Стек (математика)

Обобщение пучка; расслоенная категория, допускающая эффективный спуск

В математике стек или 2-пучок — это, грубо говоря, пучок , который принимает значения в категориях, а не в множествах. Стеки используются для формализации некоторых основных конструкций теории спуска и для построения тонких модульных стеков, когда тонких модульных пространств не существует.

Теория спуска занимается обобщениями ситуаций, в которых изоморфные , совместимые геометрические объекты (такие как векторные расслоения на топологических пространствах ) могут быть «склеены» в рамках ограничения топологического базиса. В более общей постановке ограничения заменяются обратными протягиваниями ; волокнистые категории затем создают хорошую основу для обсуждения возможности такого склеивания. Интуитивное значение стека состоит в том, что это волокнистая категория, такая что «все возможные склеивания работают». Спецификация склеиваний требует определения покрытий, относительно которых склеивания могут рассматриваться. Оказывается, что общий язык для описания этих покрытий — это язык топологии Гротендика . Таким образом, стек формально задается как волокнистая категория над другой базовой категорией, где база имеет топологию Гротендика и где волокнистая категория удовлетворяет нескольким аксиомам, которые гарантируют существование и единственность определенных склеиваний относительно топологии Гротендика.

Обзор

Стеки являются базовой структурой алгебраических стеков (также называемых стеками Артина) и стеков Делиня–Мамфорда, которые обобщают схемы и алгебраические пространства и которые особенно полезны при изучении пространств модулей . Существуют включения:

схемы ⊆ алгебраические пространства ⊆ стеки Делиня–Мамфорда ⊆ алгебраические стеки (стеки Артина) ⊆ стеки.

Эдидин (2003) и Фантечи (2001) дают краткий вводный отчет о стеках, Гомес (2001), Олссон (2007) и Вистоли (2005) дают более подробные введения, а Лаумон и Море-Байи (2000) описывают более продвинутую теорию.

Мотивация и история

Практическое заключение, которое я могу получить от обслуживания, это то, что нужно для того, чтобы увидеть больше критериев, разнообразие модулей (или множество, схема модулей) для классификации вариаций (глобальных, или бесконечно малых) определенных структуры (полные, но не сингулярные, векторные слои и т. д.) не могут существовать, мало хороших гипотез о банальности, свойственности и несингулярности в конечном счете, смысл в том, что есть лишь смысл существования автоморфизмов структуры, которая включает в себя технику де спуск де марша.

Письмо Гротендика Серру, 5 ноября 1959 г.

Концепция стеков берет свое начало в определении данных эффективного спуска в Grothendieck (1959). В письме 1959 года Серру Гротендик заметил, что фундаментальным препятствием для построения хороших пространств модулей является существование автоморфизмов . Основной мотивацией для стеков является то, что если пространство модулей для некоторой задачи не существует из-за существования автоморфизмов, все равно может быть возможно построить стек модулей .

Mumford (1965) изучал группу Пикара стека модулей эллиптических кривых , до того, как были определены стеки. Стеки были впервые определены Giraud (1966, 1971), а термин «стек» был введен Deligne & Mumford (1969) для оригинального французского термина «champ», означающего «поле». В этой статье они также ввели стеки Deligne–Mumford , которые они назвали алгебраическими стеками, хотя термин «алгебраический стек» теперь обычно относится к более общим стекам Артина, введенным Artin  (1974).

При определении коэффициентов схем групповыми действиями часто невозможно, чтобы коэффициент был схемой и при этом удовлетворял желаемым свойствам для коэффициента. Например, если несколько точек имеют нетривиальные стабилизаторы, то категориальный коэффициент не будет существовать среди схем, но он будет существовать как стек.

Точно так же модульные пространства кривых, векторных расслоений или других геометрических объектов часто лучше всего определяются как стеки, а не схемы. Конструирование модульных пространств часто осуществляется путем построения большего пространства, параметризующего рассматриваемые объекты, а затем факторизации по групповому действию для учета объектов с автоморфизмами, которые были пересчитаны.

Определения

Абстрактные стеки

Категория с функтором в категорию называется расслоенной категорией над , если для любого морфизма в и любого объекта из с образом (под функтором) существует обратный путь по . Это означает морфизм с образом такой, что любой морфизм с образом может быть разложен как по единственному морфизму в такому, что функтор отображается на . Элемент называется обратным путем по и является единственным с точностью до канонического изоморфизма. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:z\to y}$ ${\displaystyle G=F\circ H}$ ${\displaystyle g=f\circ h}$ ${\displaystyle h:z\to x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x=F^{*}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$

Категория c называется предстеком над категорией C с топологией Гротендика, если она расслоена над C и для любого объекта U из C и объектов x , y из c с образом U функтор из надкатегории C/U в множества, переводящий F : V → U в Hom( F * x , F * y ), является пучком. Эта терминология не согласуется с терминологией для пучков: предстеки являются аналогами разделенных предстеков, а не предстеков. Некоторые авторы требуют этого как свойства стеков, а не предстеков.

Категория c называется стеком над категорией C с топологией Гротендика, если она является предстек-композицией над C и каждый спусковой элемент является эффективным. Спусковой элемент состоит примерно из покрытия объекта V из C семейством V _i , элементов x _i в слое над V _i и морфизмов f _ji между ограничениями x _i и x _j на V _ij = V _i × _V V _{j ,} удовлетворяющих условию совместимости f _ki = f _kj f _ji . Спусковой элемент называется эффективным , если элементы x _i по существу являются пулбэками элемента x с образом V .

Стек называется стеком в группоидах или (2,1)-пучком , если он также расслоен в группоидах, что означает, что его волокна (обратные образы объектов C ) являются группоидами. Некоторые авторы используют слово «стек» для обозначения более узкого понятия стека в группоидах.

Алгебраические стеки

Алгебраический стек или стек Артина — это стек в группоидах X над сайтом fppf, такой что диагональное отображение X представимо и существует гладкая сюръекция из (стека, связанного с) схемы в X. Морфизм Y X стеков представим , если для каждого морфизма S X из (стека, связанного с) схемы в X, послойное произведение Y  × _X S изоморфно (стеку, связанному с) алгебраическому пространству . Послойное произведение стеков определяется с использованием обычного универсального свойства и изменения требования коммутативности диаграмм на требование 2-коммутативности. См. также морфизм алгебраических стеков для получения дополнительной информации. ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$  

Мотивация представимости диагонали следующая: диагональный морфизм представим тогда и только тогда, когда для любой пары морфизмов алгебраических пространств их послойное произведение представимо. ${\displaystyle \Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle X\times _{\mathfrak {X}}Y}$

Стек Делиня–Мамфорда — это алгебраический стек X , такой что существует этальная сюръекция из схемы в X. Грубо говоря, стеки Делиня–Мамфорда можно рассматривать как алгебраические стеки, объекты которых не имеют бесконечно малых автоморфизмов.

Локальная структура алгебраических стеков

С момента появления алгебраических стеков ожидалось, что они являются локально факторными стеками вида , где — линейно редуктивная алгебраическая группа . Недавно это было доказано: ^[1] если задан квазиразделенный алгебраический стек локально конечного типа над алгебраически замкнутым полем, стабилизаторы которого аффинны, и гладкая и замкнутая точка с линейно редуктивной группой стабилизаторов , то существует этальнoe покрытие фактора GIT , где , такое, что диаграмма ${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$ ${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}$

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

является декартовым, и существует этальный морфизм

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

индуцируя изоморфизм групп стабилизаторов в и . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x}$

Примеры

Элементарные примеры

• Каждый пучок из категории с топологией Гротендика может быть канонически превращен в стек. Для объекта вместо множества есть группоид, объекты которого являются элементами , а стрелки — тождественным морфизмом. ${\displaystyle {\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$
• Более конкретно, пусть будет контравариантным функтором ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

Тогда этот функтор определяет следующую категорию ${\displaystyle H}$

1. объект - это пара, состоящая из схемы и элемента ${\displaystyle (X\to S,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)^{op}}$ ${\displaystyle x\in h(X)}$
2. морфизм состоит из морфизма в такого, что . ${\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}$ ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle h(\phi )(y)=x}$

Через забывчивый функтор категория является категорией, расслоенной над . Например, если является схемой в , то она определяет контравариантный функтор и соответствующая расслоенная категория является ${\displaystyle p:H\to (Sch/S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle h=\operatorname {Hom} (-,X)}$стек, связанный с X . Стеки (или престеки) могут быть построены как вариант этой конструкции. Фактически, любая схемасквазикомпактной диагональюявляетсяалгебраическим стеком, связанным со схемой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Стопки объектов

• Группа -стек .
• Стек модулей векторных расслоений : категория векторных расслоений V → S — это стек над категорией топологических пространств S. Морфизм из V → S в W → T состоит из непрерывных отображений из S в T и из V в W (линейных на волокнах) таких, что очевидный квадрат коммутирует. Условие, что это расслоенная категория, следует из того, что можно взять обратные образы векторных расслоений над непрерывными отображениями топологических пространств, а условие, что данные спуска эффективны, следует из того, что можно построить векторное расслоение над пространством, склеивая векторные расслоения на элементах открытого покрытия.
• Стек квазикогерентных пучков на схемах (относительно fpqc-топологии и более слабых топологий)
• Стек аффинных схем на базовой схеме (снова относительно топологии fpqc или более слабой)

Конструкции со стеками

Коэффициенты стека

Если — схема и — гладкая аффинная групповая схема, действующая на , то существует фактор-алгебраический стек , ^[2] переводящий схему в группоид -торсоров над -схемой с -эквивариантными отображениями в . Явно, учитывая пространство с -действием, сформируйте стек , который (интуитивно говоря) переводит пространство в группоид диаграмм обратного вытягивания ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle Y\to S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

где - -эквивариантный морфизм пространств, а - главное -расслоение. Морфизмы в этой категории - это просто морфизмы диаграмм, где стрелки в правой части равны, а стрелки в левой части - морфизмы главных -расслоений. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Классификация стеков

Частный случай этого, когда X является точкой, дает классифицирующий стек BG гладкой аффинной групповой схемы G : Он назван так, поскольку категория , слой над Y , является в точности категорией главных -расслоений над . Обратите внимание, что сам по себе может рассматриваться как стек, стек модулей главных G -расслоений на Y . ${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$ ${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$

Важным подпримером из этой конструкции является , который является стеком модулей главных -расслоений. Поскольку данные главного -расслоения эквивалентны данным рангового векторного расслоения, это изоморфно стеку модулей ранговых векторных расслоений . ${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Vect_{n}}$

Стек модулей линейных пучков

Стек модулей линейных расслоений таков , что каждое линейное расслоение канонически изоморфно главному -расслоению. Действительно, если дано линейное расслоение над схемой , относительная спецификация ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee }))\to S}$

дает геометрическое линейное расслоение. Удаляя изображение нулевого сечения, получаем главное -расслоение. Наоборот, из представления можно восстановить связанное линейное расслоение. ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})}$

Гербы

Герб — это стек в группоидах, который локально непуст, например, тривиальный герб , который назначает каждой схеме группоид главных -расслоений над схемой для некоторой группы . ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Относительные характеристики и прогнозы

Если A — квазикогерентный пучок алгебр в алгебраическом стеке X над схемой S , то существует стек Spec( A ), обобщающий конструкцию спектра Spec( A ) коммутативного кольца A. Объект Spec( A ) задается S -схемой T , объектом x из X ( T ) и морфизмом пучков алгебр из x *( A ) в координатное кольцо O ( T ) из T .

Если A — квазикогерентный пучок градуированных алгебр в алгебраическом стеке X над схемой S , то существует стек Proj( A ), обобщающий конструкцию проективной схемы Proj( A ) градуированного кольца A .

Стеки модулей

Модули кривых

• Мамфорд (1965) изучил стек модулей M _1,1 эллиптических кривых и показал, что его группа Пикара является циклической порядка 12. Для эллиптических кривых над комплексными числами соответствующий стек подобен частному верхней полуплоскости по действию модулярной группы .
• Пространство модулей алгебраических кривых, определенное как универсальное семейство гладких кривых заданного рода, не существует как алгебраическое многообразие, поскольку, в частности, существуют кривые, допускающие нетривиальные автоморфизмы. Однако существует стек модулей , который является хорошей заменой несуществующего тонкого пространства модулей гладких родовых кривых. В более общем случае существует стек модулей родовых кривых с отмеченными точками. В общем случае это алгебраический стек, и он является стеком Делиня–Мамфорда для или или (другими словами, когда группы автоморфизмов кривых конечны). Этот стек модулей имеет пополнение, состоящее из стека модулей устойчивых кривых (для заданных и ), которое является собственным над Spec Z . Например, является классифицирующим стеком проективной общей линейной группы. (В определении есть тонкость , поскольку для его построения приходится использовать алгебраические пространства, а не схемы.) ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g=1,n\geq 1}$ ${\displaystyle g=0,n\geq 3}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Концевич пространства модулей

Другим широко изучаемым классом пространств модулей являются пространства модулей Концевича, параметризующие пространство устойчивых отображений между кривыми фиксированного рода в фиксированное пространство, образ которого представляет фиксированный класс когомологий. Эти пространства модулей обозначаются ^[3] ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

и может иметь дикое поведение, например, быть сводимыми стеками, компоненты которых не равны по размерности. Например, ^[3] стек модулей

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

имеет гладкие кривые, параметризованные открытым подмножеством . На границе пространства модулей, где кривые могут вырождаться в приводимые кривые, имеется подстек, параметризующий приводимые кривые с компонентой рода и компонентой рода, пересекающейся в одной точке, и отображение отправляет кривую рода в точку. Поскольку все такие кривые рода параметризованы , и существует дополнительный размерный выбор того, где эти кривые пересекаются на кривой рода, граничная компонента имеет размерность . ${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10}$

Другие стеки модулей

• Стек Пикара обобщает многообразие Пикара .
• Стек модулей формальных групповых законов классифицирует формальные групповые законы .
• Инд -схема, такая как бесконечное проективное пространство, а формальная схема — это стек.
• Модульный стек штук используется в геометрической программе Ленглендса . (См. также штуки .)

Геометрические стеки

Взвешенные проективные стеки

Построение взвешенных проективных пространств включает взятие факторного многообразия некоторого по -действию. В частности, действие посылает кортеж ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

и частное этого действия дает взвешенное проективное пространство . Поскольку это можно вместо этого рассматривать как стековое частное, взвешенный проективный стек ^{[4] стр. 30} равен ${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

Взятие нулевого места взвешенного многочлена в линейном расслоении дает стековое взвешенное проективное многообразие. ${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$

Стекированные кривые

Стекированные кривые , или орбикривые, могут быть построены путем взятия стекового фактора морфизма кривых по группе монодромии покрытия над общими точками. Например, возьмем проективный морфизм

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

что в общем случае etale . Стек-фактор домена по дает stacky с stacky точками, имеющими группу стабилизатора в пятых корнях из единицы в -chart. Это потому, что это точки, где крышка разветвляется. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \mu _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$ ${\displaystyle x/y}$

Неаффинный стек

Примером неаффинного стека является полупрямая с двумя стековыми началами. Это может быть построено как копредел двух включений . ${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$

Квазикогерентные пучки на алгебраических стеках

На алгебраическом стеке можно построить категорию квазикогерентных пучков, аналогичную категории квазикогерентных пучков над схемой.

Квазикогерентный пучок — это примерно тот, который локально выглядит как пучок модуля над кольцом. Первая проблема — решить, что подразумевается под «локально»: это включает в себя выбор топологии Гротендика, и для этого есть много возможных вариантов, каждый из которых имеет некоторые проблемы, и ни один из них не кажется полностью удовлетворительным. Топология Гротендика должна быть достаточно сильной, чтобы стек был локально аффинным в этой топологии: схемы локально аффинны в топологии Зарисского, поэтому это хороший выбор для схем, как обнаружил Серр, алгебраические пространства и стеки Делиня–Мамфорда локально аффинны в этальной топологии, поэтому для них обычно используют этальную топологию, в то время как алгебраические стеки локально аффинны в гладкой топологии, поэтому в этом случае можно использовать гладкую топологию. Для общих алгебраических стеков этальная топология не имеет достаточного количества открытых множеств: например, если G — гладкая связная группа, то единственными этальными покрытиями классифицирующего стека BG являются объединения копий BG, чего недостаточно для того, чтобы дать правильную теорию квазикогерентных пучков.

Вместо использования гладкой топологии для алгебраических стеков часто используют ее модификацию, называемую топологией Lis-Et (сокращение от Lisse-Etale: lisse — французский термин для гладкого), которая имеет те же открытые множества, что и гладкая топология, но открытые покрытия задаются этальными, а не гладкими отображениями. Обычно это, кажется, приводит к эквивалентной категории квазикогерентных пучков, но ее проще использовать: например, ее легче сравнивать с этальной топологией на алгебраических пространствах. Топология Lis-Et имеет тонкую техническую проблему: морфизм между стеками в общем случае не дает морфизма между соответствующими топосами. (Проблема в том, что хотя можно построить пару сопряженных функторов f _* , f *, необходимых для геометрического морфизма топосов, функтор f * в общем случае не является точным слева. Эта проблема печально известна тем, что привела к некоторым ошибкам в опубликованных статьях и книгах. ^[5] ) Это означает, что построение обратного образа квазикогерентного пучка при морфизме стеков требует некоторых дополнительных усилий.

Также возможно использовать более тонкие топологии. Большинство разумных «достаточно больших» топологий Гротендика, по-видимому, приводят к эквивалентным категориям квазикогерентных пучков, но чем больше топология, тем сложнее с ней обращаться, поэтому обычно предпочитают использовать меньшие топологии, пока они имеют достаточно открытых множеств. Например, большая топология fppf приводит по сути к той же категории квазикогерентных пучков, что и топология Lis-Et, но имеет тонкую проблему: естественное вложение квазикогерентных пучков в модули O _X в этой топологии не является точным (оно не сохраняет ядра в общем случае).

Другие типы стека

Дифференцируемые стеки и топологические стеки определяются аналогично алгебраическим стекам, за исключением того, что базовая категория аффинных схем заменяется категорией гладких многообразий или топологических пространств.

В более общем смысле можно определить понятие n -пучка или n –1 стека, что является своего рода пучком, принимающим значения в n –1 категориях. Есть несколько неэквивалентных способов сделать это. 1-пучки — это то же самое, что и пучки, а 2-пучки — это то же самое, что и стеки. Они называются высшими стеками.

Очень похожее и аналогичное расширение заключается в разработке теории стеков на недискретных объектах (т. е. пространство на самом деле является спектром в алгебраической топологии). Получающиеся стековые объекты называются производными стеками (или спектральными стеками). В находящейся в разработке книге Якоба Лурье «Спектральная алгебраическая геометрия» изучается обобщение, которое он называет спектральным стеком Делиня–Мамфорда. По определению, это кольцевой ∞-топос , который является étale-local étale спектром E ∞ -кольца ( это понятие включает в себя понятие производной схемы , по крайней мере, в нулевой характеристике.)

Теоретико-множественные задачи

Существуют некоторые незначительные проблемы теории множеств с обычным основанием теории стеков, поскольку стеки часто определяются как определенные функторы в категории множеств и, следовательно, не являются множествами. Есть несколько способов решения этой проблемы:

• Можно работать с вселенными Гротендика: тогда стек является функтором между классами некоторой фиксированной вселенной Гротендика, так что эти классы и стеки являются множествами в большей вселенной Гротендика. Недостаток этого подхода в том, что нужно предполагать существование достаточного количества вселенных Гротендика, что по сути является большой кардинальной аксиомой.
• Можно определить стеки как функторы для множества множеств достаточно большого ранга и тщательно отслеживать ранги различных используемых множеств. Проблема в том, что это требует некоторой дополнительной, довольно утомительной бухгалтерии.
• Можно использовать принципы отражения из теории множеств, утверждающие, что можно найти модели множеств любого конечного фрагмента аксиом ZFC, чтобы показать, что можно автоматически находить множества, которые являются достаточно близкими приближениями к вселенной всех множеств.
• Проблему можно просто игнорировать. Такого подхода придерживаются многие авторы.

Смотрите также

• Алгебраический стек
• Группа чоу-стакана
• Стек Делинь–Мамфорд
• Словарь терминов алгебраической геометрии
• В погоне за стеками
• Факторное пространство алгебраического стека
• Кольцо модульных форм
• Симплициальный предпучок
• Проект «Стекс»
• Торический стек
• Обобщенное пространство

Примечания

1. Альпер, Джарод; Холл, Джек; Райд, Дэвид (2020). «Теорема о срезе Луны étale для алгебраических стеков». Annals of Mathematics . 191 (3): 675–738. doi : 10.4007/annals.2020.191.3.1. hdl : 10150/641331 . ISSN  0003-486X. JSTOR  10.4007/annals.2020.191.3.1. S2CID  3225788.
2. Хайнлот, Йохен (29 января 2009 г.), «Лекции по стеку модулей векторных расслоений на кривой», Affine Flag Manifolds and Principal Bundles , Базель: Springer Basel (опубликовано в 2010 г.), стр. 123–153, doi :10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7
3. Massarenti, Alez. "Moduli of Stable Maps, Gromov-Witten Invariants, and Quantum Cohomology" (PDF) . стр. 1–4. Архивировано (PDF) из оригинала 2018-01-23.
4. Фантечи, Барбара; Манн, Этьен; Нирони, Фабио (2009-09-22). "Гладкие торические стеки DM". arXiv : 0708.1254 [math.AG].
5. См., например, Олссон, Мартин (2007). «Снопы на стогах Артина». Журнал для королевы и математики . 2007 (603): 55–112. дои : 10.1515/CRELLE.2007.012. MR  2312554. S2CID  15445962.

Ссылки

Педагогический

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантехи, Барбара; Гёттше, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки, архивировано из оригинала 2008-05-05
• Гомес, Томас (1999), Алгебраические стеки , arXiv : math/9911199 , Bibcode :1999math.....11199Gпредставляет собой пояснительную статью, описывающую основы стеков с примерами.
• Эдидин, Дэн (2003), «Что такое... стек?» (PDF) , Notices of the AMS , 50 (4): 458–459

Путеводители по литературе

• https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0

Ссылки

• Артин, Майкл (1974), «Версальные деформации и алгебраические стеки», Inventiones Mathematicae , 27 (3): 165–189, Bibcode : 1974InMat..27..165A, doi : 10.1007/BF01390174, ISSN  0020-9910, MR  0399094, S2CID  122887093
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, ISSN  1618-1913, MR  0262240, S2CID  16482150
• Fantechi, Barbara (2001), «Stacks for everyone» (PDF) , Европейский математический конгресс, том I , Progr. Math., т. 201, Базель: Birkhäuser, стр. 349–359, ISBN 3-7643-6417-3, МР  1905329
• Жиро, Жан (1964), «Метод спуска», Société Mathématique de France. Бюллетень. Добавка. Мемуар , 2 : viii+150, MR  0190142
• Жиро, Жан (1966), Cohomologie non abélienne de degree 2 , диссертация, Париж.{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Жиро, Жан (1971), Cohomologie Non Abélienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7
• Гомес, Томас Л. (2001), «Алгебраические стеки», Труды - Математические науки , 111 (1): 1–31, arXiv : math/9911199 , doi :10.1007/BF02829538, MR  1818418, S2CID  373638
• Гротендик, Александр (1959). «Техника спуска и теории существования в алгебраической геометрии. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats». Семинар Бурбаки . 5 (Разоблачение 190).
• Ломон, Жерар; Море-Байи, Лоран (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, том. 39, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3, г-н  1771927К сожалению, в этой книге используется неверное утверждение, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-étale topoi. Некоторые из этих ошибок были исправлены Олссоном (2007).
• Ласло, Ив; Олссон, Мартин (2008), «Шесть операций для пучков на стопках Артина. I. Конечные коэффициенты», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 107 (1): 109–168, arXiv : math/0512097 , doi : 10.1007/s10240-008-0011-6, MR  2434692, S2CID  371801
• Мамфорд, Дэвид (1965), «Проблемы модулей Пикара», в Schilling, OFG (ред.), Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , Нью-Йорк: Harper & Row, стр. 33–81, MR  0201443
• Олссон, Мартин Кристиан (2007), Геращенко, Антон (ред.), Конспекты курса по математике 274: Стеки (PDF)
• Олссон, Мартин (2016), Алгебраические пространства и стеки , Colloquium Publications, т. 62, Американское математическое общество, ISBN 978-1470427986
• Vistoli, Angelo (2005), "Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. обзоры моногр., т. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V, MR  2223406

Дальнейшее чтение

• Морава, Джек (2012). «Теории чего угодно». arXiv : 1202.0684 [math.CT].

Внешние ссылки

• стек в n Lab
• спуск в n Lab
• де Йонг, Айс Йохан, Stacks Project
• Фултон, Уильям, Что такое стек? Видеолекция и заметки MSRI
• Тоен, Бертран (2007), Курс магистратуры 2: Алгебриковые поля (2006–2007)
• «Хорошие вводные ссылки по алгебраическим стекам?»