Разветвленное покрытие

В математике разветвленное покрытие — это отображение, которое является почти покрывающим отображением , за исключением небольшого множества.

В топологии

В топологии, карта является разветвленным покрытием , если она является покрывающей картой везде, за исключением нигде не плотного множества, известного как множество ветвей. Примерами являются карта из клина окружностей в одну окружность, где карта является гомеоморфизмом на каждой окружности.

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии термин разветвленное накрытие используется для описания морфизмов из одного алгебраического многообразия в другое , при этом обе размерности одинаковы, а типичный слой имеет размерность 0. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$

В этом случае будет открытое множество ( для топологии Зарисского ), которое плотно в , такое, что ограничение на ( то есть с на ) неразветвлено . ^{[ необходимо разъяснение ]} В зависимости от контекста, мы можем рассматривать это как локальный гомеоморфизм для сильной топологии , над комплексными числами , или как этальный морфизм в целом (при некоторых немного более сильных гипотезах о плоскостности и отделимости ). В общем случае такой морфизм напоминает покрывающее пространство в топологическом смысле. Например, если и являются компактными римановыми поверхностями , мы требуем только того, чтобы было голоморфным и непостоянным, и тогда существует конечное множество точек , вне которого мы находим честное покрытие ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle V'=f^{-1}(W')}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle V'\to W'}$.

Локус разветвления

Множество исключительных точек на называется локусом ветвления (т.е. это дополнение к наибольшему возможному открытому множеству ). В общем случае монодромия происходит согласно фундаментальной группе действия на листах накрытия (эту топологическую картину можно уточнить также в случае общего базового поля). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W'}$

Расширения Куммера

Разветвленные покрытия легко строятся как расширения Куммера , т.е. как алгебраические расширения поля функций . Гиперэллиптические кривые являются прототипическими примерами.

Неразветвленное покрытие

Тогда неразветвленное покрытие представляет собой возникновение пустого локуса ветвления.

Примеры

Эллиптическая кривая

Морфизмы кривых дают много примеров разветвленных покрытий. Например, пусть C — эллиптическая кривая уравнения

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.}$

Проекция C на ось x представляет собой разветвленное покрытие с геометрией разветвлений, заданной формулой

${\displaystyle x(x-1)(x-2)=0.}$

Это происходит потому, что для этих трех значений x волокно является двойной точкой , тогда как для любого другого значения x волокно состоит из двух различных точек (над алгебраически замкнутым полем ). ${\displaystyle y^{2}=0,}$

Эта проекция индуцирует алгебраическое расширение степени два полей функций : Кроме того, если мы возьмем поля дробей базовых коммутативных колец, мы получим морфизм

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$

Следовательно, эта проекция является разветвленным покрытием степени 2. Его можно гомогенизировать, чтобы построить разветвленное покрытие степени 2 соответствующей проективной эллиптической кривой к проективной прямой.

Плоская алгебраическая кривая

Предыдущий пример можно обобщить на любую алгебраическую плоскую кривую следующим образом. Пусть C — плоская кривая, определяемая уравнением f ( x , y ) = 0 , где f — разделимый и неприводимый многочлен от двух неизвестных. Если n — степень f по y , то волокно состоит из n различных точек, за исключением конечного числа значений x . Таким образом, эта проекция является разветвленным покрытием степени n .

Исключительные значения x являются корнями коэффициента относительно f и корнями дискриминанта f относительно y . ${\displaystyle y^{n}}$

Над корнем r дискриминанта существует по крайней мере разветвленная точка, которая является либо критической точкой , либо особой точкой . Если r также является корнем коэффициента в f , то эта разветвленная точка находится « в бесконечности ». ${\displaystyle y^{n}}$

Над корнем s коэффициента в f кривая C имеет бесконечную ветвь, а волокно в s имеет менее n точек. Однако, если расширить проекцию на проективные завершения C и оси x , и если s не является корнем дискриминанта, проекция становится покрытием над окрестностью s . ${\displaystyle y^{n}}$

Тот факт, что эта проекция является разветвленным покрытием степени n, можно также увидеть, рассматривая поля функций . Фактически, эта проекция соответствует расширению поля степени n

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).}$

Различные последствия

Мы также можем обобщить разветвленные покрытия прямой с различной степенью ветвления. Рассмотрим многочлен вида

${\displaystyle f(x,y)=g(x)}$

при выборе различных точек волокна, заданные исчезающим локусом , меняются. В любой точке, где кратность одного из линейных членов в факторизации увеличивается на единицу, происходит разветвление. ${\displaystyle x=\alpha }$ ${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$ ${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$

Примеры теории схем

Эллиптические кривые

Морфизмы кривых дают много примеров разветвленных покрытий схем. Например, морфизм из аффинной эллиптической кривой в прямую

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

представляет собой разветвленное покрытие с точкой разветвления, заданной формулой

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)}$

Это происходит потому, что в любой точке волокна есть схема ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)}$

Кроме того, если мы возьмем поля дробей базовых коммутативных колец, то получим гомоморфизм полей

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},}$

что является алгебраическим расширением степени два; следовательно, мы получили разветвленное покрытие степени 2 эллиптической кривой до аффинной прямой. Это можно гомогенизировать, чтобы построить морфизм проективной эллиптической кривой до . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Гиперэллиптическая кривая

Гиперэллиптическая кривая обеспечивает обобщение вышеуказанного покрытия степени аффинной прямой, рассматривая аффинную схему, определенную над полиномом вида ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{2}-\prod (x-a_{i})}$где для ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Накрытия более высокой степени аффинной прямой

Мы можем обобщить предыдущий пример, взяв морфизм

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

где не имеет повторных корней. Тогда локус ветвления задается как ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)}$

где волокна задаются как

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)}$

Тогда мы получаем индуцированный морфизм полей дробей

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}}$

Существует -модульный изоморфизм цели с ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}}$

Следовательно, покрытие имеет степень . ${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

Суперэллиптические кривые

Суперэллиптические кривые являются обобщением гиперэллиптических кривых и специализацией предыдущего семейства примеров, поскольку они задаются аффинными схемами из полиномов вида ${\displaystyle X/\mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{k}-f(x)}$где и не имеет повторных корней. ${\displaystyle k>2}$ ${\displaystyle f(x)}$

Разветвленные покрытия проективного пространства

Другой полезный класс примеров исходит из разветвленных покрытий проективного пространства. Учитывая однородный многочлен, мы можем построить разветвленное покрытие с локусом разветвления ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)}$

рассматривая морфизм проективных схем

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}}$

Опять же, это будет покрытие степени . ${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

Приложения

Разветвленные покрытия поставляются с группой симметрии преобразований . Поскольку группа симметрии имеет стабилизаторы в точках локуса ветвления, разветвленные покрытия могут быть использованы для построения примеров орбифолдов или стеков Делиня–Мамфорда . ${\displaystyle C\to X}$ ${\displaystyle G}$

Смотрите также

• Этальный морфизм
• Орбифолд
• Стек (математика)

Ссылки

• Димка, Александру (1992), Особенности и топология гиперповерхностей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97709-6
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Оссерман, Брайан, Разветвленные покрытия сферы Римана (PDF)