Радиан

производная единица измерения угла в системе СИ

Радиан , обозначаемый символом рад , является единицей измерения угла в Международной системе единиц (СИ) и является стандартной единицей измерения угла, используемой во многих областях математики . Он определяется таким образом, что один радиан — это угол , опирающийся на дугу в центре окружности, длина которой равна радиусу. ^[2] Ранее эта единица была дополнительной единицей СИ , а в настоящее время является безразмерной производной единицей СИ , ^[2] определяемой в СИ как 1 рад = 1 ^[3] и выражаемой через базовую единицу СИ метр (м) как рад = м/м . ^[4] Углы без явно указанных единиц обычно считаются измеряемыми в радианах, особенно в математических записях. ^[5]

Определение

Один радиан определяется как угол, противолежащий центру окружности, который отсекает дугу, равную по длине радиусу окружности. ^[6] В более общем смысле, величина противолежащего угла в радианах равна отношению длины дуги к радиусу окружности; то есть, , где θ — величина противолежащего угла в радианах (= угол/рад), s — длина дуги, а r — радиус. Прямой угол равен ровно радианам. ^[7] ${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

В СИ (и большинстве областей математики и науки) то, что называется «углом», на самом деле является числовым значением угла, когда угол выражен в радианах: угол/рад. Таким образом, «радиан» СИ является числовым значением одного радиана, выраженного в радианах, отсюда «рад» СИ = (1 рад)/рад = 1. Это вызвало некоторую путаницу. Численное значение угла поворота, выраженное в радианах (т. е. 360°/рад), соответствующее одному полному обороту, представляет собой длину окружности, деленную на радиус, что равно , или 2π . Таким образом, 2π радиан  равны 360 градусам . ${\displaystyle {\frac {2\pi r}{r}}}$

Соотношение 2 π рад = 360° можно вывести с помощью формулы для длины дуги , . Поскольку радиан — это мера угла, который опирается на дугу длиной, равной радиусу окружности, . Это можно упростить еще больше до . Умножение обеих сторон на 360° дает 360° = 2 π рад . ${\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$

Символ единицы измерения

Международное бюро мер и весов ^[7] и Международная организация по стандартизации ^[8] указывают рад в качестве символа радиана. Альтернативными символами, которые использовались в 1909 году, являются ^c (надстрочная буква c, для «круговой меры»), буква r или надстрочный индекс ^R , ^[1] но эти варианты используются редко, так как их можно ошибочно принять за символ градуса (°) или радиуса (r). Таким образом, угол в 1,2 радиана сегодня будет записан как 1,2 рад; архаичные обозначения могли включать 1,2 r, 1,2 ^рад , 1,2 ^c или 1,2 ^R .

В математической записи символ «рад» часто опускается. При количественном обозначении угла в случае отсутствия какого-либо символа предполагаются радианы, а когда имеются в виду градусы, используется знак градуса ° .

Анализ размеров

Плоский угол можно определить как θ = s / r , где θ - (числовое значение) противолежащего угла в радианах, s - длина дуги, а r - радиус. Один радиан СИ соответствует (числовому значению) угла, выраженного в радианах, для которого s = r , следовательно, 1 радиан СИ = 1 м/м = 1. ^[9] Однако рад следует использовать только для выражения углов, а не для выражения отношений длин в целом. ^[7] Аналогичный расчет с использованием площади кругового сектора θ = 2 A / r ² дает 1 радиан СИ как 1 м ² /м ² = 1. ^[10] Ключевым фактом является то, что радиан СИ - это безразмерная единица, равная 1 . В СИ 2019 радиан СИ определяется соответственно как 1 рад = 1 . ^[11] В математике и во всех областях науки давно принято использовать рад = 1. [ ^{4] [12]}

Джакомо Прандо пишет: «Нынешнее положение дел неизбежно приводит к призрачным появлениям и исчезновениям радиана в размерном анализе физических уравнений». ^[13] Например, объект, подвешенный на веревке к блоку, поднимется или опустится на y = rθ сантиметров, где r — числовое значение радиуса блока, выраженное в сантиметрах, а θ — числовое значение угла, на который поворачивается блок, выраженное в радианах. При умножении r на θ единица радиан не появляется в результате. Аналогично в формуле для угловой скорости катящегося колеса, ω = v / r , радианы появляются в единицах ω , но не в правой части. ^[14] Энтони Френч называет это явление «вечной проблемой в преподавании механики». ^[15] Оберхофер говорит, что типичный совет игнорировать радианы во время размерного анализа и добавлять или удалять радианы в единицах в соответствии с соглашением и контекстными знаниями «педагогически неудовлетворителен». ^[16]

В 1993 году Метрический комитет Американской ассоциации учителей физики указал, что радиан должен явно появляться в величинах только тогда, когда при использовании других мер угла будут получены другие числовые значения, например, в величинах меры угла (рад), угловой скорости (рад/с), углового ускорения (рад/с2 ⁾ и крутильной жесткости (Н⋅м/рад), а не в величинах крутящего момента (Н⋅м) и углового момента (кг⋅м2 ^/ с). ^[17]

По крайней мере, дюжина ученых между 1936 и 2022 годами вносили предложения рассматривать радиан как базовую единицу измерения для базовой величины (и размерности) «плоского угла». ^{[18] [19] [20]} Обзор предложений Куинси выделяет два класса предложений. Первый вариант изменяет единицу радиуса на метры на радиан, но это несовместимо с размерным анализом для площади круга , π r ² . Другой вариант — ввести размерную константу. По словам Куинси, этот подход «логически строг» по сравнению с СИ, но требует «модификации многих знакомых математических и физических уравнений». ^[21] Размерная константа для угла «довольно странная», и сложность модификации уравнений для добавления размерной константы, вероятно, исключит ее широкое использование. ^[20]

В частности, Куинси идентифицирует предложение Торренса ввести константу η , равную 1 обратному радиану (1 рад ⁻¹ ) , аналогично введению константы ε0 . ^{[21] [a]} С этим изменением формула для угла, противолежащего центру окружности, s = rθ , изменяется так, чтобы стать s = ηrθ , а ряд Тейлора для синуса угла θ становится: ^{[20] [22]} где — числовое значение угла, выраженное в радианах. Заглавная функция Sin — это «полная» функция, которая принимает аргумент с размерностью угла и не зависит от выраженных единиц, ^[22] в то время как sin — это традиционная функция на чистых числах , которая предполагает, что ее аргумент — безразмерное число в радианах. ^[23] Заглавный символ может быть обозначен , если ясно, что подразумевается полная форма. ^{[20] [24]} $${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sin} }$ ${\displaystyle \sin }$

Текущая система СИ может рассматриваться относительно этой структуры как естественная система единиц, где предполагается, что уравнение η = 1 выполняется, или, аналогично, 1 рад = 1. Это соглашение о радианах позволяет опускать η в математических формулах. ^[25]

Определение радиана в качестве базовой единицы может быть полезным для программного обеспечения, где недостаток длинных уравнений минимален. ^[26] Например, библиотека единиц Boost определяет единицы измерения угла с plane_angleразмерностью, ^[27] и система единиц Mathematica аналогичным образом рассматривает углы как имеющие размерность угла. ^{[28] [29]}

Конверсии

Между степенями

Как уже говорилось, один радиан равен . Таким образом, чтобы перевести радианы в градусы, умножьте величину в радианах на . ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$ ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$

${\displaystyle {\text{angle in degrees}}={\text{magnitude of angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Например:

${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

И наоборот, чтобы перевести градусы в радианы, умножьте величину в градусах на . ${\displaystyle {\pi }/{180}{\text{ rad}}}$

${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{magnitude of angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}}$

Например:

${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

Радианы можно преобразовать в обороты (один оборот — это угол, соответствующий одному обороту), разделив число радиан на 2π .

Между градусами

Один оборот равен радианам, что равно одному обороту , который по определению равен 400 градианам (400 гонам или 400 ^г ). Для перевода из радиан в градианы умножьте величину угла в радианах на , а для перевода из градианов в радианы умножьте величину угла в градианах на . Например, ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$ ${\displaystyle \pi /200{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$

${\displaystyle 50^{\text{g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200}}{\text{ rad}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

Использование

Математика

Некоторые общие углы, измеряемые в радианах. Все большие многоугольники на этой диаграмме являются правильными многоугольниками .

В исчислении и большинстве других разделов математики за пределами практической геометрии углы измеряются в радианах. Это потому, что радианы обладают математической естественностью, которая приводит к более элегантной формулировке некоторых важных результатов.

Результаты анализа , включающего тригонометрические функции, могут быть элегантно изложены, когда аргументы функций выражены в радианах. Например, использование радиан приводит к простой предельной формуле

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

которая является основой многих других тождеств в математике, включая

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

Из-за этих и других свойств тригонометрические функции появляются в решениях математических задач, которые не связаны очевидным образом с геометрическим значением функций (например, решения дифференциального уравнения , оценка интеграла и т. д.). Во всех таких случаях уместно, чтобы аргументы функций рассматривались как (безразмерные) числа — без какой-либо ссылки на углы. ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$ ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},}$

Тригонометрические функции углов также имеют простые и элегантные ряды разложения, когда используются радианы. Например, когда x — числовое значение угла, выраженного в радианах, т.е. x = угол /рад, ряд Тейлора для sin  x становится:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Если бы x было численным значением угла, выраженным в градусах, т.е. числом градусов, то ряд содержал бы беспорядочные множители, включающие степени π /180: если x — число градусов, угол/градус, число радиан, угол/радиан, то y = π x / 180 , поэтому

${\displaystyle \sin y={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

В том же духе, если задействованы углы, математически важные соотношения между функциями синуса и косинуса и показательной функцией (см., например, формулу Эйлера ) могут быть изящно сформулированы, когда аргументы функций являются величинами углов, выраженными в радианах (и беспорядочны в противном случае). В более общем смысле, в теории комплексных чисел аргументы этих функций являются (безразмерными, возможно, комплексными) числами — без какой-либо ссылки на физические углы вообще.

Физика

Радиан широко используется в физике , когда требуются угловые измерения. Например, угловая скорость обычно выражается в единице радиан в секунду (рад/с). Один оборот в секунду соответствует 2 π радиан в секунду.

Аналогично, единицей измерения углового ускорения часто является радиан в секунду за секунду (рад/с ² ).

Для целей размерного анализа единицами измерения угловой скорости и углового ускорения являются с ⁻¹ и с ⁻² соответственно.

Аналогично, разность фазовых углов двух волн также может быть выражена с использованием радиан в качестве единицы. Например, если разность фазовых углов двух волн составляет ( n ⋅2 π ) радиан, где n — целое число, они считаются находящимися в фазе , в то время как если разность фазовых углов двух волн составляет ( n ⋅2 π + π ) радиан, где n — целое число, они считаются находящимися в противофазе.

Единица измерения обратный радиан (рад ^-1 ) используется в производных единицах, таких как метр на радиан (для угловой длины волны ) или ньютон-метр на радиан (для крутильной жесткости).

Префиксы и варианты

Метрические префиксы для дольных единиц используются с радианами. Миллирадиан (мрад) — это тысячная часть радиана (0,001 рад), т. е. 1 рад = 10 ³ мрад . В окружности 2 π × 1000 миллирадиан (≈ 6283,185 мрад). Таким образом, миллирадиан — это чуть меньше ⁠1/6283⁠ угла , охватываемого полной окружностью. Эта единица углового измерения окружности широко используется производителями оптических прицелов, использующими (стадиометрическую) дальномерность в сетках . Расхождение лазерных лучей также обычно измеряется в миллирадианах.

Угловой мил — это приближение миллирадиана, используемого НАТО и другими военными организациями в артиллерии и наведении . Каждый угловой мил представляет ⁠1/6400⁠ круга и является ⁠15/8⁠ % или 1,875% меньше миллирадиана. Для малых углов, обычно встречающихся в работе по наведению, удобство использования числа 6400 в расчетах перевешивает небольшие математические ошибки, которые оно вносит. В прошлом другие артиллерийские системы использовали различные приближения к ⁠1/2000 π⁠ ; например, Швеция использовала ⁠1/6300⁠ стрек и СССР использовали ⁠1/6000⁠ . Будучи основанным на миллирадиане, натовский мил охватывает примерно 1 м на расстоянии 1000 м (при таких малых углах кривизна пренебрежимо мала).

Префиксы меньше милли- полезны при измерении очень малых углов. Микрорадианы (мкрад,10 ⁻⁶  рад ) и нанорадианы (нрад,10−9  рад ) используются в астрономии, а также могут быть использованы ^для измерения качества луча лазеров с ультранизкой расходимостью. Более распространенной является угловая секунда , которая ⁠π/648,000⁠  рад (около 4,8481 микрорадиан).

История

До 20 века

Идея измерения углов по длине дуги использовалась математиками довольно рано. Например, аль-Каши (ок. 1400) использовал так называемые части диаметра в качестве единиц, где одна часть диаметра была ⁠1/60⁠ радиан. Они также использовали шестидесятеричные субъединицы диаметральной части. ^[30] Ньютон в 1672 году говорил об «угловой величине кругового движения тела», но использовал ее только как относительную меру для разработки астрономического алгоритма. ^[31]

Концепция радианной меры обычно приписывается Роджеру Котесу , который умер в 1716 году. К 1722 году его двоюродный брат Роберт Смит собрал и опубликовал математические труды Котеса в книге Harmonia mensurarum . ^[32] В главе редакционных комментариев Смит дал то, что, вероятно, является первым опубликованным расчетом одного радиана в градусах, сославшись на заметку Котеса, которая не сохранилась. Смит описал радиан во всем, кроме названия – «Теперь это число равно 180 градусам, как радиус круга к полуокружности , это как 1 к 3,141592653589» – и признал его естественность как единицы угловой меры. ^{[33] [34]}

В 1765 году Леонард Эйлер неявно принял радиан в качестве единицы измерения угла. ^[31] В частности, Эйлер определил угловую скорость как «Угловая скорость во вращательном движении — это скорость той точки, расстояние которой от оси вращения выражается единицей». ^[35] Эйлер был, вероятно, первым, кто принял это соглашение, называемое соглашением о радианах, которое дает простую формулу для угловой скорости ω = v / r . Как обсуждалось в § Анализ размерностей , соглашение о радианах было широко принято, в то время как размерно согласованные формулировки требуют вставки размерной константы, например ω = v /( ηr ) . ^[25]

До того, как термин радиан стал широко распространенным, единица обычно называлась круговой мерой угла. ^[36] Термин радиан впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных вопросах, заданных Джеймсом Томсоном (братом лорда Кельвина ) в Королевском колледже в Белфасте . Он использовал этот термин еще в 1871 году, в то время как в 1869 году Томас Мьюир , тогда работавший в Университете Сент-Эндрюс , колебался между терминами рад , радиал и радиан . В 1874 году, после консультации с Джеймсом Томсоном, Мьюир принял радиан . ^{[37] [38] [39]} Название радиан не было общепринятым в течение некоторого времени после этого. Школа тригонометрии Лонгмана все еще называла круговую меру радианом, когда она была опубликована в 1890 году. ^[40]

В 1893 году Александр Макфарлейн написал: «истинный аналитический аргумент для круговых отношений — это не отношение дуги к радиусу, а отношение удвоенной площади сектора к квадрату на радиусе». ^[41] По какой-то причине статья была изъята из опубликованных трудов математического конгресса, проведенного в связи с Всемирной Колумбийской выставкой в ​​Чикаго (признано на странице 167), и опубликована в частном порядке в его «Докладах по анализу пространства» (1894). Макфарлейн пришел к этой идее или отношениям площадей, рассматривая основу для гиперболического угла , который определяется аналогично. ^[42]

Как единица СИ

Как пишут Пол Куинси и др., «статус углов в Международной системе единиц (СИ) долгое время был источником споров и путаницы». ^[43] В 1960 году CGPM создала СИ, и радиан был классифицирован как «дополнительная единица» вместе со стерадианом . Этот специальный класс официально считался «либо основными единицами, либо производными единицами», поскольку CGPM не могла прийти к решению о том, является ли радиан основной или производной единицей. ^[44] Ричард Нельсон пишет: «Эта неоднозначность [в классификации дополнительных единиц] вызвала оживленную дискуссию по поводу их правильной интерпретации». ^[45] В мае 1980 года Консультативный комитет по единицам (CCU) рассмотрел предложение сделать радиан основной единицей СИ, используя константу α ₀ = 1 рад , ^{[46] [25]} но отклонил его, чтобы избежать потрясений в текущей практике. ^[25]

В октябре 1980 года CGPM постановила, что дополнительные единицы являются безразмерными производными единицами, для которых CGPM допускает свободу использования или не использования их в выражениях для производных единиц СИ, ^[45] на основании того, что «[не существует формализма], который был бы одновременно последовательным и удобным и в котором величины плоский угол и телесный угол могли бы рассматриваться как основные величины» и что «[возможность трактовать радиан и стерадиан как основные единицы СИ] ставит под угрозу внутреннюю согласованность СИ, основанную только на семи основных единицах». ^[47] В 1995 году CGPM устранила класс дополнительных единиц и определила радиан и стерадиан как «безразмерные производные единицы, названия и символы которых могут, но не обязательно, использоваться в выражениях для других производных единиц СИ, как это удобно». ^[48] ​​Михаил Калинин в своей статье от 2019 года раскритиковал решение CGPM 1980 года как «необоснованное» и заявил, что решение CGPM 1995 года содержало непоследовательные аргументы и внесло «многочисленные несоответствия, непоследовательности и противоречия в формулировки SI». ^[49]

На заседании CCU в 2013 году Питер Мор выступил с докладом о предполагаемых несоответствиях, возникающих из-за определения радиана как безразмерной единицы, а не как базовой единицы. Президент CCU Ян М. Миллс заявил, что это «огромная проблема», и была создана рабочая группа CCU по углам и безразмерным величинам в СИ . ^[50] CCU собрался в 2021 году, но не достиг консенсуса. Небольшое количество членов решительно утверждали, что радиан должен быть базовой единицей, но большинство посчитало, что статус-кво приемлем или что изменение вызовет больше проблем, чем решит. Была создана целевая группа для «анализа исторического использования дополнительных единиц СИ и рассмотрения вопроса о том, принесет ли повторное введение пользу», среди прочего. ^{[51] [52]}

Смотрите также

• Угловая частота
• Минута и секунда дуги
• Стерадиан , многомерный аналог радиана, измеряющий телесный угол
• Тригонометрия

Примечания

1. Другие предложения включают сокращение «rad» (Brinsmade 1936), обозначение (Romain 1962) и константы ם (Brownstein 1997), ◁ (Lévy-Leblond 1998), k (Foster 2010), θ _C (Quincey 2021) и (Mohr et al. 2022). ${\displaystyle \langle \theta \rangle }$ ${\displaystyle {\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}}$

Ссылки

1. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (январь 1909 г.). "Глава VII. Общий угол [55] Знаки и ограничения в значении. Упражнение XV.". Написано в Энн-Арбор, Мичиган, США. Тригонометрия. Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, США. стр. 73 . Получено 12 августа 2017 г.
2. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «CGPM решила интерпретировать дополнительные единицы в СИ, а именно радиан и стерадиан, как безразмерные производные единицы».
3. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r, таким образом, 1 рад = 1».
4. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 137.
5. Протоколы Ocean Optics для проверки спутниковых датчиков цвета океана, редакция 3. Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства, Центр космических полетов имени Годдарда. 2002. стр. 12.
6. Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , стр. APP-4, LCCN  76087042
7. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151.
8. "ISO 80000-3:2006 Величины и единицы — Пространство и время". 17 января 2017 г.
9. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r »
10. Куинси 2016, стр. 844: «Кроме того, как упоминается в работе Мора и Филлипса 2015, радиан можно определить через площадь A сектора ( A = ⁠1/2⁠ θ r ² ), в этом случае он имеет единицы м ² ⋅м ⁻² .
11. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r , таким образом, 1 рад = 1 ».
12. Бриджмен, Перси Уильямс (1922). Размерный анализ. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. Угловая амплитуда качания [...] Нет размерностей.
13. Прандо, Джакомо (август 2020 г.). «Спектральная единица». Nature Physics . 16 (8): 888. Bibcode : 2020NatPh..16..888P. doi : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID  225445454.
14. Леонард, Уильям Дж. (1999). Minds-on Physics: Advanced topics in mechanics. Кендалл Хант. стр. 262. ISBN 978-0-7872-5412-4.
15. Френч, Энтони П. (май 1992 г.). «Что происходит с „радианами“? (комментарий)». The Physics Teacher . 30 (5): 260–261. doi :10.1119/1.2343535.
16. Oberhofer, ES (март 1992). «Что происходит с „радианами“?». The Physics Teacher . 30 (3): 170–171. Bibcode : 1992PhTea..30..170O. doi : 10.1119/1.2343500.
17. Aubrecht, Gordon J.; French, Anthony P.; Iona, Mario; Welch, Daniel W. (февраль 1993 г.). «Радиан — эта проблемная единица». The Physics Teacher . 31 (2): 84–87. Bibcode :1993PhTea..31...84A. doi :10.1119/1.2343667.
18. Бринсмейд 1936; Ромен 1962; Эдер 1982; Торренс 1986; Браунштейн 1997; Леви-Леблон 1998; Фостер 2010; Миллс 2016; Куинси 2021; Леонард 2021; Мор и др. 2022
19. Мор и Филлипс 2015.
20. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж. К. (1 июня 2016 г.). «Последствия принятия плоского угла в качестве базовой величины в СИ». Metrologia . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Bibcode :2016Metro..53..998Q. doi :10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID  119294905.
21. Куинси 2016.
22. Torrens 1986.
23. Мор и др. 2022, стр. 6.
24. Мор и др. 2022, стр. 8–9.
25. Куинси 2021.
26. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж. К. (1 августа 2017 г.). «Более четкий подход к определению систем единиц». Metrologia . 54 (4): 454–460. arXiv : 1705.03765 ​​. Bibcode :2017Metro..54..454Q. doi :10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID  119418270.
27. Schabel, Matthias C.; Watanabe, Steven. "Boost.Units FAQ – 1.79.0". www.boost.org . Получено 5 мая 2022 г. Углы рассматриваются как единицы измерения
28. Мор и др. 2022, стр. 3.
29. "UnityDimensions—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . Получено 1 июля 2022 г. .
30. Лаки, Пол (1953) [Перевод книги 1424 года]. Сигель, А. (ред.). Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Масуд аль-Каси [ Трактат об окружности аль-Каши ]. Берлин: Академия Верлаг. п. 40.
31. Roche, John J. (21 декабря 1998 г.). Математика измерений: критическая история. Springer Science & Business Media. стр. 134. ISBN 978-0-387-91581-4.
32. O'Connor, JJ; Robertson, EF (февраль 2005 г.). "Биография Роджера Коутса". История математики MacTutor . Архивировано из оригинала 2012-10-19 . Получено 2006-04-21 .
33. Котес, Роджер (1722). «Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum». Смит, Роберт (ред.). Harmonia mensurarum (на латыни). Кембридж, Англия. стр. 94–95. В Canone Logarithmico exhibetur Systema quoddam menfurarum numeralium, quæ Logarithmi dicuntur: atque hujus systematis Modulus - это логарифм, который соответствует Rationem Modularem в Corol. 6. определенность. Аналогично в Canone Trigonometrico Finuum & Tangentium, exhibetur Systema quoddam menfurarum numeralium, quæ Gradus appellantur: atque hujus systematis Modulus is est Numerus Graduum, qui metitur Angulum Modularem modo definitun, hoc est, qui continetur in arcu Radio æquali. Eft autem hic Numerus ad Gradus 180 ut Circuli Radius ad Semicircuinferentiam, hoc eft ut 1 ad 3.141592653589 и т. д. Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57,2957795130 и т. д. Cujus Reciprocus eft 0,0174532925 и т. д. Hujus moduli subdio (quem in chartula quadam Auctoris manu descriptum inveni) commodissime computabis mensuras angulares, queinadmodum oftendam in Nota III. [В Логарифмическом каноне представлена ​​определенная система числовых мер, называемых Логарифмами: и Модуль этой системы есть Логарифм , который измеряет модульное отношение, как определено в следствии 6. Аналогично, в тригонометрическом каноне синусов и тангенсов представлена ​​определенная система числовых мер, называемая градусами: и модуль этой системы - это число градусов, которое измеряет модульное отношение. Угол, определенный указанным способом, то есть, который содержится в равной дуге радиуса. Теперь это число равно 180 градусам, как радиус круга к полуокружности, это как 1 к 3,141592653589 и т. д. Следовательно, Модуль Тригонометрического Канона будет 57,2957795130 &c. Обратная величина которого равна 0,0174532925 &c. С помощью этого модуля (который я нашел описанным в заметке, написанной рукой Автора) вам будет удобнее всего вычислить угловые меры, как уже упоминалось. в примечании III.]
34. Гоуинг, Рональд (27 июня 2002 г.). Роджер Коутс — натурфилософ. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-52649-4.
35. Эйлер, Леонард. Теория движения твердых тел [ Теория движения твердых тел ] (PDF) (на латыни). Перевод Брюса, Яна. Определение 6, параграф 316.
36. Айзек Тодхантер, Плоская тригонометрия: для использования в колледжах и школах , стр. 10, Кембридж и Лондон: MacMillan, 1864 OCLC  500022958
37. Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений . Том 2. Dover Publications. С. 147–148. ISBN 0-486-67766-4.
38. • Muir, Thos. (1910). "Термин "радиан" в тригонометрии". Nature . 83 (2110): 156. Bibcode :1910Natur..83..156M. doi : 10.1038/083156a0 . S2CID  3958702.
    • Томсон, Джеймс (1910). «Термин «радиан» в тригонометрии». Nature . 83 (2112): 217. Bibcode :1910Natur..83..217T. doi : 10.1038/083217c0 . S2CID  3980250.
    • Muir, Thos. (1910). «Термин «радиан» в тригонометрии». Nature . 83 (2120): 459–460. Bibcode :1910Natur..83..459M. doi :10.1038/083459d0. S2CID  3971449.
39. Миллер, Джефф (23 ноября 2009 г.). "Самые ранние известные применения некоторых слов математики" . Получено 30 сентября 2011 г.
40. Фредерик Спаркс, Школа тригонометрии Лонгманса , стр. 6, Лондон: Longmans, Green, and Co., 1890 OCLC  877238863 (издание 1891 г.)
41. А. Макфарлейн (1893) «Об определениях тригонометрических функций», стр. 9, ссылка на Интернет-архив
42. Геометрия/Единые углы в Wikibooks
43. Куинси, Пол; Мор, Питер Дж.; Филлипс, Уильям Д. (1 августа 2019 г.). «Углы по своей сути не являются ни отношениями длин, ни безразмерными». Metrologia . 56 (4): 043001. arXiv : 1909.08389 . Bibcode :2019Metro..56d3001Q. doi :10.1088/1681-7575/ab27d7. S2CID  198428043.
44. Le Système International d'Unités (PDF) (на французском языке), 1970, стр. 12. Для тех, кто объединяет международные системы, Генеральная конференция ни разу не прошла или ни разу не приняла решения о том, чтобы объединить базовые или общительные объединения. [Для некоторых единиц СИ ГКМВ до сих пор не решила, являются ли они базовыми или производными единицами.]
45. Nelson, Robert A. (март 1984). «Дополнительные единицы». The Physics Teacher . 22 (3): 188–193. Bibcode : 1984PhTea..22..188N. doi : 10.1119/1.2341516.
46. Отчет 7-го заседания (PDF) (на французском языке), Консультативный комитет по подразделениям, май 1980 г., стр. 6–7.
47. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 174–175.
48. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 179.
49. Калинин, Михаил И (1 декабря 2019 г.). «О статусе плоских и телесных углов в Международной системе единиц (СИ)». Metrologia . 56 (6): 065009. arXiv : 1810.12057 . Bibcode :2019Metro..56f5009K. doi :10.1088/1681-7575/ab3fbf. S2CID  53627142.
50. Консультативный комитет по единицам (11–12 июня 2013 г.). Отчет 21-го заседания Международного комитета мер и весов (Отчет). С. 18–20.
51. Консультативный комитет по единицам (21–23 сентября 2021 г.). Отчет 25-го заседания Международного комитета мер и весов (Отчет). С. 16–17.
52. "CCU Task Group on angle and dimensionless quantitys in the SI Brochure (CCU-TG-ADQSIB)". BIPM . Получено 26 июня 2022 г. .

• Международное бюро мер и весов (20 мая 2019 г.), Международная система единиц (СИ) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, архивировано (PDF) из оригинала 8 мая 2021 г.
• Brinsmade, JB (декабрь 1936 г.). «Плоские и телесные углы. Их педагогическая ценность при явном представлении». American Journal of Physics . 4 (4): 175–179. Bibcode : 1936AmJPh...4..175B. doi : 10.1119/1.1999110.
• Ромен, Жак Э. (июль 1962 г.). «Угол как четвертая фундаментальная величина». Журнал исследований Национального бюро стандартов, раздел B. 66B ( 3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
• Эдер, У. Э. (январь 1982 г.). «Точка зрения на величину «плоского угла»". Metrologia . 18 (1): 1–12. Бибкод : 1982Metro..18....1E. doi : 10.1088/0026-1394/18/1/002. S2CID  250750831.
• Torrens, AB (1 января 1986 г.). «Об углах и угловых величинах». Metrologia . 22 (1): 1–7. Bibcode : 1986Metro..22....1T. doi : 10.1088/0026-1394/22/1/002. S2CID  250801509.
• Браунштейн, К. Р. (июль 1997 г.). «Углы — давайте относиться к ним прямолинейно». Американский журнал физики . 65 (7): 605–614. Bibcode : 1997AmJPh..65..605B. doi : 10.1119/1.18616 .
• Леви-Леблон, Жан-Марк (сентябрь 1998 г.). «Размерные углы и универсальные константы». American Journal of Physics . 66 (9): 814–815. Bibcode :1998AmJPh..66..814L. doi :10.1119/1.18964.
• Фостер, Маркус П. (1 декабря 2010 г.). «Следующие 50 лет SI: обзор возможностей для эпохи электронной науки». Metrologia . 47 (6): R41–R51. doi :10.1088/0026-1394/47/6/R01. S2CID  117711734.
• Mohr, Peter J; Phillips, William D (1 февраля 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ». Metrologia . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Bibcode :2015Metro..52...40M. doi : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
• Куинси, Пол (1 апреля 2016 г.). «Диапазон вариантов обработки плоского угла и телесного угла в системе единиц». Metrologia . 53 (2): 840–845. Bibcode :2016Metro..53..840Q. doi :10.1088/0026-1394/53/2/840. S2CID  125438811.
• Миллс, Ян (1 июня 2016 г.). «О единицах радиан и цикл для величины угла плоскости». Metrologia . 53 (3): 991–997. Bibcode :2016Metro..53..991M. doi :10.1088/0026-1394/53/3/991. S2CID  126032642.
• Куинси, Пол (1 октября 2021 г.). «Углы в системе СИ: подробное предложение по решению проблемы». Metrologia . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Bibcode :2021Metro..58e3002Q. doi :10.1088/1681-7575/ac023f. S2CID  236547235.
• Leonard, BP (1 октября 2021 г.). «Предложение о размерно-согласованной обработке угла и телесного угла Международной системой единиц (СИ)». Metrologia . 58 (5): 052001. Bibcode :2021Metro..58e2001L. doi :10.1088/1681-7575/abe0fc. S2CID  234036217.
• Mohr, Peter J; Shirley, Eric L; Phillips, William D; Trott, Michael (23 июня 2022 г.). «О размерности углов и их единицах». Metrologia . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Bibcode :2022Metro..59e3001M. doi : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Radian на Wikimedia Commons