Прямой продукт

Обобщение декартова произведения

В математике часто можно определить прямое произведение уже известных объектов, давая новое. Это индуцирует структуру декартова произведения базовых множеств из структуры вносящих вклад объектов. Более абстрактно, о произведении говорят в теории категорий , которая формализует эти понятия.

Примерами являются произведения множеств, групп (описанных ниже), колец и других алгебраических структур . Произведение топологических пространств — еще один пример.

Существует также прямая сумма — в некоторых областях она используется как взаимозаменяемый термин, а в других — как отдельное понятие.

Примеры

• Если мы будем рассматривать как множество действительных чисел без дальнейшей структуры, то прямое произведение — это просто декартово произведение ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• Если мы думаем о группе действительных чисел при сложении, то прямое произведение все еще имеет в качестве своего базового множества. Разница между этим и предыдущим примером в том, что теперь это группа, и поэтому мы должны также сказать, как складывать их элементы. Это делается путем определения ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
• Если мы думаем о кольце действительных чисел, то прямое произведение снова имеет в качестве своего базового множества. Структура кольца состоит из сложения, определяемого как и умножения, определяемого как ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
• Хотя кольцо является полем , оно им не является, поскольку ненулевой элемент не имеет мультипликативного обратного элемента . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)}$

Аналогичным образом, мы можем говорить о прямом произведении конечного числа алгебраических структур, например, Это опирается на то, что прямое произведение ассоциативно с точностью до изоморфизма . То есть для любых алгебраических структур и того же вида. Прямое произведение также коммутативно с точностью до изоморфизма, то есть для любых алгебраических структур и того же вида. Мы даже можем говорить о прямом произведении бесконечного числа алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетного числа копий, которое мы записываем как ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

Прямое произведение групп

В теории групп можно определить прямое произведение двух групп , обозначаемое как Для абелевых групп , которые записываются аддитивно, его можно также назвать прямой суммой двух групп , обозначаемой как ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ),}$ ${\displaystyle G\times H.}$ ${\displaystyle G\oplus H.}$

Он определяется следующим образом:

• множество элементов новой группы является декартовым произведением множеств элементов, то есть ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle \{(g,h):g\in G,h\in H\};}$
• к этим элементам применим операцию, определенную поэлементно: $${\displaystyle (g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)}$$

Обратите внимание, что это может быть то же самое, что и ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ).}$

Эта конструкция дает новую группу. Она имеет нормальную подгруппу , изоморфную (заданную элементами вида ), и одну, изоморфную (содержащую элементы ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (g,1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (1,h)}$

Обратное также верно. Существует следующая теорема распознавания: если группа содержит две нормальные подгруппы такие, что и пересечение содержит только единицу, то изоморфна Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямое произведение . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle K=GH}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G\times H.}$

В качестве примера возьмем две копии единственной (с точностью до изоморфизма) группы порядка 2, скажем Тогда с операцией поэлементно. Например, и ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle C^{2}:}$ ${\displaystyle \{1,a\}{\text{ and }}\{1,b\}.}$ ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).}$

С помощью прямого произведения мы получаем некоторые естественные групповые гомоморфизмы бесплатно: проекционные отображения, определяемые с помощью , называются координатными функциями . $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$$

Кроме того, каждый гомоморфизм к прямому произведению полностью определяется его компонентными функциями ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f.}$

Для любой группы и любого целого числа повторное применение прямого произведения дает группу всех - кортежей (так как это тривиальная группа ), например и ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Прямое произведение модулей

Прямое произведение для модулей (не путать с тензорным произведением ) очень похоже на то, которое определено для групп выше, используя декартово произведение с операцией сложения покомпонентно, а скалярное умножение просто распределяется по всем компонентам. Начиная с мы получаем евклидово пространство — прототипический пример действительного -мерного векторного пространства. Прямое произведение и равно ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}.}$

Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса канонически изоморфно прямой сумме Прямая сумма и прямое произведение не изоморфны для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа записей. Они двойственны в смысле теории категорий : прямая сумма является копроизведением , в то время как прямое произведение является произведением. ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$

Например, рассмотрим и бесконечное прямое произведение и прямую сумму действительных чисел. Только последовательности с конечным числом ненулевых элементов находятся в Например, находится в , но не находится. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении фактически, является собственным подмножеством (то есть, ). ^{[1] [2]} ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (1,0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$

Топологическое пространство прямое произведение

Прямое произведение для набора топологических пространств для некоторого набора индексов снова использует декартово произведение ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$$

Определение топологии немного запутанно. Для конечного числа факторов это очевидное и естественное действие: просто взять за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора: $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.}$$

Эта топология называется топологией произведения . Например, если напрямую задать топологию произведения на открытыми множествами (непересекающиеся объединения открытых интервалов), то базисом для этой топологии будут все непересекающиеся объединения открытых прямоугольников на плоскости (как выясняется, она совпадает с обычной метрической топологией). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Топология произведения для бесконечных произведений имеет особенность, и она связана с возможностью сделать все отображения проекций непрерывными и сделать все функции в произведении непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции непрерывны (то есть, чтобы удовлетворять категориальному определению произведения: морфизмы здесь являются непрерывными функциями): мы берем за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора, как и прежде, с условием, что все, кроме конечного числа открытых подмножеств, являются всем фактором: $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.}$$

Более естественной топологией в этом случае было бы взять произведения бесконечного числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает довольно интересную топологию, топологию ящика . Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных компонентных функций, чья функция произведения не является непрерывной (см. топологию ящика с отдельным входом для примера и больше). Проблема, которая делает поворот необходимым, в конечном счете коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открытым только для конечного числа множеств в определении топологии.

Произведения (с топологией произведения) хороши в отношении сохранения свойств их факторов; например, произведение хаусдорфовых пространств является хаусдорфовым; произведение связных пространств связно, а произведение компактных пространств компактно. Последнее, называемое теоремой Тихонова , является еще одной эквивалентностью аксиомы выбора .

Дополнительные свойства и эквивалентные формулировки см. в отдельной статье о топологии продукта .

Прямое произведение бинарных отношений

На декартовом произведении двух множеств с бинарными отношениями определяем как Если оба являются рефлексивными , иррефлексивными , транзитивными , симметричными или антисимметричными , то будет также. ^[3] Аналогично, совокупность наследуется от Объединяя свойства, следует, что это также применимо к тому, чтобы быть предпорядком и быть отношением эквивалентности . Однако, если являются связанными отношениями , не обязательно быть связанными; например, прямое произведение на само по себе не связано ${\displaystyle R{\text{ and }}S,}$ ${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$ ${\displaystyle aRc{\text{ and }}bSd.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (1,2){\text{ and }}(2,1).}$

Прямое произведение в универсальной алгебре

Если — фиксированная сигнатура , — произвольное (возможно бесконечное) множество индексов и — индексированное семейство алгебр , то прямое произведение — алгебра, определяемая следующим образом: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

• Формально универсум является декартовым произведением универсумов : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$ ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• Для каждого символа -арной операции его интерпретация в определяется покомпонентно, формально: для всех и каждого -й компонент определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).}$

Для каждой проекции y определяется как Это сюръективный гомоморфизм между алгебрами ^[4] ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(a)=a(i).}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.}$

В качестве особого случая, если индексный набор содержит прямое произведение двух алгебр , записанное как Если содержит только одну бинарную операцию, то получается приведенное выше определение прямого произведения групп, используя обозначение Аналогично сюда включается определение прямого произведения модулей. ${\displaystyle I=\{1,2\},}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$ ${\displaystyle f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .}$

Категориальный продукт

Прямое произведение может быть абстрагировано до произвольной категории . В категории, заданной набором объектов , индексированных множеством , произведение этих объектов является объектом вместе с морфизмами для всех , таким образом, что если есть любой другой объект с морфизмами для всех , то существует единственный морфизм , композиция которого с равными для каждого . Такие и не всегда существуют. Если они существуют, то является единственным с точностью до изоморфизма и обозначается . ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{i}\colon B\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B\to A}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (A,(p_{i})_{i\in I})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$

В частном случае категории групп произведение существует всегда: базовый набор — это декартово произведение базовых наборов , групповая операция — покомпонентное умножение, а (гомо)морфизм — это проекция, отправляющая каждый кортеж в его -ю координату. ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Внутренний и внешний прямой продукт

Некоторые авторы проводят различие между внутренним прямым произведением и внешним прямым произведением. Например, если и являются подгруппами аддитивной абелевой группы , такими, что и , то и мы говорим, что является внутренним прямым произведением и . Чтобы избежать двусмысленности, мы можем называть множество внешним прямым произведением и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A+B=G}$ ${\displaystyle A\cap B=\{0\}}$ ${\displaystyle A\times B\cong G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Смотрите также

• Прямая сумма  – операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты.
• Декартово произведение  – математическое множество, образованное из двух заданных множеств.
• Копроизведение  – Теоретико-категорийная конструкция
• Бесплатный продукт  – Операция, объединяющая группы
• Полупрямое произведение  – Операция в теории групп
• Произведение Заппы – Шепа  – математическая концепцияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Тензорное произведение графов  – Операция в теории графов
• Порядки на декартовом произведении полностью упорядоченных множеств  – Порядок, все элементы которого сравнимы

Примечания

1. Weisstein, Eric W. "Прямой продукт". mathworld.wolfram.com . Получено 10.02.2018 .
2. Weisstein, Eric W. "Group Direct Product". mathworld.wolfram.com . Получено 10.02.2018 .
3. «Эквивалентность и порядок» (PDF) .
4. Стэнли Н. Беррис и Х. П. Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Здесь: Def. 7.8, стр. 53 (стр. 67 в PDF) 

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556