Равнобедренная трапеция

Трапеция, симметричная относительно оси

В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция ( isosceles трапеция в британском английском языке ) представляет собой выпуклый четырехугольник с линией симметрии , делящей пополам одну пару противоположных сторон. Это частный случай трапеции . В качестве альтернативы ее можно определить как трапецию , в которой обе стороны и оба угла при основании имеют одинаковую меру ^[1] , или как трапецию, диагонали которой имеют одинаковую длину. ^[2] Обратите внимание, что непрямоугольный параллелограмм не является равнобедренной трапецией из-за второго условия или из-за отсутствия линии симметрии. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны , а две другие стороны (ноги) имеют одинаковую длину (свойства, общие с параллелограммом ) , а диагонали имеют одинаковую длину. Углы при основании равнобедренной трапеции равны по мере (фактически существует две пары равных углов при основании, где один угол при основании является дополнительным углом к ​​углу при основании при другом основании).

Особые случаи

Особые случаи равнобедренных трапеций.

Прямоугольники и квадраты обычно считаются частными случаями равнобедренных трапеций, хотя некоторые источники их исключают. ^[3]

Другим особым случаем является трапеция с 3 равными сторонами , иногда известная как трехсторонняя трапеция ^[4] или трехбокая трапеция . Их также можно увидеть расчлененными из правильных многоугольников с 5 или более сторонами как усечение 4 последовательных вершин.

Самопересечения

Любой несамопересекающийся четырехугольник с ровно одной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо воздушным змеем . ^[5] Однако, если пересечения разрешены, набор симметричных четырехугольников должен быть расширен, включив в него также скрещенные равнобедренные трапеции, скрещенные четырехугольники, в которых скрещенные стороны имеют одинаковую длину, а другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, скрещенные четырехугольники . у которого противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Каждый антипараллелограмм имеет в качестве выпуклой оболочки равнобедренную трапецию и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон (или любой пары противоположных сторон в случае прямоугольника) равнобедренной трапеции. ^[6]

Характеристики

Если известно, что четырёхугольник является трапецией , то недостаточно просто проверить, что катеты имеют одинаковую длину, чтобы знать, что это равнобедренная трапеция, поскольку ромб — это частный случай трапеции с катетами одинаковой длины. , но не является равнобедренной трапецией, поскольку у нее отсутствует линия симметрии, проходящая через середины противоположных сторон.

Любое из следующих свойств отличает равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали имеют одинаковую длину.
• Углы при основании имеют одинаковую величину.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Противоположные углы являются дополнительными, что, в свою очередь, означает, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками .
• Диагонали делят друг друга на отрезки попарно равных длин; с точки зрения рисунка ниже, AE = DE , BE = CE (и AE ≠ CE , если кто-то хочет исключить прямоугольники).

Углы

В равнобедренной трапеции углы при основании попарно имеют одинаковую величину. На рисунке ниже углы ∠ ABC и ∠ DCB — тупые углы одной и той же меры, а углы ∠ BAD и ∠ CDA — острые углы , также той же меры.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, то углы, прилежащие к противоположным основаниям, являются дополнительными , то есть углы ∠ ABC + ∠ BAD = 180°.

Диагонали и высота

Еще одна равнобедренная трапеция.

Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину ; то есть каждая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырехугольником . Причем диагонали делят друг друга в одинаковых пропорциях. Как показано на рисунке, диагонали AC и BD имеют одинаковую длину ( AC = BD ) и делят друг друга на отрезки одинаковой длины ( AE = DE и BE = CE ).

Отношение , в котором разделена каждая диагональ, равно отношению длин параллельных сторон, которые они пересекают, то есть

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

Длина каждой диагонали, согласно теореме Птолемея , равна

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC , а c — длина каждого катета AB и CD .

Высота, согласно теореме Пифагора , определяется выражением

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$

Расстояние от точки E до основания AD определяется выражением

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC , а h — высота трапеции.

Область

Площадь равнобедренной (или любой) трапеции равна среднему значению длины основания и вершины ( параллельных сторон ), умноженной на высоту. На соседней диаграмме, если мы напишем AD = a и BC = b , а высота h — это длина отрезка между AD и BC , который перпендикулярен им, то площадь K будет равна

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left(a+b\right)h.}$

Если вместо высоты трапеции известна общая длина катетов AB = CD = c , то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, которая при равных двух сторонах упрощается до

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}$

где - полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона для вычисления площади треугольника. Предыдущую формулу площади можно также записать как ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

Окружной радиус

Радиус описанной окружности определяется формулой ^[7]

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$

В прямоугольнике , где a = b, это упрощается до . ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$

Смотрите также

• Равнобедренная касательная трапеция

Рекомендации

1. «Трапеция - определение математического слова - Открытый справочник по математике» .
2. Риоти, Дон Э. (1967). «Что такое равнобедренная трапеция?». Учитель математики . 60 (7): 729–730. дои : 10.5951/MT.60.7.0729. JSTOR  27957671.
3. Ларсон, Рон; Босуэлл, Лори (2016). Большие идеи МАТЕМАТИКА, Геометрия, Техасское издание . Big Ideas Learning, LLC (2016). п. 398. ИСБН 978-1608408153.
4. «Иерархическая классификация четырехугольников». Dynamicmathematicslearning.com . Проверено 10 февраля 2024 г.
5. Холстед, Джордж Брюс (1896), «Глава XIV. Симметричные четырехугольники», Элементарная синтетическая геометрия, Дж. Уайли и сыновья, стр. 49–53.
6. Уитни, Уильям Дуайт; Смит, Бенджамин Эли (1911), Словарь и циклопедия The Century, The Century co., стр. 1547 г..
7. Трапеция на Math24.net: Формулы и таблицы [1]. Архивировано 28 июня 2018 г., на Wayback Machine, по состоянию на 1 июля 2014 г.

Внешние ссылки

• Некоторые инженерные формулы, включающие равнобедренные трапеции.