В математике вещественное проективное пространство обозначается или является топологическим пространством прямых , проходящих через начало координат 0 в реальном пространстве . Это компактное гладкое многообразие размерности n и частный случай грассманова пространства .
Как и все проективные пространства , RP n формируется путем факторизации R n +1 ∖ {0} по отношению эквивалентности x ∼ λx для всех действительных чисел λ ≠ 0 . Для всех x из Rn +1 ∖ {0} всегда можно найти λ такой, что λx имеет норму 1. Таких λ, отличающихся знаком, ровно два.
Таким образом, RP n также может быть сформирована путем идентификации противоположных точек единичной n - сферы Sn в R n + 1 .
Можно далее ограничиться верхней полусферой Sn и просто определить противоположные точки на ограничивающем экваторе. Это показывает, что RP n также эквивалентен замкнутому n -мерному диску D n с отождествленными антиподальными точками на границе ∂ D n = S n −1 .
Антиподальное отображение на n -сфере (отображение, переводящее x в − x ) порождает групповое действие Z 2 на S n . Как упоминалось выше, орбитальное пространство для этого действия — RP n . Это действие на самом деле является действием покрытия пространства , дающим Sn как двойное покрытие RP n . Поскольку Sn односвязен при n ≥ 2, он и в этих случаях служит универсальным накрытием . Отсюда следует, что фундаментальная группа RP n — это Z 2, когда n > 1. (Когда n = 1 , фундаментальная группа — это Z из-за гомеоморфизма с S 1 ). Генератором фундаментальной группы является замкнутая кривая, полученная проецированием любой кривой, соединяющей противоположные точки в Sn , на RP n .
Проективное n -пространство компактно, связно и имеет фундаментальную группу, изоморфную циклической группе порядка 2: его универсальное накрывающее пространство задается фактор-отображением антиподий из n -сферы, односвязного пространства. Это двойная крышка . Отображение антипода на R p имеет знак , поэтому оно сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда p четно. Таким образом, характер ориентации таков : нетривиальная петля в действует как ориентация, поэтому RP n ориентируема тогда и только тогда, когда n + 1 четно, т. е. n нечетно. [2]
Проективное n -пространство на самом деле диффеоморфно подмногообразию R ( n +1) 2 , состоящему из всех симметричных ( n + 1) × ( n + 1) матриц следа 1, которые также являются идемпотентными линейными преобразованиями. [ нужна цитата ]
Реальное проективное пространство допускает постоянную положительную скалярную метрику кривизны, возникающую в результате двойного покрытия стандартной круглой сферой (антиподальное отображение является локальной изометрией).
Для стандартной круглой метрики кривизна сечения равна 1.
В стандартной круглой метрике мера проективного пространства равна ровно половине меры сферы.
Реальные проективные пространства представляют собой гладкие многообразия . На Sn в однородных координатах ( x 1 , ..., x n +1 ) рассмотрим подмножество U i с x i ≠ 0. Каждый U i гомеоморфен непересекающемуся объединению двух открытых единичных шаров в R n которые отображаются в одно и то же подмножество RP n , а функции перехода координат являются гладкими. Это придает RP n гладкую структуру .
Реальное проективное пространство RP n допускает структуру комплекса CW с одной ячейкой в каждом измерении.
В однородных координатах ( x 1 ... x n +1 ) на S n координатная окрестность U 1 = {( x 1 ... x n +1 ) | x 1 ≠ 0} можно отождествить с внутренностью n -диска D n . Когда x i = 0, имеется RP n −1 . Следовательно, n -1 скелетом RP n является RP n -1 , а присоединяющее отображение f : S n -1 → RP n -1 является покрывающим отображением 2-к-1. Можно положить
Индукция показывает, что RP n представляет собой комплекс CW с одной ячейкой в каждом измерении до n .
Клетки являются клетками Шуберта , как на многообразии флагов . То есть возьмем полный флаг (скажем, стандартный флаг) 0 = V 0 < V 1 <...< V n ; тогда замкнутая k -ячейка — это линии, лежащие в V k . Также открытая k -ячейка (внутренняя часть k -ячейки) представляет собой линии из V k \ V k −1 (линии из V k , но не из V k −1 ).
В однородных координатах (относительно флага) ячейки имеют вид
Это не обычная структура CW, так как прикрепляемые карты имеют соотношение 2 к 1. Однако его покрытие представляет собой обычную структуру CW на сфере с двумя ячейками в каждом измерении; действительно, минимальная регулярная структура CW на сфере.
В свете гладкой структуры существование функции Морса показало бы, что RP n является комплексом CW. Одна из таких функций в однородных координатах задается формулой:
В каждой окрестности U i g имеет невырожденную критическую точку (0,...,1,...,0), где 1 встречается на i - й позиции с индексом Морса i . Это показывает, что RP n представляет собой комплекс CW с одной ячейкой в каждом измерении.
Реальное проективное пространство имеет над собой естественное линейное расслоение , называемое тавтологическим расслоением . Точнее, это называется тавтологическим подрасслоением, а также существует двойственное n -мерное расслоение, называемое тавтологическим факторрасслоением.
Высшие гомотопические группы RP n являются в точности высшими гомотопическими группами Sn через длинную точную гомотопическую последовательность, связанную с расслоением .
Явно пучок волокон представляет собой:
Гомотопические группы:
Комплекс клеточных цепей, связанный с вышеуказанной структурой CW, имеет по 1 ячейке в каждом измерении 0,..., n . Для каждого размерного k граничные карты d k : δ D k → RP k −1 / RP k −2 представляют собой карту, которая сжимает экватор на S k −1 и затем идентифицирует противоположные точки. В нечетных (соответственно четных) измерениях он имеет степень 0 (соответственно 2):
Таким образом, интегральная гомология равна
RP n ориентируем тогда и только тогда, когда n нечетно, как показывает приведенное выше вычисление гомологии.
Бесконечное действительное проективное пространство строится как прямой предел или объединение конечных проективных пространств:
Двойной оболочкой этого пространства является бесконечная сфера , которая сжимается. Таким образом, бесконечное проективное пространство — это пространство Эйленберга–Маклейна K ( Z 2 , 1).
Для каждого неотрицательного целого числа q группа гомологий по модулю 2 .
Его кольцо когомологий по модулю 2 есть