Уравнение Пелла

Тип диофантова уравнения

Уравнение Пелла для n  = 2 и шесть его целочисленных решений

Уравнение Пелла , также называемое уравнением Пелла-Ферма , представляет собой любое диофантово уравнение вида , где n — заданное положительное неквадратное целое число , а для x и y ищутся целочисленные решения . В декартовых координатах уравнение представляется гиперболой ; решения возникают везде, где кривая проходит через точку, координаты x и y которой являются целыми числами, например, тривиальное решение с x  = 1 и y  = 0. Жозеф Луи Лагранж доказал, что, пока n не является идеальным квадратом , уравнение Пелла имеет бесконечно много различных целочисленных решений. Эти решения можно использовать для точного приближения квадратного корня из  n рациональными числами формы  x / y . ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,}$

Это уравнение было впервые широко изучено в Индии , начиная с Брахмагупты , ^[1] который нашел целочисленное решение в своей «Брахмаспхутасиддханте» около 628 года. ^[2] Бхаскара II в 12 веке и Нараяна Пандит в 14 веке оба нашли общие решения уравнения Пелла. и другие квадратные неопределенные уравнения. Бхаскаре II обычно приписывают разработку метода чакравалы , основанного на работах Джаядевы и Брахмагупты. Решения конкретных примеров уравнения Пелла, такие как числа Пелла , возникающие из уравнения с n  = 2, были известны гораздо дольше, со времен Пифагора в Греции и аналогичного времени в Индии. Уильям Браункер был первым европейцем, решившим уравнение Пелла. Название уравнения Пелла возникло из-за того, что Леонард Эйлер ошибочно приписал решение уравнения Брункера Джону Пеллу . ^{[3] [4] [примечание 1]} ${\displaystyle 92x^{2}+1=y^{2}}$

История

Еще в 400 г. до н. э. в Индии и Греции математики изучали числа, возникающие из случая n  = 2 уравнения Пелла:

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

и из тесно связанного уравнения

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$

из-за связи этих уравнений с квадратным корнем из 2 . ^[5] Действительно, если x и y — положительные целые числа, удовлетворяющие этому уравнению, то x / y — аппроксимация √ 2 . Числа x и y , входящие в эти приближения, называемые числами сторон и диаметров , были известны пифагорейцам , и Прокл заметил, что в противоположном направлении эти числа подчиняются одному из этих двух уравнений. ^[5] Точно так же Баудхаяна обнаружил, что x = 17, y = 12 и x = 577, y = 408 являются двумя решениями уравнения Пелля, и что 17/12 и 577/408 являются очень близкими приближениями к квадратному корню из 2. ^[6 ]

Позже Архимед аппроксимировал квадратный корень из 3 рациональным числом 1351/780. Хотя он и не объяснил свои методы, это приближение можно получить таким же образом, как и решение уравнения Пелла. ^[5] Точно так же задача Архимеда о скоте — древняя словесная задача о нахождении поголовья скота, принадлежащего богу Солнца Гелиосу , — может быть решена, переформулировав ее в виде уравнения Пелла. В рукописи, содержащей задачу , говорится, что она была изобретена Архимедом и записана в письме к Эратосфену ^[7] , а приписывание Архимеду сегодня общепринято. ^{[8] [9]}

Около 250 г. н.э. Диофант рассмотрел уравнение

${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$

где a и c — фиксированные числа, а x и y — переменные, которые необходимо решить. Это уравнение отличается по форме от уравнения Пелла, но эквивалентно ему. Диофант решил уравнение для ( a ,  c ), равное (1, 1), (1, −1), (1, 12) и (3, 9). Аль-Караджи , персидский математик X века, работал над теми же задачами, что и Диофант. ^[10]

В индийской математике Брахмагупта обнаружил, что

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

форма того, что сейчас известно как личность Брахмагупты . Используя это, он смог «составить» тройки , которые были решениями , для генерации новых троек. ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$ ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$и ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}$

Это не только давало возможность генерировать бесконечное количество решений, начиная с одного решения, но также, разделив такую ​​композицию на , часто можно было получить целые или «почти целые» решения. Например, для , Брахмагупта составил тройку (10, 1, 8) (поскольку ) с самим собой, чтобы получить новую тройку (192, 20, 64). Деление на 64 («8» для и ) дало тройку (24, 5/2, 1), которая при составлении сама с собой дала желаемое целочисленное решение (1151, 120, 1). Брахмагупта решил многие уравнения Пелла с помощью этого метода, доказав, что он дает решения, начиная с целочисленного решения для k = ±1, ±2 или ±4. ^[11] ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle N=92}$ ${\displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

Первый общий метод решения уравнения Пелла (для всех N ) был дан Бхаскара II в 1150 году, расширив методы Брахмагупты. Названный методом чакравалы (циклический) , он начинается с выбора двух относительно простых целых чисел и , затем составления тройки (то есть той, которая удовлетворяет ) с тривиальной тройкой , чтобы получить тройку , которую можно масштабировать до ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b,k)}$ ${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$ ${\displaystyle {\big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){\big )}}$

${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$

Если выбрано так, что оно является целым числом, то же самое происходит и с двумя другими числами в тройке. Среди таких метод выбирает тот, который минимизирует и повторяет процесс. Этот метод всегда заканчивается решением. Бхаскара использовал его, чтобы получить решение x  =  ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$1 766 319 049 , у  = 226 153 980 для случая N  = 61. ^[11]

Несколько европейских математиков заново открыли, как решать уравнение Пелла в 17 веке. Пьер де Ферма нашел, как решить это уравнение, и в письме 1657 года бросил его как вызов английским математикам. ^[12] В письме Кенельму Дигби Бернар Френикль де Бесси сказал , что Ферма нашел наименьшее решение для N до 150, и предложил Джону Уоллису решить случаи N = 151 или 313. И Уоллис, и Уильям Браункер дали решения этих проблем. , хотя Уоллис в письме предполагает, что решение было принято Браункером. ^[13]

Связь Джона Пелла с уравнением заключается в том, что он переработал перевод Томаса Бранкера ^[14] книги Иоганна Рана «Немецкая алгебра» 1659 года ^{[примечание 2]} на английский язык с обсуждением решения уравнения, предложенного Брункером. Леонард Эйлер ошибочно подумал, что это решение принадлежит Пеллу, в результате чего назвал уравнение в честь Пелла. ^[4]

Общая теория уравнения Пелла, основанная на цепных дробях и алгебраических манипуляциях с числами вида, была разработана Лагранжем в 1766–1769 годах. ^[15] В частности, Лагранж дал доказательство того, что алгоритм Броункера-Уоллиса всегда завершается. ${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}},}$

Решения

Фундаментальное решение с помощью цепных дробей

Обозначим через последовательность подходящих к правильной цепной дроби для . Эта последовательность уникальна. Тогда пара натуральных чисел, решающая уравнение Пелла и минимизирующая x, удовлетворяет условиям x ₁ = h _i и y ₁ = k _i для некоторого i . Эта пара называется фундаментальным решением . Последовательность целых чисел в регулярной цепной дроби всегда в конечном счете периодична. Его можно записать в виде , где – периодическая часть, повторяющаяся бесконечно. Более того, кортеж является палиндромным . Слева направо оно читается одинаково, как и справа налево. ^[16] Тогда фундаментальное решение ${\displaystyle h_{i}/k_{i}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \left[\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ;{\overline {a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }}\right]}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})={\begin{cases}(h_{p-1},k_{p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ even}}\\(h_{2p-1},k_{2p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ odd}}\end{cases}}}$

Время нахождения фундаментального решения методом цепной дроби с помощью алгоритма быстрого целочисленного умножения Шенхаге–Штрассена находится в пределах логарифмического коэффициента размера решения – количества цифр в паре . Однако это не алгоритм с полиномиальным временем , поскольку количество цифр в решении может достигать √ n , что намного больше, чем полином от количества цифр во входном значении n . ^[17] ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

Дополнительные решения из основного решения

После того как фундаментальное решение найдено, все оставшиеся решения можно вычислить алгебраически из ^[17]

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},}$

расширяя правую часть, приравнивая коэффициенты с обеих сторон и приравнивая остальные члены с обеих сторон. Это дает рекуррентные соотношения ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

${\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$

${\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$

Краткое представление и более быстрые алгоритмы

Хотя запись фундаментального решения ( x ₁ , y ₁ ) в виде пары двоичных чисел может потребовать большого количества битов, во многих случаях его можно представить более компактно в виде

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}}$

используя гораздо меньшие целые числа a _i , b _i и c _i .

Например, задача Архимеда о скоте эквивалентна уравнению Пелля , фундаментальное решение которого имеет ${\displaystyle x^{2}-410\,286\,423\,278\,424y^{2}=1}$206 545 цифр, если записано явно. Однако решение также равно

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},}$

где

${\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4\,729\,494}}=(300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}})^{2}}$

и и имеют только 45 и 41 десятичную цифру соответственно. ^[17] ${\displaystyle x'_{1}}$ ${\displaystyle y'_{1}}$

Методы, связанные с подходом квадратичного решета для факторизации целых чисел , могут использоваться для сбора отношений между простыми числами в числовом поле, генерируемом √ n , и объединения этих отношений для поиска представления произведения этого типа. Полученный алгоритм решения уравнения Пелла более эффективен, чем метод цепной дроби, хотя он все равно занимает больше, чем полиномиальное время. Можно показать, что в предположении обобщенной гипотезы Римана это займет время

${\displaystyle \exp O({\sqrt {\log N\log \log N}}),}$

где N  = log  n — входной размер, аналогично квадратичному решету. ^[17]

Квантовые алгоритмы

Холлгрен показал, что квантовый компьютер может найти представление произведения, как описано выше, для решения уравнения Пелла за полиномиальное время. ^[18] Алгоритм Халлгрена, который можно интерпретировать как алгоритм поиска группы единиц поля действительных квадратичных чисел , был распространен на более общие поля Шмидтом и Фёлльмером. ^[19]

Пример

В качестве примера рассмотрим пример уравнения Пелла для n = 7; то есть,

${\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$

Цепная дробь имеет вид . Поскольку период имеет длину , которая является четным числом, подходящая дробь, дающая фундаментальное решение, получается путем усечения цепной дроби прямо перед концом первого появления периода: . ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle [2;{\overline {1,1,1,4}}]}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle [2,1,1,1]={\frac {8}{3}}}$

Последовательность подходящих чисел для квадратного корня из семи:

Применение рекуррентной формулы к этому решению порождает бесконечную последовательность решений

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (последовательность A001081 ( x ) и A001080 ( y ) в OEIS )

Для уравнения Пелла

${\displaystyle x^{2}-13y^{2}=1.}$

непрерывная дробь имеет период нечетной длины. Для этого фундаментальное решение получается путем усечения цепной дроби непосредственно перед вторым появлением периода . Таким образом, фундаментальное решение . ${\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;{\overline {1,1,1,1,6}}]}$ ${\displaystyle [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1]={\frac {649}{180}}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(649,180)}$

Самое маленькое решение может быть очень большим. Например, наименьшее решение есть ( ${\displaystyle x^{2}-313y^{2}=1}$32 188 120 829 134 849 , 1 819 380 158 564 160 ), и это уравнение, которое Френикл предложил Уоллису решить. ^[20] Значения n , при которых наименьшее решение больше, чем наименьшее решение для любого меньшего значения n , равны ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (последовательность A033316 в OEIS ).

(Эти записи см. в OEIS : A033315 для x и OEIS : A033319 для y .)

Список фундаментальных решений уравнений Пелла

Ниже приводится список фундаментальных решений задачи с n ≤ 128. Когда n — целое число в квадрате, не существует решения, кроме тривиального решения (1, 0). Значения x — это последовательность A002350, а значения y — это последовательность A002349 в OEIS . ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

Соединения

Уравнение Пелла связано с несколькими другими важными предметами математики.

Алгебраическая теория чисел

Уравнение Пелла тесно связано с теорией алгебраических чисел , так как формула

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})}$

является нормой для кольца и тесно связанного с ним квадратичного поля . Таким образом, пара целых чисел решает уравнение Пелла тогда и только тогда, когда является единицей с нормой 1 в . ^[21] Теорема Дирихле о единице , согласно которой все единицы могут быть выражены как степени одной фундаментальной единицы (и умножения на знак), представляет собой алгебраическое подтверждение того факта, что все решения уравнения Пелля могут быть получены из фундаментального решения. . ^[22] Фундаментальную единицу, как правило, можно найти, решив уравнение типа Пелля, но она не всегда напрямую соответствует фундаментальному решению самого уравнения Пелля, поскольку фундаментальная единица может иметь норму -1, а не 1, и ее коэффициенты могут быть полуцелыми, а не целыми числами. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$

Полиномы Чебышева

Демейер упоминает связь между уравнением Пелла и полиномами Чебышева : Если и являются полиномами Чебышева первого и второго рода соответственно, то эти полиномы удовлетворяют форме уравнения Пелля в любом кольце полиномов с : ^[23] ${\displaystyle T_{i}(x)}$ ${\displaystyle U_{i}(x)}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle n=x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}$

Таким образом, эти полиномы могут быть получены стандартным для уравнений Пелля методом возведения степеней фундаментального решения:

${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}$

Далее можно заметить, что если являются решениями любого целочисленного уравнения Пелля, то и . ^[24] ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=T_{i}(x_{1})}$ ${\displaystyle y_{i}=y_{1}U_{i-1}(x_{1})}$

Непрерывные дроби

Можно представить общее развитие решений уравнения Пелля в терминах цепных дробей , поскольку решения x и y приближаются к квадратному корню из n и, таким образом, являются частным случаем аппроксимации цепных дробей для квадратичных иррациональных чисел . ^[16] ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Связь с цепными дробями подразумевает, что решения уравнения Пелла образуют полугрупповое подмножество модулярной группы . Так, например, если p и q удовлетворяют уравнению Пелля, то

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}}$

представляет собой матрицу единичного определителя . Произведения таких матриц имеют одинаковую форму, и, таким образом, все такие произведения дают решения уравнения Пелля. Частично это можно понять как результат того факта, что последовательные подходящие дроби цепной дроби обладают одним и тем же свойством: если p _{k −1} / q _{k −1} и p _k / q _k являются двумя последовательными подходящими дробями цепной дроби, то матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}}$

имеет определитель (−1) ^k .

Гладкие числа

Теорема Стёрмера применяет уравнения Пелла для поиска пар последовательных гладких чисел — натуральных чисел, все простые множители которых меньше заданного значения. ^{[25] [26]} В рамках этой теории Стормер также исследовал отношения делимости среди решений уравнения Пелла; в частности, он показал, что каждое решение, кроме фундаментального, имеет простой делитель , который не делит  n . ^[25]

Отрицательное уравнение Пелла

Отрицательное уравнение Пелла имеет вид

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}$

и также тщательно изучается. Ее можно решить тем же методом цепных дробей, и она имеет решения тогда и только тогда, когда период цепной дроби имеет нечетную длину. Однако неизвестно, какие корни имеют нечетную длину периода, и, следовательно, неизвестно, разрешимо ли отрицательное уравнение Пелля. Необходимым (но не достаточным) условием разрешимости является то, что n не делится на 4 или на простое число вида 4 k  + 3. ^{[примечание 3]} Так, например, x ²  − 3 ny ²  = −1 никогда не является разрешимой. , но может быть x ²  − 5 ny ²  = −1. ^[27]

Первые несколько чисел n , для которых  разрешимо x ²  −  ny ^{2 = −1, таковы:}

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (последовательность A031396 в ОЭИС ).

Позволять . Доля n без квадратов , делящихся на k простых чисел вида 4 m  + 1, для которых разрешимо отрицательное уравнение Пелля, равна не менее α . ^[28] Когда количество простых делителей не фиксировано, пропорция определяется как 1 -  α. ^{[29] [30]} ${\displaystyle \alpha =\Pi _{j{\text{ is odd}}}(1-2^{j})}$

Если отрицательное уравнение Пелля действительно имеет решение для определенного n , его фундаментальное решение приводит к фундаментальному решению для положительного случая путем возведения в квадрат обеих частей определяющего уравнения:

${\displaystyle (x^{2}-ny^{2})^{2}=(-1)^{2}}$

подразумевает

${\displaystyle (x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.}$

Как говорилось выше, если отрицательное уравнение Пелля разрешимо, то решение можно найти методом цепных дробей, как и в положительном уравнении Пелля. Однако отношение рекурсии работает немного по-другому. Поскольку , следующее решение определяется с точки зрения того, когда есть совпадение, то есть когда нечетно. Результирующее рекурсивное соотношение (по модулю знака минус, который несущественен из-за квадратичного характера уравнения) ${\displaystyle (x+{\sqrt {n}}y)(x-{\sqrt {n}}y)=-1}$ ${\displaystyle i(x_{k}+{\sqrt {n}}y_{k})=(i(x+{\sqrt {n}}y))^{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-2}x_{1}^{2}+nx_{k-2}y_{1}^{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1},}$

${\displaystyle y_{k}=y_{k-2}x_{1}^{2}+ny_{k-2}y_{1}^{2}+2x_{k-2}y_{1}x_{1},}$

что дает бесконечную башню решений отрицательного уравнения Пелля.

Обобщенное уравнение Пелла

Уравнение

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$

называется обобщенным ^{[ нужна цитация ]} (или общим ^[16] ) уравнением Пелля . Уравнение является соответствующей резольвентой Пелля . ^[16] Рекурсивный алгоритм был предложен Лагранжем в 1768 году для решения уравнения, сводящего задачу к случаю . ^{[31] [32]} Такие решения могут быть получены с использованием метода цепных дробей, как описано выше. ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ ${\displaystyle |N|<{\sqrt {d}}}$

Если является решением и является решением тогда такое, что является решением принципа, называемого мультипликативным принципом . ^[16] Решение называется кратным Пела решения . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N,}$ ${\displaystyle (u_{n},v_{n})}$ ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1,}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}={\big (}x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}}{\big )}{\big (}u_{n}+v_{n}{\sqrt {d}}{\big )}}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Существует конечный набор решений такой , что каждое решение является кратным Пеллу решения из этого набора. В частности, если – фундаментальное решение , то каждое решение уравнения является кратным Пела решения с и , где . ^[33] ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/2}$ ${\displaystyle |y|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/{\big (}2{\sqrt {d}}{\big )}}$ ${\displaystyle U=u+v{\sqrt {d}}}$

Если x и y являются положительными целочисленными решениями уравнения Пелла с , то является сходящейся к непрерывной дроби . ^[33] ${\displaystyle |N|<{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle x/y}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

Решения обобщенного уравнения Пелля используются для решения некоторых диофантовых уравнений и единиц некоторых колец ^{[34] [35]} и возникают при изучении SIC-POVM в квантовой теории информации . ^[36]

Уравнение

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$

аналогично резольвенте в том, что если можно найти минимальное решение , то все решения уравнения могут быть сгенерированы аналогично случаю . Наверняка решения для могут быть сгенерированы из решений с , в том смысле, что если тогда каждое третье решение имеет четное значение, порождающее решение для . ^[16] ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle d\equiv 5{\pmod {8}},}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$

Примечания

1. В Vollständige Anleitung zur Algebra Эйлера (стр. 227 и далее) он представляет решение уравнения Пелла, которое было взято из Commercium epistolicum Джона Уоллиса , в частности, Письма 17 ( Epistola XVII ) и Письма 19 ( Epistola XIX ) из:
   • Уоллис, Джон, изд. (1658). Commercium epistolicum, de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper Habitum [ Переписка о некоторых недавно предпринятых математических исследованиях ] (на английском, латинском и французском языках). Оксфорд, Англия: А. Личфилд.Буквы написаны латиницей. Письмо 17 появляется на стр. 56–72. Письмо 19 появляется на стр. 81–91.
   • Французские переводы писем Уоллиса: Ферма, Пьер де (1896). Таннери, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). Том. 3. Париж, Франция: Готье-Виллар и др.Письмо 17 появляется на стр. 457–480. Письмо 19 появляется на стр. 490–503.
   Письма Уоллиса, показывающие решение уравнения Пелла, также появляются во втором томе « Математической оперы » Уоллиса (1693 г.), который включает статьи Джона Пелла:
   • Уоллис, Джон (1693). Математическая опера: Трактат по алгебре; Historicus & Practicus [ Математические труды: Трактат по алгебре; исторический и практикуемый в настоящее время ] (на латыни, английском и французском языках). Том. 2. Оксфорд, Англия.Письмо 17 находится на стр. 789–798; письмо 19 находится на стр. 802–806. См. также статьи Пелла, где Уоллис упоминает (стр. 235, 236, 244), что методы Пелла применимы к решению диофантовых уравнений:

   • Де Алгебра Д. Йоханнис Пелли; & speciatim de Issueatis Perfecte Determinatis (Об алгебре доктора Джона Пелла и особенно о не полностью определенной проблеме), стр. 234–236.
   • Methodi Pellianae Specimen (Пример метода Пелла), стр. 238–244.
   • Образец aliud Methodi Pellianae (Еще один пример метода Пелла), стр. 244–246.

   Смотрите также:
   • Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912) «Уравнение Пелла», докторская диссертация, Колумбийский университет (Нью-Йорк, Нью-Йорк, США), с. 52.
   • Хит, Томас Л. (1910). Диофант Александрийский: Исследование по истории греческой алгебры. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 286.
2. Teutsch — устаревшая форма Deutsch , что означает «немецкий». Бесплатная электронная книга: Немецкая алгебра в Google Книгах.
3. Это связано с тем, что уравнение Пелля подразумевает, что −1 является квадратичным вычетом по модулю n .

Рекомендации

1. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (февраль 2002 г.). «Уравнение Пелла». Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 13 июля 2020 г.
2. Данэм, Уильям. «Теория чисел – Теория чисел на Востоке». Британская энциклопедия . Проверено 4 января 2020 г.
3. Еще в 1732–1733 годах Эйлер считал, что Джон Пелл разработал метод решения уравнения Пелла, хотя Эйлер знал, что Уоллис разработал метод для его решения (хотя на самом деле Уильям Браункер проделал большую часть работы):
   • Эйлер, Леонард (1732–1733). «О решении диофантовых задач целыми числами». Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Воспоминания об Императорской Академии наук в Санкт-Петербурге) (на латыни). 6 : 175–188. Из стр. 182: «At si a huiusmodi fuerit numerus, qui nullo modo ad illas Formulas potest reduci, uniqueis ad invenienda p et q adhibenda est Methodus, qua olim iam usi sunt Pellius et Fermatius ». (Но если такое a — число, которое никак нельзя свести к этим формулам, то применяется особый метод нахождения p и q , который уже некоторое время используют Пелл и Ферма .) Из p. 183: «§. 19. Methodus haec extat descripta in operibus Wallisii , et hanc ob rem eam hic fusius non-expono». (§ 19. Этот метод существует, описанный в работах Уоллиса, и по этой причине я не привожу его здесь более подробно.)
   • Письмо IX. Эйлер а Гольдбах, от 10 августа 1750 г. в: Fuss, PH, ed. (1843). Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle ... [ Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров 18 века ... ] (на французском, латинском и немецком языках). Санкт-Петербург, Россия. п. 37. Со страницы 37: «Pro hujusmodi quaestionibussolvendis excogitavit D. Pell Anglus uniquemmethodum in Wallisiioperibus expositam». (Для решения таких вопросов англичанин доктор Пелл изобрел своеобразный метод, [который] показан в работах Уоллиса.)
   • Эйлер, Леонард (1771). Vollständige Anleitung zur Algebra, II. Тейл [ Полное введение в алгебру, часть 2 ] (на немецком языке). Kayserlichen Akademie der Wissenschaften (Императорская Академия наук): Санкт-Петербург, Россия. п. 227.Из стр. 227: «§98. Hierzu Hat vormals ein gelehrter Engländer, Namens Pell, eine ganz sinnreiche Methode erfunden, welche wir hier erklären wollen». (§ 98. По этому поводу ученый англичанин по имени Пелл ранее нашел весьма остроумный метод, который мы здесь объясним.)
   • Английский перевод: Эйлер, Леонард (1810). Элементы алгебры... Том. 2 (2-е изд.). Лондон, Англия: Дж. Джонсон. п. 78.
   • Хит, Томас Л. (1910). Диофант Александрийский: Исследование по истории греческой алгебры. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 286.См. особенно сноску 4.
4. Таттерсолл, Джеймс (2000). Элементарная теория чисел в девяти главах (PDF) . Кембридж. п. 274. дои : 10.1017/CBO9780511756344. ISBN 9780521850148. S2CID  118948378. Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2020 года.
5. Кнорр, Уилбур Р. (1976), «Архимед и измерение круга: новая интерпретация», Архив истории точных наук , 15 (2): 115–140, doi : 10.1007/bf00348496, MR  0497462, S2CID  120954547.
6. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Баудхаяна», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
7. Варди, И. (1998). «Задача Архимеда о скоте». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 105 (4): 305–319. CiteSeerX 10.1.1.33.4288 . дои : 10.2307/2589706. JSTOR  2589706. 
8. Фрейзер, Питер М. (1972). Птолемеевская Александрия . Издательство Оксфордского университета.
9. Вейль, Андре (1972). Теория чисел, подход через историю . Биркхойзер.
10. Изади, Фарзали (2015). «Соответствующие числа через уравнение Пелла и его аналог» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 21 : 70–78.
11. Джон Стиллвелл (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6.
12. В феврале 1657 года Пьер де Ферма написал два письма об уравнении Пелла. Одно письмо (на французском языке) было адресовано Бернару Френиклю де Бесси, а другое (на латыни) было адресовано Кенелму Дигби, до которого оно дошло через Томаса Уайта, а затем через Уильяма Браункера.
    • Ферма, Пьер де (1894). Таннери, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). Том. 2-й том. Париж, Франция: Готье-Виллар и др. стр. 333–335.Письмо Френиклю опубликовано на стр. 333–334; письмо Дигби, стр. 334–335.
    Письмо Дигби на латыни переведено на французский язык:
    • Ферма, Пьер де (1896). Таннери, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). Том. 3-й том. Париж, Франция: Готье-Виллар и др. стр. 312–313.
    Оба письма переведены (частично) на английский язык на:
    • Струик, Дирк Ян, изд. (1986). Справочник по математике, 1200–1800 гг. Принстон, Нью-Джерси, США: Издательство Принстонского университета. стр. 29–30. ISBN 9781400858002.
13. В январе 1658 года, в конце послания XIX (письмо 19), Уоллис бурно поздравил Браункера с его победой в битве умов против Ферма по поводу решения уравнения Пелла. Из стр. 807 из (Уоллис, 1693 г.): «Et quidem cum Vir Nobilissimus, utut hac sibi suisque tam uniqueia putaverit, & altis impervia, ( quippe non omnis Fert omnia Tellus ) ut ab Anglis haud speraverit Solutionem ; d'estre destrompé par cet ingenieux & scavant Signieur ; erit cur & ipse tibi gratuletur. Me quod attinet, humillimas est quod rependam gratias, quod in Victoriae tuae partem advocare dignatus es,..." (И действительно, Благороднейший сэр [т.е. , виконт Браункер], он [т. е. Ферма] мог подумать, что [иметь] все для себя, такой эзотерический [предмет, т. е. уравнение Пелла] с его непостижимыми глубинами ( ибо не всякая земля несет в себе все вещи [т. е. не все нация может преуспеть во всем]), так что он едва ли мог ожидать решения от англичан; тем не менее, он признает, что, однако, он будет в восторге от того, что этот изобретательный и ученый лорд [т. е. Браункер] разубедит его; это будет быть по той причине, что он [т. е. Ферма] сам поздравил бы вас. Что касается меня, я смиренно благодарю вас за то, что вы соизволили призвать меня принять участие в вашей Победе...) Примечание: дата в конце письма Уоллиса - «20 января 1657 года»; однако эта дата соответствовала старому юлианскому календарю, от которого Британия окончательно отказалась в 1752 году : большая часть остальной Европы считала бы эту дату 31 января 1658 года. См. Даты по старому и новому стилю # Транспонирование дат исторических событий и возможные конфликты дат .
14. Ран, Иоганн Генрих (1668) [1659], Бранкер, Томас; Пелл (ред.), Введение в алгебру.
15. «Решение проблемы арифметики», в книге Джозефа Альфреда Серре (редактор), Œuvres de Lagrange, vol. 1, стр. 671–731, 1867.
16. Андрееску, Титу; Андрика, Дорин (2015). Квадратные диофантовые уравнения . Нью-Йорк : Спрингер. ISBN 978-0-387-35156-8.
17. Ленстра, HW младший (2002), «Решение уравнения Пелла» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (2): 182–192, MR  1875156.
18. Холгрен, Шон (2007), «Квантовые алгоритмы с полиномиальным временем для уравнения Пелла и главной идеальной проблемы», Journal of the ACM , 54 (1): 1–19, doi : 10.1145/1206035.1206039, S2CID  948064.
19. Шмидт, А.; Фёлльмер, У. (2005), «Квантовый алгоритм с полиномиальным временем для вычисления группы единиц числового поля» (PDF) , Труды тридцать седьмого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '05 , Нью-Йорк: ACM, Симпозиум по теории вычислений, стр. 475–480, CiteSeerX 10.1.1.420.6344 , doi : 10.1145/1060590.1060661, ISBN  1581139608, S2CID  6654142.
20. "Prime Curios!: 313" .
21. Кларк, Пит. «Уравнение Пелла» (PDF) . Университет Джорджии .
22. Конрад, Кейт. «Теорема Дирихле о единице» (PDF) . Проверено 14 июля 2020 г.
23. Демейер, Йерун (2007), Диофантовы множества над кольцами многочленов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) , докторская диссертация, Гентский университет , стр. 70, заархивировано из оригинала (PDF) 2 июля 2007 г. , получено 27 февраля 2009 г..
24. Барбо, Эдвард Дж. (2003), «3. Квадратичные числа», уравнение Пелла , задачники по математике, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95529-1, г-н  : 1949691.
25. Стермер, Карл (1897). «Quelques theorèmes sur l'équation de Pell et leurs application». Скрифтер Виденскабс-сельскабет (Христиания), Мат.-Натурв. кл. (На французском). Я (2). ${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=\pm 1}$
26. Лемер, Д.Х. (1964). «К проблеме Штёрмера». Иллинойсский математический журнал . 8 (1): 57–79. дои : 10.1215/ijm/1256067456 . МР  0158849.
27. Ван, Цзяци; Цай, Лиде (декабрь 2013 г.). «Разрешимость отрицательного уравнения Пелля» (PDF) . Колледж Цинхуа : 5–6.
28. Кремона, Джон Э.; Одони, РВК (1989), «Некоторые результаты о плотности для отрицательных уравнений Пелла; применение теории графов», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 39 (1): 16–28, doi : 10.1112/jlms/s2- 39.1.16, ISSN  0024-6107.
29. «Древние уравнения предлагают новый взгляд на группы чисел» . Журнал Кванта . 10 августа 2022 г. Проверено 18 августа 2022 г.
30. Койманс, Питер; Пагано, Карло (31 января 2022 г.). «О гипотезе Стивенхагена». arXiv : 2201.13424 [math.NT].
31. Лагранж, Жозеф-Луи (1867–1892). Творения Лагранжа. Т. 2 / publiées par les soins de MJ-A. Серре [и Ж. Дарбу]; [предварительное уведомление о жизни и жизни Ж.-Л. Лагранж, пар М. Деламбр] (на французском языке).
32. Мэтьюз, Кейт. «Диофантово уравнение x2 − Dy2 = N, D > 0» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 марта 2015 года . Проверено 20 июля 2020 г.
33. Конрад, Кейт. «УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛА, II» (PDF) . Проверено 14 октября 2021 г.
34. Бернштейн, Леон (1 октября 1975 г.). «Усеченные единицы в бесконечном числе полей алгебраических чисел степени ≧ 4». Математические Аннален . 213 (3): 275–279. дои : 10.1007/BF01350876. ISSN  1432-1807. S2CID  121165073.
35. Бернштейн, Леон (1 марта 1974 г.). «О диофантовом уравнении x(x + d)(x + 2d) + y(y + d)(y + 2d) = z(z + d)(z + 2d)». Канадский математический бюллетень . 17 (1): 27–34. дои : 10.4153/CMB-1974-005-5 . ISSN  0008-4395. S2CID  125002637.
36. Эпплби, Маркус; Фламмия, Стивен; МакКоннелл, Гэри; Ярд, Джон (август 2017 г.). «SIC и алгебраическая теория чисел». Основы физики . 47 (8): 1042–1059. arXiv : 1701.05200 . Бибкод : 2017FoPh...47.1042A. дои : 10.1007/s10701-017-0090-7. ISSN  0015-9018. S2CID  119334103.

дальнейшее чтение

• Эдвардс, Гарольд М. (1996) [1977]. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 50. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90230-9. МР  0616635.
• Пинч, РГЭ (1988). «Совместные уравнения Пеллиана». Математика. Учеб. Кембриджская философия. Соц . 103 (1): 35–46. Бибкод : 1988MPCPS.103...35P. дои : 10.1017/S0305004100064598. S2CID  123098216.
• Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912). Уравнение Пелля (кандидатская диссертация) . Колумбийский университет.
• Уильямс, ХК (2002). «Решение уравнения Пелла». В Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия ; Бостон, Северная Каролина ; Даймонд, ХГ; Хильдебранд, AJ; Филипп, В. (ред.). Обзоры по теории чисел: материалы тысячелетней конференции по теории чисел . Натик, Массачусетс: АК Питерс . стр. 325–363. ISBN 1-56881-162-4. Збл  1043.11027.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Пелла». Математический мир .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Уравнение Пелла», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Решатель уравнений Пелла ( n не имеет верхнего предела)
• Решатель уравнений Пелла ( n < 10 ¹⁰ , также может возвращать решение x ²  −  ny ² = ±1, ±2, ±3 и ±4)