Прямое моделирование Монте-Карло

Метод Монте-Карло

Метод прямого моделирования Монте-Карло ( DSMC ) использует вероятностное моделирование Монте-Карло для решения уравнения Больцмана для потоков жидкости с конечным числом Кнудсена .

Метод DSMC был предложен Грэмом Бердом, ^{[1] [2] [3]} почетным профессором аэронавтики Сиднейского университета. DSMC — это численный метод моделирования потоков разреженного газа, в котором длина свободного пробега молекулы того же порядка (или больше), чем репрезентативный физический масштаб длины (т. е. число Кнудсена Kn больше 1). В сверхзвуковых и гиперзвуковых потоках разрежение характеризуется параметром Циена, который эквивалентен произведению числа Кнудсена на число Маха (КнМ) или M /Re, где Re — число Рейнольдса. ^{[4] [5]} В этих разреженных потоках уравнения Навье-Стокса могут быть неточными. Метод DSMC был расширен для моделирования непрерывных потоков (Kn <1), и результаты можно сравнить с решениями Навье-Стокса. ${\displaystyle ^{2}}$

Метод DSMC моделирует потоки жидкости, используя вероятностное моделирование молекул для решения уравнения Больцмана . Молекулы перемещаются через моделирование физического пространства реалистичным образом, который напрямую связан с физическим временем, так что можно моделировать характеристики нестационарного потока. Межмолекулярные столкновения и столкновения молекул с поверхностью рассчитываются с использованием вероятностных феноменологических моделей . Общие молекулярные модели включают модель твердой сферы, модель переменной твердой сферы (VHS) и модель переменной мягкой сферы (VSS). Различные модели столкновений представлены в ^{[6] .}

В настоящее время метод DSMC применяется для решения течений от оценки аэродинамики спуска космического корабля "Шаттл" до моделирования микроэлектромеханических систем (МЭМС).

Алгоритм ДСМЦ

Алгоритм прямого моделирования Монте-Карло подобен молекулярной динамике в том смысле, что состояние системы задается положениями и скоростями частиц, , для . В отличие от молекулярной динамики, каждая частица в моделировании DSMC представляет собой молекулы в физической системе, которые имеют примерно одинаковое положение и скорость. Это позволяет DSMC масштабировать длину и время для моделирования макроскопических систем (например, входа в атмосферу ). В частности, объем системы равен , где плотность чисел, и каждое столкновение между частицами моделирования представляет собой столкновение между молекулами в физической системе. Как правило, для получения точных результатов на среднюю длину свободного пробега должно приходиться 20 или более частиц. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{i},{\textbf {v}}_{i}\}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle F_{N}}$ ${\displaystyle V=(NF_{N})/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{N}}$

Эволюция системы интегрирована во временные шаги, которые обычно порядка среднего времени столкновения частицы. На каждом временном шаге все частицы перемещаются, а затем сталкивается случайный набор пар. В отсутствие внешних полей (например, гравитации) частицы движутся баллистически как . Положение и скорость любой частицы, достигающей границы или поверхности, соответствующим образом сбрасываются (например, периодические граничные условия ). После того, как все частицы переместились, они сортируются по ячейкам и некоторые случайным образом выбираются для столкновения. на основе вероятностей и частот столкновений, полученных из кинетической теории газов . После того, как скорости всех сталкивающихся частиц были обнулены, выполняется статистическая выборка, а затем процесс повторяется для следующего временного шага. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t+\tau )=\mathbf {r} _{i}(t)+\mathbf {v} _{i}(t)\tau }$

Столкновения

На каждом временном шаге частицы сортируются по пространственным ячейкам, и только частицам в одной и той же ячейке разрешается сталкиваться. Обычно размер ячейки не превышает длину свободного пробега. Все пары частиц в ячейке являются кандидатами в партнеры по столкновению, независимо от их реальных траекторий.

Детали расчета столкновений в DSMC зависят от модели молекулярного взаимодействия; здесь мы берем модель твердых сфер , которая является самой простой. В модели твердых сфер вероятность столкновения пары частиц и пропорциональна их относительной скорости: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {coll} }[i,j]={{|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} \over {\sum _{m=1}^{N_{\mathrm {c} }}\sum _{n=1}^{m-1}|\mathbf {v} _{m}-\mathbf {v} _{n}|}}}$$

выборки отклонения : ${\displaystyle N_{\mathrm {c} }}$

1. Пара частиц-кандидатов и , выбирается случайным образом, и вычисляется их относительная скорость . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|}$
2. Пара принимается в качестве партнеров по столкновению, если , где – максимальная относительная скорость в ячейке и – равномерное отклонение в [0, 1). ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re }$ ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \Re }$
3. Если пара принята, коллизия обрабатывается; скорости частиц сбрасываются, но положения остаются неизменными.
4. После обработки коллизии или отклонения пары вернитесь к шагу 1.

Эта процедура правильна, даже если значение завышено, хотя она менее эффективна в том смысле, что отклоняется больше кандидатов. ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }}$

После выбора пары столкновений оцениваются их скорости после столкновения и . Записывая относительную скорость через сферические углы , и ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{j}^{*}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]}$$

единичной сфереравномерное отклонение ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi =2\pi \Re _{1}}$ ${\displaystyle \Re _{1}}$

$${\displaystyle P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \theta \,d\theta }$$

${\displaystyle q=\sin \theta }$ ${\displaystyle P_{q}(q)\,dq=({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq}$

$${\displaystyle \cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={\sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {where} ~q=2\Re _{2}-1}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v} _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}}$$

$${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{*}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}}$$

Из частоты столкновений , заданной кинетической теорией, общее количество столкновений твердых сфер в ячейке за время равно ${\displaystyle f_{\mathrm {coll} }}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle M_{\mathrm {coll} }={1 \over 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}}$$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {c} }}$

$${\displaystyle {{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}}$$

${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}}$$

без счетчика времени ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\max }}$

Рекомендации

1. Берд, Джорджия (1963). «Подход к поступательному равновесию в твердом сферическом газе». Физика жидкостей . 6 (10): 1518–1519. Бибкод : 1963PhFl....6.1518B. дои : 10.1063/1.1710976.
2. Г. А. Берд, Молекулярная газовая динамика , Clarendon Press, Oxford (1976) ^{[ нужна страница ]}
3. Г. А. Берд, Молекулярная газовая динамика и прямое моделирование газовых потоков , Clarendon Press, Oxford (1994) ^{[ нужная страница ]}
4. Цянь, Сюэ-Шен (1946). «Супераэродинамика, механика разреженных газов». Журнал авиационных наук . 13 (12): 653–64. дои : 10.2514/8.11476.
5. М. Н. Макроссан, «Параметры масштабирования для гиперзвукового потока: корреляция данных о сопротивлении сферы». В: М. С. Иванов и А. К. Ребров, 25-й Международный симпозиум по динамике разреженных газов , Сибирское отделение РАН, стр.759 (2007).
6. Рухи, Э.; Стефанов, С. (2016). «Схемы выбора партнера по столкновению в DSMC: от микро/нанопотоков к гиперзвуковым потокам». Отчеты по физике . 656 (1): 1–38. Бибкод : 2016PhR...656....1R. doi :10.1016/j.physrep.2016.08.002.

Внешние ссылки

• Метод прямого моделирования Монте-Карло: программы визуального моделирования, созданные Г. А. Бердом.
• Демо-апплет DSMC, автор Грег Ханларов
• Материал курса по DSMC (часть учебника по вычислительной физике Франца Й. Веселы, Венский университет)
• Материалы курса по DSMC и последним разработкам (представлены в IPAM UCLA Лоренцо Парески, Университет Феррары)