Окольцованное пространство

Связка колец в математике

В математике кольчатое пространство — это семейство ( коммутативных ) колец, параметризованных открытыми подмножествами топологического пространства вместе с кольцевыми гомоморфизмами , которые играют роль ограничений . Точнее, это топологическое пространство, снабженное пучком колец , называемым структурным пучком . Это абстракция концепции колец непрерывных (скалярнозначных) функций на открытых подмножествах.

Среди окольцованных пространств особенно важным и заметным является локально окольцованное пространство : окольцованное пространство, в котором справедлива аналогия между стеблем в точке и кольцом ростков функций в точке.

Окольцованные пространства появляются в анализе, а также в комплексной алгебраической геометрии и теории схем алгебраической геометрии .

Примечание : В определении окольцованного пространства большинство изложений , включая Хартсхорна и Википедию, склонны ограничивать кольца коммутативными кольцами . С другой стороны, «Элементы алгебраической геометрии» ^{не навязывают предположение коммутативности, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай. [1]}

Определения

Окольцованное пространство — это топологическое пространство вместе с пучком колец на . Пучок называется структурным пучком . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Локально окольцованное пространство — это окольцованное пространство , в котором все стебли являются локальными кольцами ( т.е. имеют уникальные максимальные идеалы ). Обратите внимание, что не требуется , чтобы было локальным кольцом для каждого открытого множества ; на самом деле, это почти никогда не так. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Примеры

Произвольное топологическое пространство можно считать локально окольцованным пространством, взяв в качестве пучка действительнозначных (или комплекснозначных ) непрерывных функций на открытых подмножествах . Стебель в точке можно рассматривать как множество всех ростков непрерывных функций в ; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из тех ростков, значение которых в равно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Если — многообразие с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять пучок дифференцируемых , или голоморфных функций. Оба они порождают локально окольцованные пространства. ${\displaystyle X}$

Если — алгебраическое многообразие, несущее топологию Зарисского , мы можем определить локально окольцованное пространство, взяв в качестве кольцо рациональных отображений, определенных на открытом по Зарисскому множестве , которые не взрываются (не становятся бесконечными) в пределах . Важным обобщением этого примера является обобщение спектра любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально окольцованными пространствами. Схемы — это локально окольцованные пространства, полученные «склеиванием» спектров коммутативных колец. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Морфизмы

Морфизм из в — это пара , где — непрерывное отображение между лежащими в основе топологическими пространствами, а — морфизм из структурного пучка в прямой образ структурного пучка X . Другими словами, морфизм из в задается следующими данными: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ ${\displaystyle (f,\varphi )}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

• непрерывная карта ${\displaystyle f:X\to Y}$
• семейство кольцевых гомоморфизмов для каждого открытого множества , которые коммутируют с отображениями ограничений. То есть, если — два открытых подмножества , то следующая диаграмма должна коммутировать (вертикальные отображения — это гомоморфизмы ограничений): ${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Существует дополнительное требование к морфизмам между локально окольцованными пространствами:

• кольцевые гомоморфизмы, индуцированные между стеблями и стеблями, должны быть локальными гомоморфизмами , т.е. для каждого максимальный идеал локального кольца (стебля) в точке отображается в максимальный идеал локального кольца в точке . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

Два морфизма можно скомпоновать, чтобы сформировать новый морфизм, и мы получим категорию окольцованных пространств и категорию локально окольцованных пространств. Изоморфизмы в этих категориях определяются как обычно.

Касательные пространства

Локально окольцованные пространства имеют как раз достаточную структуру, чтобы позволить осмысленное определение касательных пространств . Пусть будет локально окольцованным пространством со структурным пучком ; мы хотим определить касательное пространство в точке . Возьмем локальное кольцо (стебель) в точке с максимальным идеалом . Тогда является полем и является векторным пространством над этим полем ( котасательное пространство ). Касательное пространство определяется как двойственное к этому векторному пространству. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$

Идея заключается в следующем: касательный вектор в должен подсказать вам, как «дифференцировать» «функции» в , т.е. элементы . Теперь достаточно знать, как дифференцировать функции, значение которых в равно нулю, поскольку все остальные функции отличаются от них только константой, а мы знаем, как дифференцировать константы. Поэтому нам нужно рассмотреть только . Более того, если даны две функции со значением ноль в , то их произведение имеет производную 0 в , по правилу произведения . Поэтому нам нужно знать только, как назначать «числа» элементам , и это то, что делает двойственное пространство. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$

Модули над структурным пучком

Если задано локально окольцованное пространство , то в приложениях встречаются некоторые пучки модулей на , -модули. Чтобы определить их, рассмотрим пучок F абелевых групп на . Если F ( U ) является модулем над кольцом для каждого открытого множества в , а отображения ограничений совместимы со структурой модуля, то мы называем -модулем . В этом случае стебель в будет модулем над локальным кольцом (стеблем) , для каждого . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Морфизм между двумя такими -модулями - это морфизм пучков , совместимый с заданными модульными структурами. Категория -модулей над фиксированным локально окольцованным пространством - это абелева категория . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Важной подкатегорией категории -модулей является категория квазикогерентных пучков на . Пучок -модулей называется квазикогерентным, если он локально изоморфен коядру отображения между свободными -модулями. Когерентный пучок — это квазикогерентный пучок, который локально имеет конечный тип и для любого открытого подмножества ядра любого морфизма из свободного -модуля конечного ранга в также имеет конечный тип. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle F_{U}}$

Цитаты

1. Элементы алгебраической геометрии , Глава 0, 4.1.1.

Ссылки

• Раздел 0.4 Гротендика, Александра ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157

Внешние ссылки

• Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Окольцованное пространство", Энциклопедия математики , Издательство EMS