Измерение окружности или измерение окружности ( греч . Κύκλου μέτρησις , Kuklou metrēsis ) [1] — трактат , состоящий из трёх положений, вероятно, выдвинутый Архимедом около 250 г. до н. э. [2] [3] Трактат представляет собой лишь часть более объёмного труда. [4] [5]
Предложение первое гласит: Площадь любого круга равна площади прямоугольного треугольника, в котором одна из сторон относительно прямого угла равна радиусу, а другая - длине окружности круга. Любой круг с окружностью c и радиусом r равен по площади прямоугольному треугольнику с двумя катетами c и r . Это предложение доказывается методом исчерпывания . [6]
Предложение два гласит:
Площадь круга относится к квадрату его диаметра как 11 к 14.
Это предложение не могло быть выдвинуто Архимедом, поскольку оно опирается на результат третьего предложения. [6]
Предложение три гласит:
Отношение длины окружности к ее диаметру больше , но меньше .
Это приближает то, что мы сейчас называем математической константой π . Он нашел эти границы для значения π, вписав и описав окружность двумя подобными 96-сторонними правильными многоугольниками . [7]
Это предложение также содержит точные приближения к квадратному корню из 3 (один больший и один меньший) и другим большим несовершенным квадратным корням ; однако Архимед не дает объяснения того, как он нашел эти числа. [5] Он дает верхнюю и нижнюю границы для √ 3 как 1351/780 > √ 3 > 265/153 . [6] Однако эти границы известны из изучения уравнения Пелля и конвергентов связанной непрерывной дроби , что приводит к многочисленным предположениям о том, какая часть этой теории чисел могла быть доступна Архимеду. Обсуждение этого подхода восходит по крайней мере к Томасу Фанте де Ланьи , FRS (ср. Chronology of computing of π ) в 1723 году, но было рассмотрено более явно Иеронимом Георгом Цойтеном . В начале 1880-х годов Фридрих Отто Хульч (1833–1906) и Карл Генрих Хунрат (р. 1847) отметили, как границы можно быстро найти с помощью простых биномиальных границ на квадратных корнях, близких к полному квадрату, смоделированных на Элементах II.4, 7; этот метод предпочитает Томас Литтл Хит . Хотя упоминается только один путь к границам, на самом деле есть два других, что делает границы почти неизбежными, как бы ни работал метод. Но границы также могут быть получены итеративным геометрическим построением, предложенным Стомахионом Архимеда в контексте правильного двенадцатиугольника. В этом случае задача состоит в том, чтобы дать рациональные приближения к тангенсу π/12.
Измерение
окружности
было написано Архимедом (ок. 250 г. до н. э.)
Большинство отчетов о работах Архимеда относят это сочинение к относительно позднему времени его карьеры. Но эта точка зрения является следствием простого недоразумения.
