Радиальная функция распределения

Описание плотности частиц в статистической механике

расчет ${\displaystyle g(r)}$

Радиальная функция распределения для жидкости модели Леннарда-Джонса при . ${\displaystyle \textstyle T^{*}=0.71,\;n^{*}=0.844}$

В статистической механике функция радиального распределения (или парная корреляционная функция ) в системе частиц (атомов, молекул, коллоидов и т. д.) описывает, как плотность изменяется в зависимости от расстояния от опорной частицы. ${\displaystyle g(r)}$

Если взять заданную частицу, находящуюся в начале координат O , и если — средняя плотность числа частиц, то локальная усредненная по времени плотность на расстоянии от O равна . Это упрощенное определение справедливо для однородной и изотропной системы. Более общий случай будет рассмотрен ниже. ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho g(r)}$

Проще говоря, это мера вероятности нахождения частицы на расстоянии от заданной эталонной частицы по сравнению с вероятностью идеального газа. Общий алгоритм включает определение того, сколько частиц находятся на расстоянии и вдали от частицы. Эта общая тема изображена справа, где красная частица — наша эталонная частица, а синие частицы — те, чьи центры находятся внутри круглой оболочки, отмеченной оранжевыми точками. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$

Радиальная функция распределения обычно определяется путем вычисления расстояния между всеми парами частиц и объединения их в гистограмму. Затем гистограмма нормализуется относительно идеального газа, где гистограммы частиц полностью некоррелированы. Для трех измерений эта нормализация представляет собой численную плотность системы, умноженную на объем сферической оболочки, что символически можно выразить как . ${\displaystyle (\rho )}$ ${\displaystyle \rho \,4\pi r^{2}dr}$

При наличии функции потенциальной энергии радиальная функция распределения может быть вычислена либо с помощью методов компьютерного моделирования, таких как метод Монте-Карло , либо с помощью уравнения Орнштейна–Цернике , используя приближенные соотношения замыкания, такие как приближение Перкуса–Йевика или теория гиперсетчатых цепей . Она также может быть определена экспериментально, с помощью методов рассеяния излучения или путем прямой визуализации для достаточно больших (микрометровых) частиц с помощью традиционной или конфокальной микроскопии.

Радиальная функция распределения имеет фундаментальное значение, поскольку ее можно использовать, используя теорию решений Кирквуда–Баффа , для связи микроскопических деталей с макроскопическими свойствами. Более того, путем обращения теории Кирквуда–Баффа можно получить микроскопические детали радиальной функции распределения из макроскопических свойств. Радиальная функция распределения также может быть инвертирована для предсказания функции потенциальной энергии с использованием уравнения Орнштейна–Цернике или структурно-оптимизированного уточнения потенциала. ^[1]

Определение

Рассмотрим систему частиц в объеме (при средней плотности числа ) и при температуре (определим также ; — постоянная Больцмана). Координаты частиц равны , причем . Потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием между частицами, равна и мы не рассматриваем случай внешнего приложенного поля. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\,N}$ ${\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})}$

Соответствующие средние берутся в каноническом ансамбле , с конфигурационным интегралом, взятым по всем возможным комбинациям положений частиц. Вероятность элементарной конфигурации, а именно нахождения частицы 1 в , частицы 2 в и т.д., определяется как ${\displaystyle (N,V,T)}$ ${\displaystyle \textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}$

Общее число частиц огромно, так что само по себе это не очень полезно. Однако можно также получить вероятность сокращенной конфигурации, где фиксированы положения только частиц, в , без ограничений на оставшиеся частицы. Для этого нужно проинтегрировать ( 1 ) по оставшимся координатам : ${\displaystyle P^{(N)}}$ ${\displaystyle n<N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n}}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

${\displaystyle P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,}$.

Если частицы не взаимодействуют, в том смысле, что потенциальная энергия каждой частицы не зависит ни от одной из других частиц, то функция распределения факторизуется, и вероятность элементарной конфигурации разлагается с независимыми аргументами на произведение вероятностей отдельных частиц, ${\textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i=1}^{N}U_{1}(\mathbf {r} _{i})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{N}&=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}e^{-\beta U_{1}}=Z_{1}^{N}\\P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&=P^{(1)}(\mathbf {r} _{1})\cdots P^{(1)}(\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что для невзаимодействующих частиц вероятность симметрична по своим аргументам. В общем случае это неверно, и порядок, в котором позиции занимают слоты аргументов, имеет значение. При заданном наборе позиций способ, которым частицы могут занимать эти позиции, равен Вероятность того, что эти позиции ЗАНЯТЫ, находится путем суммирования по всем конфигурациям, в которых частица находится в каждом из этих мест. Это можно сделать, взяв каждую перестановку , , в симметричной группе по объектам, , чтобы записать . Для меньшего количества позиций мы интегрируем по посторонним аргументам и включаем поправочный коэффициент, чтобы предотвратить пересчет, Эта величина называется функцией плотности n частиц . Для неразличимых частиц можно переставить все позиции частиц, , не меняя вероятности элементарной конфигурации, , так что функция плотности n частиц сводится к Интегрирование плотности n частиц дает фактор перестановки , подсчитывая количество способов, которыми можно последовательно выбрать частицы для размещения в позициях из общего числа частиц. Теперь давайте обратимся к тому, как мы интерпретируем эту функцию для различных значений . ${\displaystyle P^{(n)}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N!}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {1}{(N-n)!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right)\sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \forall i,\mathbf {r} _{i}\rightarrow \mathbf {r} _{\pi (i)}}$ ${\displaystyle P(\mathbf {r} _{\pi (1)},\dots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})=P(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle _{N}P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

Для мы имеем одночастичную плотность. Для кристалла это периодическая функция с острыми максимумами в узлах решетки. Для невзаимодействующего газа она не зависит от положения и равна общей плотности числа, , системы. Чтобы увидеть это, сначала отметим, что в объеме, занимаемом газом, и 0 везде в остальном. Статистическая сумма в этом случае равна ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U_{N}=\infty }$

${\displaystyle Z_{N}=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\ 1=V^{N}}$

из чего определение дает желаемый результат

${\displaystyle \rho ^{(1)}(\mathbf {r} )={\frac {N!}{(N-1)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=2}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1={\frac {N}{V}}=\rho .}$

Фактически, для этого особого случая каждая плотность n-частиц не зависит от координат и может быть вычислена явно . Для плотность невзаимодействующих n-частиц приблизительно равна . ^[2] Имея это в виду, функция корреляции n-точек определяется путем вынесения за скобки невзаимодействующего вклада ^{[ требуется ссылка ]} . Явно это определение гласит, что ясно, что функция корреляции n -точек безразмерна. $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{n}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle N\gg n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\left(1-n(n-1)/2N+\cdots \right)\rho ^{n}\approx \rho ^{n}}$ ${\displaystyle g^{(n)}}$ $${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})&={\frac {V^{N}}{N!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}{\frac {1}{V}}\!\!\int \!\!\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right){\frac {1}{Z_{N}}}\sum _{\pi \in S_{N}}e^{-\beta U(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\,\mathbf {r} _{\pi (N)})}\end{aligned}}}$$

Отношения, связанные сг(г)

Структурный фактор

Корреляционная функция второго порядка имеет особое значение, поскольку она напрямую связана (через преобразование Фурье ) со структурным фактором системы и, таким образом, может быть определена экспериментально с использованием рентгеновской дифракции или нейтронной дифракции . ^[3] ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$

Если система состоит из сферически симметричных частиц, зависит только от относительного расстояния между ними, . Опустим нижний и верхний индексы: . Принимая частицу 0 фиксированной в начале координат, — это среднее число частиц (среди оставшихся ), которые можно найти в объеме вокруг позиции . ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle g(\mathbf {r} )\equiv g^{(2)}(\mathbf {r} _{12})}$ ${\displaystyle \textstyle \rho g(\mathbf {r} )d^{3}r=\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle \textstyle d^{3}r}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} }$

Мы можем формально подсчитать эти частицы и взять среднее значение с помощью выражения , где среднее значение по ансамблю дает: ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}{d^{3}r}}=\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle }$ ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot \rangle }$

где второе равенство требует эквивалентности частиц . Формула выше полезна для связи со статическим структурным фактором , определяемым как , поскольку мы имеем: ${\displaystyle \textstyle 1,\,\ldots ,\,N-1}$ ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \textstyle S(\mathbf {q} )=\langle \sum _{ij}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle /N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(\mathbf {q} )&=1+{\frac {1}{N}}\langle \sum _{i\neq j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle =1+{\frac {1}{N}}\left\langle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\sum _{i\neq j}\delta \left[\mathbf {r} -(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\right]\right\rangle \\&=1+{\frac {N(N-1)}{N}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle ,\end{aligned}}}$

и таким образом:

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }g(\mathbf {r} )}$, доказывая соотношение Фурье, упомянутое выше.

Это уравнение справедливо только в смысле распределений , поскольку не нормализовано: , так что расходится как объем , что приводит к пику Дирака в начале координат для структурного фактора. Поскольку этот вклад недоступен экспериментально, мы можем вычесть его из уравнения выше и переопределить структурный фактор как регулярную функцию: ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\rightarrow \infty }g(\mathbf {r} )=1}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle S'(\mathbf {q} )=S(\mathbf {q} )-\rho \delta (\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(\mathbf {r} )-1]}$.

Наконец, переименовываем и, если система является жидкостью, можем воспользоваться ее изотропностью: ${\displaystyle S(\mathbf {q} )\equiv S'(\mathbf {q} )}$

Уравнение сжимаемости

Оценивая ( 6 ) и используя соотношение между изотермической сжимаемостью и структурным фактором в начале координат, получаем уравнение сжимаемости : ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle \textstyle \chi _{T}}$

Потенциал средней силы

Можно показать ^[4] , что функция радиального распределения связана с двухчастичным потенциалом средней силы соотношением: ${\displaystyle w^{(2)}(r)}$

В разбавленном пределе потенциал средней силы представляет собой точный парный потенциал, при котором конфигурация точки равновесия имеет заданное значение . ${\displaystyle g(r)}$

Уравнение энергии

Если частицы взаимодействуют посредством одинаковых парных потенциалов: , то средняя внутренняя энергия на частицу равна: ^{[5] : Раздел 2.5} ${\displaystyle \textstyle U_{N}=\sum _{i>j=1}^{N}u(\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|)}$

Уравнение состояния давления

Развивая вириальное уравнение, получаем уравнение состояния давления:

Термодинамические свойства в 3D

Радиальная функция распределения является важной мерой, поскольку с ее помощью можно рассчитать несколько ключевых термодинамических свойств, таких как потенциальная энергия и давление.

Для трехмерной системы, где частицы взаимодействуют посредством парных потенциалов, потенциальная энергия системы может быть рассчитана следующим образом: ^[6]

${\displaystyle PE={\frac {N}{2}}4\pi \rho \int _{0}^{\infty }r^{2}u(r)g(r)dr,}$

где N — число частиц в системе, — плотность числа, — парный потенциал . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$

Давление системы также можно рассчитать, связав 2-й вириальный коэффициент с . Давление можно рассчитать следующим образом: ^[6] ${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle P=\rho kT-{\frac {2}{3}}\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\infty }dr{\frac {du(r)}{dr}}r^{3}g(r)}$.

Обратите внимание, что результаты потенциальной энергии и давления не будут такими точными, как при прямом расчете этих свойств, из-за усреднения, связанного с расчетом . ${\displaystyle g(r)}$

Приближения

Для разбавленных систем (например, газов) корреляции в положениях частиц, которые учитывают, обусловлены только потенциалом, порожденным опорной частицей, без учета косвенных эффектов. В первом приближении это просто задается законом распределения Больцмана: ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

Если бы были равны нулю для всех – т.е. если бы частицы не оказывали никакого влияния друг на друга, то для всех и средняя локальная плотность была бы равна средней плотности : присутствие частицы в точке O не повлияло бы на распределение частиц вокруг нее, и газ был бы идеальным. Для расстояний, таких как значительно, средняя локальная плотность будет отличаться от средней плотности , в зависимости от знака (выше для отрицательной энергии взаимодействия и ниже для положительной ). ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g(r)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

По мере увеличения плотности газа предел низкой плотности становится все менее и менее точным, поскольку частица, находящаяся в , испытывает не только взаимодействие с частицей в точке O , но и с другими соседями, на которых в свою очередь влияет опорная частица. Это опосредованное взаимодействие увеличивается с плотностью, поскольку появляется больше соседей, с которыми можно взаимодействовать: имеет физический смысл записать расширение плотности , которое напоминает вириальное уравнение : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle g(r)}$

Это сходство не случайно; действительно, подстановка ( 12 ) в приведенные выше соотношения для термодинамических параметров (уравнения 7 , 9 и 10 ) дает соответствующие вириальные разложения. ^[7] Вспомогательная функция известна как функция распределения полости . ^{[5] : Таблица 4.1} Было показано, что для классических жидкостей при фиксированной плотности и фиксированной положительной температуре эффективный парный потенциал, который генерирует заданное подравновесное состояние, является уникальным с точностью до аддитивной константы, если она существует. ^[8] ${\displaystyle y(r)}$ ${\displaystyle g(r)}$

В последние годы особое внимание уделялось разработке парных корреляционных функций для пространственно-дискретных данных, таких как решетки или сети. ^[9]

Экспериментальный

Можно определить косвенно (через его связь со структурным фактором ) с использованием данных нейтронного рассеяния или рентгеновского рассеяния . Метод может использоваться на очень коротких масштабах длины (вплоть до атомного уровня ^[10] ), но включает значительное пространственное и временное усреднение (по размеру образца и времени получения, соответственно). Таким образом, функция радиального распределения была определена для широкого спектра систем, от жидких металлов ^[11] до заряженных коллоидов. ^[12] Переход от экспериментального к не является простым, и анализ может быть довольно сложным. ^[13] ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle g(r)}$

Также возможно производить расчеты напрямую, извлекая положения частиц из традиционной или конфокальной микроскопии. ^[14] Этот метод ограничен частицами, достаточно большими для оптического обнаружения (в микрометровом диапазоне), но он имеет преимущество в том, что он имеет временное разрешение, так что, помимо статической информации, он также дает доступ к динамическим параметрам (например, константам диффузии ^[15] ), а также пространственное разрешение (до уровня отдельной частицы), что позволяет ему выявлять морфологию и динамику локальных структур в коллоидных кристаллах, ^[16] стеклах, ^{[17] [18]} гелях, ^{[19] [20]} и гидродинамических взаимодействиях. ^[21] ${\displaystyle g(r)}$

Прямая визуализация полной (зависящей от расстояния и угла) парной корреляционной функции была достигнута с помощью сканирующей туннельной микроскопии в случае двумерных молекулярных газов. ^[22]

Корреляционные функции высшего порядка

Было отмечено, что радиальные функции распределения сами по себе недостаточны для характеристики структурной информации. Отдельные точечные процессы могут обладать идентичными или практически неразличимыми радиальными функциями распределения, известными как проблема вырождения. ^{[23] [24]} В таких случаях для дальнейшего описания структуры необходимы корреляционные функции более высокого порядка.

Функции распределения более высокого порядка с были изучены меньше, так как они, как правило, менее важны для термодинамики системы; в то же время, они недоступны для обычных методов рассеяния. Однако их можно измерить с помощью когерентного рентгеновского рассеяния , и они интересны, поскольку могут выявить локальные симметрии в неупорядоченных системах. ^[25] ${\displaystyle \textstyle g^{(k)}}$ ${\displaystyle \textstyle k>2}$

Смотрите также

• Уравнение Орнштейна–Цернике
• Фактор структуры

Ссылки

1. Shanks, B.; Potoff, J.; Hoepfner, M. (5 декабря 2022 г.). «Передаваемые силовые поля из экспериментальных данных рассеяния с уточнением структуры с помощью машинного обучения». J. Phys. Chem. Lett . 13 (49): 11512–11520. doi :10.1021/acs.jpclett.2c03163. PMID  36469859. S2CID  254274307.
2. Tricomi, F.; Erdélyi, A. (1 марта 1951 г.). «Асимптотическое разложение отношения гамма-функций». Pacific Journal of Mathematics . 1 (1): 133–142. doi : 10.2140/pjm.1951.1.133 .
3. Диннебир, RE; Биллинге, SJL (10 марта 2008 г.). Порошковая дифракция: теория и практика (1-е изд.). Королевское химическое общество. стр. 470–473. doi :10.1039/9781847558237. ISBN 978-1-78262-599-5.
4. Чандлер, Д. (1987). "7.3". Введение в современную статистическую механику . Oxford University Press.
5. Хансен, Дж. П. и Макдональд, ИР (2005). Теория простых жидкостей (3-е изд.). Academic Press.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Frenkel, Daan; Smit, Berend (2002). Понимание молекулярного моделирования от алгоритмов до приложений (2-е изд.). Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0122673511.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Баркер, Дж.; Хендерсон, Д. (1976). «Что такое «жидкость»? Понимание состояний материи». Обзоры современной физики . 48 (4): 587. Bibcode : 1976RvMP...48..587B. doi : 10.1103/RevModPhys.48.587.
8. Хендерсон, Р. Л. (9 сентября 1974 г.). «Теорема уникальности для парных корреляционных функций жидкости». Physics Letters A. 49 ( 3): 197–198. Bibcode : 1974PhLA...49..197H. doi : 10.1016/0375-9601(74)90847-0. ISSN  0375-9601.
9. Гаваньин, Энрико (4 июня 2018 г.). «Парные корреляционные функции для определения пространственной корреляции в дискретных доменах». Physical Review E . 97 (1): 062104. arXiv : 1804.03452 . Bibcode :2018PhRvE..97f2104G. doi :10.1103/PhysRevE.97.062104. PMID  30011502. S2CID  50780864.
10. Ярнелл, Дж.; Кац, М.; Венцель, Р.; Кёниг, С. (1973). «Структурный фактор и радиальная функция распределения для жидкого аргона при 85 К». Physical Review A. 7 ( 6): 2130. Bibcode :1973PhRvA...7.2130Y. doi :10.1103/PhysRevA.7.2130.
11. Gingrich, NS; Heaton, L. (1961). «Структура щелочных металлов в жидком состоянии». Журнал химической физики . 34 (3): 873. Bibcode : 1961JChPh..34..873G. doi : 10.1063/1.1731688.
12. Sirota, E.; Ou-Yang, H.; Sinha, S.; Chaikin, P.; Axe, J.; Fujii, Y. (1989). "Полная фазовая диаграмма заряженной коллоидной системы: исследование синхротронного рентгеновского рассеяния". Physical Review Letters . 62 (13): 1524–1527. Bibcode :1989PhRvL..62.1524S. doi :10.1103/PhysRevLett.62.1524. PMID  10039696.
13. Педерсен, Дж. С. (1997). «Анализ данных малоуглового рассеяния от коллоидов и полимерных растворов: моделирование и подгонка по методу наименьших квадратов». Достижения в области коллоидов и интерфейсной науки . 70 : 171–201. doi :10.1016/S0001-8686(97)00312-6.
14. Крокер, Дж. К.; Грир, Д. Г. (1996). «Методы цифровой видеомикроскопии для коллоидных исследований». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 179 (1): 298–310. Bibcode : 1996JCIS..179..298C. doi : 10.1006/jcis.1996.0217.
15. Накрошис, П.; Аморосо, М.; Лежер, Дж.; Смит, К. (2003). «Измерение постоянной Больцмана с использованием видеомикроскопии броуновского движения». Американский журнал физики . 71 (6): 568. Bibcode : 2003AmJPh..71..568N. doi : 10.1119/1.1542619.
16. Gasser, U.; Weeks, ER; Schofield, A.; Pusey, PN; Weitz, DA (2001). «Визуализация зародышеобразования и роста при коллоидной кристаллизации в реальном пространстве». Science . 292 (5515): 258–262. Bibcode :2001Sci...292..258G. doi :10.1126/science.1058457. PMID  11303095. S2CID  6590089.
17. MI Ojovan, DV Louzguine-Luzgin. Выявление структурных изменений при стекловании с помощью радиальных функций распределения. J. Phys. Chem. B, 124 (15), 3186-3194 (2020) https://doi.org/10.1021/acs.jpcb.0c00214
18. Weeks, ER; Crocker, JC; Levitt, AC; Schofield, A.; Weitz, DA (2000). «Трехмерная прямая визуализация структурной релаксации вблизи перехода в коллоидное стекло». Science . 287 (5453): 627–631. Bibcode :2000Sci...287..627W. doi :10.1126/science.287.5453.627. PMID  10649991.
19. Cipelletti, L.; Manley, S.; Ball, RC; Weitz, DA (2000). «Универсальные особенности старения в реструктуризации фрактальных коллоидных гелей». Physical Review Letters . 84 (10): 2275–2278. Bibcode : 2000PhRvL..84.2275C. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2275. PMID  11017262.
20. Варадан, П.; Соломон, М.Дж. (2003). «Прямая визуализация дальнодействующей гетерогенной структуры в плотных коллоидных гелях». Ленгмюр . 19 (3): 509. doi :10.1021/la026303j.
21. Гао, К.; Кулкарни, С.Д.; Моррис, Дж.Ф.; Гилкрист, Дж.Ф. (2010). «Прямое исследование анизотропной структуры суспензии в потоке, управляемом давлением». Physical Review E. 81 ( 4): 041403. Bibcode : 2010PhRvE..81d1403G. doi : 10.1103/PhysRevE.81.041403. PMID  20481723.
22. Matvija, Peter; Rozbořil, Filip; Sobotík, Pavel; Ošťádal, Ivan; Kocán, Pavel (2017). «Парная корреляционная функция двумерного молекулярного газа, непосредственно визуализированная с помощью сканирующей туннельной микроскопии». The Journal of Physical Chemistry Letters . 8 (17): 4268–4272. doi :10.1021/acs.jpclett.7b01965. PMID  28830146.
23. Стиллингер, Фрэнк Х.; Торквато, Сальваторе (28 мая 2019 г.). «Структурное вырождение в распределениях парных расстояний». Журнал химической физики . 150 (20): 204125. Bibcode : 2019JChPh.150t4125S. doi : 10.1063/1.5096894 . ISSN  0021-9606. PMID  31153177. S2CID  173995240.
24. Ван, Хайна; Стиллингер, Фрэнк Х.; Торквато, Сальваторе (23 сентября 2020 г.). «Чувствительность парной статистики к парным потенциалам в многочастичных системах». Журнал химической физики . 153 (12): 124106. Bibcode : 2020JChPh.153l4106W. doi : 10.1063/5.0021475 . ISSN  0021-9606. PMID  33003740. S2CID  222169131.
25. Wochner, P.; Gutt, C.; Autenrieth, T.; Demmer, T.; Bugaev, V.; Ortiz, AD; Duri, A.; Zontone, F.; Grubel, G.; Dosch, H. (2009). "Анализ рентгеновской кросс-корреляции раскрывает скрытые локальные симметрии в неупорядоченной материи". Труды Национальной академии наук . 106 (28): 11511–4. Bibcode : 2009PNAS..10611511W. doi : 10.1073/pnas.0905337106 . PMC 2703671. PMID  20716512 . 

• Видом, Б. (2002). Статистическая механика: краткое введение для химиков. Издательство Кембриджского университета.
• Маккуорри, Д.А. (1976). Статистическая механика. Издательство Harper Collins.