, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1015-3, hdl : 10338.dmlcz/143849 , ISBN 978-0-387-97017-2, МР  1014685.

Внешние ссылки

• Элеонора Ди Нецца, Джампьеро Палатуччи, Энрико Вальдиночи (2011). «Автостопом по дробным пространствам Соболева».