Пустой набор

Математическое множество, не содержащее ни одного элемента

Пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента.

В математике пустое множество или недействительное множество — это уникальное множество , не имеющее элементов ; его размер или мощность (количество элементов в множестве) равны нулю . ^[1] Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют, что пустое множество существует, включая аксиому пустого множества , в то время как в других теориях его существование может быть выведено. Многие возможные свойства множеств являются бессмысленно истинными для пустого множества.

Любое множество, отличное от пустого, называется непустым.

В некоторых учебниках и популяризациях пустое множество именуется «нулевым множеством». ^[1] Однако нулевое множество — это отдельное понятие в контексте теории меры , в которой оно описывает множество меры нуль (которое не обязательно пусто).

Обозначение

Символ пустого множества

Обычные обозначения пустого множества включают "{ }", " " и "∅". Последние два символа были введены группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем ) в 1939 году, вдохновленной буквой Ø ( U+00D8 Ø ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА O С ШТРИХОМ ) в датском и норвежском алфавитах. ^[2] В прошлом "0" (цифра ноль ) иногда использовалось в качестве символа пустого множества, но теперь это считается неправильным использованием обозначения. ^[3] ${\displaystyle \emptyset }$

Символ ∅ доступен в точке Unicode U+2205 ∅ EMPTY SET . ^[4] Он может быть закодирован в HTML как и как или как . Он может быть закодирован в LaTeX как . Символ кодируется в LaTeX как . ∅∅∅\varnothing ${\displaystyle \emptyset }$\emptyset

При написании на таких языках, как датский и норвежский, где символ пустого набора можно спутать с буквой алфавита Ø (как при использовании символа в лингвистике), вместо него можно использовать символ Unicode U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰. ^[5]

Характеристики

В стандартной аксиоматической теории множеств , по принципу экстенсиональности , два множества равны, если они имеют одни и те же элементы (то есть ни одно из них не имеет элемента, которого нет в другом). В результате может быть только одно множество без элементов, отсюда и использование термина «пустое множество» вместо «пустое множество».

Единственное подмножество пустого множества — это само пустое множество; эквивалентно, множество мощности пустого множества — это множество, содержащее только пустое множество. Количество элементов пустого множества (т. е. его мощность ) равно нулю. Пустое множество — это единственное множество с любым из этих свойств.

Для любого множества А :

• Пустое множество является подмножеством A
• Объединение A с пустым множеством есть A
• Пересечение A с пустым множеством есть пустое множество .
• Декартово произведение A и пустого множества есть пустое множество .

Для любого свойства P :

• Для каждого элемента выполняется свойство P ( пустая истина ). ${\displaystyle \varnothing }$
• Не существует элемента, для которого выполняется свойство P. ${\displaystyle \varnothing }$

Наоборот, если для некоторого свойства P и некоторого множества V справедливы следующие два утверждения:

• Для каждого элемента V выполняется свойство P
• Не существует элемента V, для которого выполняется свойство P.

затем ${\displaystyle V=\varnothing .}$

По определению подмножества , пустое множество является подмножеством любого множества A . То есть, каждый элемент x из принадлежит A . Действительно, если бы было неверно, что каждый элемент из содержится в A , то был бы по крайней мере один элемент из , которого нет в A . Поскольку элементов из нет вообще, нет и элемента из , которого нет в A . Любое утверждение, которое начинается с «для каждого элемента из », не содержит никаких существенных утверждений; это пустая истина . Это часто перефразируют как «все верно для элементов пустого множества». ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

В обычном теоретико-множественном определении натуральных чисел ноль моделируется пустым множеством.

Операции над пустым множеством

Когда говорят о сумме элементов конечного множества, неизбежно приходим к соглашению, что сумма элементов пустого множества ( пустая сумма ) равна нулю. Причина этого в том, что ноль является тождественным элементом для сложения. Аналогично, произведение элементов пустого множества ( пустое произведение ) следует считать равным единице , поскольку единица является тождественным элементом для умножения. ^[6]

Расстройство — это перестановка множества без неподвижных точек . Пустое множество можно считать расстройством самого себя, поскольку оно имеет только одну перестановку ( ), и совершенно верно, что ни один элемент (пустого множества) не может быть найден, сохраняя свое первоначальное положение. ${\displaystyle 0!=1}$

В других областях математики

Расширенные действительные числа

Так как пустое множество не имеет члена, когда оно рассматривается как подмножество любого упорядоченного множества , каждый член этого множества будет верхней границей и нижней границей для пустого множества. Например, когда рассматривается как подмножество действительных чисел, с его обычным порядком, представленным линией действительных чисел , каждое действительное число является как верхней, так и нижней границей для пустого множества. ^[7] Когда рассматривается как подмножество расширенных действительных чисел, образованных путем добавления двух «чисел» или «точек» к действительным числам (а именно отрицательной бесконечности , обозначаемой , которая определяется как меньше, чем любое другое расширенное действительное число, и положительной бесконечности , обозначаемой , которая определяется как больше, чем любое другое расширенное действительное число), мы имеем, что: и ${\displaystyle -\infty \!\,,}$ ${\displaystyle +\infty \!\,,}$ $${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$ $${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

То есть наименьшая верхняя граница (sup или supremum ) пустого множества — отрицательная бесконечность, а наибольшая нижняя граница (inf или infimum ) — положительная бесконечность. По аналогии с вышеизложенным, в области расширенных вещественных чисел отрицательная бесконечность является единичным элементом для операторов максимума и супремума, а положительная бесконечность — единичным элементом для операторов минимума и инфимума.

Топология

В любом топологическом пространстве X пустое множество открыто по определению, как и X. Поскольку дополнение открытого множества замкнуто , а пустое множество и X являются дополнениями друг друга, пустое множество также замкнуто, что делает его открыто-замкнутым множеством . Более того, пустое множество компактно в силу того, что каждое конечное множество компактно.

Замыкание пустого множества пусто. Это известно как «сохранение нуль - объединений ».

Теория категорий

Если — множество, то существует ровно одна функция из в пустую функцию . В результате пустое множество является единственным исходным объектом категории множеств и функций. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle A,}$

Пустое множество можно превратить в топологическое пространство , называемое пустым пространством, только одним способом: определив пустое множество как открытое . Это пустое топологическое пространство является единственным исходным объектом в категории топологических пространств с непрерывными отображениями . Фактически, это строгий исходный объект : только пустое множество имеет функцию для пустого множества.

Теория множеств

В конструкции фон Неймана ординалов 0 определяется как пустое множество, а преемник ординала определяется как . Таким образом, мы имеем , , , и так далее. Конструкция фон Неймана вместе с аксиомой бесконечности , которая гарантирует существование по крайней мере одного бесконечного множества, может быть использована для построения множества натуральных чисел , такого, что аксиомы арифметики Пеано будут выполнены. ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$ ${\displaystyle 0=\varnothing }$ ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Под вопросом существование

Исторические вопросы

В контексте множеств действительных чисел Кантор использовал обозначение « не содержит ни одной точки». Эта нотация использовалась в определениях; например, Кантор определил два множества как непересекающиеся, если их пересечение не имеет точек; однако, спорно, рассматривал ли Кантор множество как существующее множество само по себе, или же Кантор просто использовал его как предикат пустоты. Цермело принимал себя как множество, но считал его «несобственным множеством». ^[8] ${\displaystyle P\equiv O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$

Аксиоматическая теория множеств

В теории множеств Цермело существование пустого множества гарантируется аксиомой пустого множества , а его единственность следует из аксиомы экстенсиональности . Однако аксиому пустого множества можно показать избыточной по крайней мере двумя способами:

• Стандартная логика первого порядка подразумевает, просто из логических аксиом , что нечто существует, и на языке теории множеств эта вещь должна быть множеством. Теперь существование пустого множества легко следует из аксиомы разделения .
• Даже используя свободную логику (которая логически не подразумевает, что что-то существует), уже существует аксиома, подразумевающая существование по крайней мере одного множества, а именно аксиома бесконечности .

Философские вопросы

Хотя пустое множество является стандартным и широко принятым математическим понятием, оно остается онтологической диковинкой, значение и полезность которой обсуждаются философами и логиками.

Пустое множество — это не то же самое, что и ничто ; скорее, это множество, в котором ничего нет, а множество — это всегда что-то . Эту проблему можно преодолеть, рассматривая множество как мешок — пустой мешок, несомненно, все еще существует. Дарлинг (2004) объясняет, что пустое множество — это не ничто, а скорее «множество всех треугольников с четырьмя сторонами, множество всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и множество всех начальных ходов в шахматах , в которых участвует король ». ^[9]

Популярный силлогизм

Нет ничего лучше вечного счастья; бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего; поэтому бутерброд с ветчиной лучше вечного счастья.

часто используется для демонстрации философской связи между концепцией ничто и пустым множеством. Дарлинг пишет, что контраст можно увидеть, переписав утверждения «Ничто не лучше вечного счастья» и «[Сэндвич] с ветчиной лучше, чем ничего» в математическом тоне. По мнению Дарлинга, первое эквивалентно «Множество всех вещей, которые лучше вечного счастья, есть », а второе — «Множество {сэндвич с ветчиной} лучше множества ». Первое сравнивает элементы множеств, тогда как второе сравнивает сами множества. ^[9] ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Джонатан Лоу утверждает, что в то время как пустое множество

несомненно, была важной вехой в истории математики, … мы не должны предполагать, что ее полезность в вычислениях зависит от того, что она фактически обозначает какой-то объект.

также имеет место следующее:

«Все, что нам когда-либо сообщалось о пустом множестве, это то, что оно (1) является множеством, (2) не имеет членов и (3) является уникальным среди множеств, поскольку не имеет членов. Однако существует очень много вещей, которые «не имеют членов» в теоретико-множественном смысле, а именно, все не-множества. Совершенно ясно, почему эти вещи не имеют членов, поскольку они не являются множествами. Неясно, как может существовать, уникальное среди множеств, множество , не имеющее членов. Мы не можем вызвать такую ​​сущность к существованию простым условием». ^[10]

Джордж Булос утверждал, что многое из того, что было получено до сих пор теорией множеств, можно так же легко получить с помощью множественной квантификации по индивидам, без овеществления множеств как единичных сущностей, имеющих другие сущности в качестве членов. ^[11]

Смотрите также

•  – ЧислоСтраницы с краткими описаниями без пробелов
• Обитаемое множество  – свойство множеств, используемое в конструктивной математике.
• Ничего  – Полное отсутствие чего-либо; противоположность всему
• Power set  – Математическое множество, содержащее все подмножества заданного множества.

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Empty Set". mathworld.wolfram.com . Получено 11 августа 2020 г.
2. «Ранние примеры использования символов теории множеств и логики».
3. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 300. ISBN 007054235X.
4. «Стандарт Unicode 5.2» (PDF) .
5. например, Нина Грённум (2005, 2013) Фонетика и фонология: Almen og dansk. Академик форлаг, Копенгаген.
6. Дэвид М. Блум (1979). Линейная алгебра и геометрия . С. 45. ISBN 0521293243.
7. Брукнер, AN, Брукнер, JB и Томсон, BS (2008). Элементарный вещественный анализ , 2-е издание, стр. 9.
8. А. Канамори, «Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара», стр. 275. Бюллетень символической логики, т. 9, № 3 (2003). Доступ 21 августа 2023 г.
9. DJ Darling (2004). Универсальная книга математики . John Wiley and Sons . стр. 106. ISBN 0-471-27047-4.
10. EJ Lowe (2005). Локк . Раутледж . стр. 87.
11. Джордж Булос (1984), «Быть ​​— значит быть значением переменной», The Journal of Philosophy 91: 430–49. Переиздано в 1998 году, Logic, Logic and Logic ( редакторы Ричард Джеффри и Берджесс, Дж.) Harvard University Press , 54–72.

Дальнейшее чтение

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Грэм, Малкольм (1975). Современная элементарная математика (2-е изд.). Харкорт Брейс Йованович . ISBN 0155610392.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пустое множество». MathWorld .