Прямой сравнительный тест

Способ вывода сходимости или расходимости бесконечного ряда или несобственного интеграла

В математике сравнительный тест , иногда называемый прямым сравнительным тестом , чтобы отличить его от похожих родственных тестов (особенно от предельного сравнительного теста ), позволяет сделать вывод о том, сходится или расходится бесконечный ряд или несобственный интеграл, сравнивая ряд или интеграл с рядом или интегралом, свойства сходимости которого известны.

Для серии

В исчислении сравнительный тест для рядов обычно состоит из пары утверждений о бесконечных рядах с неотрицательными ( действительными ) членами: ^[1]

• Если бесконечный ряд сходится и для всех достаточно больших n (то есть для всех при некотором фиксированном значении N ), то бесконечный ряд также сходится. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• Если бесконечный ряд расходится и для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд также расходится. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Обратите внимание, что иногда говорят, что ряд с большими членами доминирует (или в конечном итоге доминирует ) над рядом с меньшими членами. ^[2]

В качестве альтернативы тест может быть сформулирован в терминах абсолютной сходимости , и в этом случае он также применим к рядам со сложными членами: ^[3]

• Если бесконечный ряд абсолютно сходится и для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд также абсолютно сходится. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• Если бесконечный ряд не является абсолютно сходящимся и для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд также не является абсолютно сходящимся. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Обратите внимание, что в этом последнем утверждении ряд все еще может быть условно сходящимся ; для действительных рядов это может произойти, если не все a _{n неотрицательны.} ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Вторая пара утверждений эквивалентна первой в случае действительных рядов, поскольку сходится абсолютно тогда и только тогда , когда сходится ряд с неотрицательными членами. ${\displaystyle \sum c_{n}}$ ${\displaystyle \sum |c_{n}|}$

Доказательство

Доказательства всех приведенных выше утверждений аналогичны. Вот доказательство третьего утверждения.

Пусть и будут бесконечными рядами, такими, что сходится абсолютно (и, следовательно, сходится), и без потери общности предположим, что для всех положительных целых чисел n . Рассмотрим частичные суммы ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \sum |b_{n}|}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$

${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.}$

Так как сходится абсолютно, для некоторого действительного числа T. Для всех n , ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$

${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$

${\displaystyle S_{n}}$является неубывающей последовательностью и невозрастающей. При условии , что оба принадлежат интервалу , длина которого уменьшается до нуля по мере стремления к бесконечности. Это показывает, что является последовательностью Коши , и поэтому должна сходиться к пределу. Следовательно, является абсолютно сходящейся. ${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle S_{n},S_{m}}$ ${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$ ${\displaystyle T-T_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Для интегралов

Сравнительный тест для интегралов можно сформулировать следующим образом, предполагая непрерывные действительные функции f и g , где b — действительное число, при котором f и g имеют вертикальную асимптоту: ^[4] ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle +\infty }$

• Если несобственный интеграл сходится и при , то несобственный интеграл также сходится при ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle a\leq x<b}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$
• Если несобственный интеграл расходится и при , то несобственный интеграл также расходится. ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$ ${\displaystyle a\leq x<b}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Тест сравнения коэффициентов

Другой тест на сходимость действительных рядов, аналогичный как тесту прямого сравнения, так и тесту отношения , называется тестом сравнения отношений : ^[5]

• Если бесконечный ряд сходится и , , и для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд также сходится. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• Если бесконечный ряд расходится и , , и для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд также расходится. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Тесты на сходимость
• Сходимость (математика)
• Теорема о доминируемой сходимости
• Интегральный тест на сходимость
• Тест сравнения пределов
• Теорема о монотонной сходимости

Примечания

1. Айрес и Мендельсон (1999), стр. 401.
2. Мунем и Фулис (1984), с. 662.
3. Сильверман (1975), стр. 119.
4. Бак (1965), стр. 140.
5. Бак (1965), стр. 161.

Ссылки

• Айрес, Фрэнк-младший; Мендельсон, Эллиотт (1999). Очерк исчисления Шаума (4-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
• Бак, Р. Крейтон (1965). Advanced Calculus (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill.
• Кнопп, Конрад (1956). Бесконечные последовательности и ряды . Нью-Йорк: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
• Мунем, MA; Фулис, DJ (1984). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
• Сильверман, Херб (1975). Комплексные переменные . Компания Houghton Mifflin. ISBN 0-395-18582-3.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1963). Курс современного анализа (4-е изд.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.