Логическая дизъюнкция

Логическая связка ИЛИ

Диаграмма Венна ${\displaystyle \scriptstyle A\lor B\lor C}$

В логике дизъюнкция , также известная как логическая дизъюнкция , логическое сложение или инклюзивная дизъюнкция , представляет собой логическую связку, обычно обозначаемую как «или» и читаемую вслух. Например, английское предложение «солнечно или тепло» можно представить в логике с помощью разделительной формулы , предполагая, что оно сокращает «солнечно» и сокращает «тепло». ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle S\lor W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$

В классической логике дизъюнкции придается функциональная семантика истинности, согласно которой формула истинна, если оба и не являются ложными. Поскольку эта семантика позволяет дизъюнктивной формуле быть истинной, когда оба ее дизъюнкта истинны, это инклюзивная интерпретация дизъюнкции, в отличие от исключающей дизъюнкции . Классические теоретические подходы к доказательствам часто даются в терминах таких правил, как введение дизъюнкции и устранение дизъюнкции . Дизъюнкция также получила множество неклассических трактовок, мотивированных такими проблемами, как аргумент Аристотеля о морском сражении , принцип неопределенности Гейзенберга , а также многочисленные несоответствия между классической дизъюнкцией и ее ближайшими эквивалентами в естественных языках . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \phi \lor \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Инклюзивная и исключительная дизъюнкция

Поскольку логическое «или» означает, что формула дизъюнкции истинна, когда истинна одна или обе ее части, ее называют инклюзивной дизъюнкцией . Это контрастирует с исключающей дизъюнкцией , которая верна, когда истинен один или другой аргумент, но не оба (так называемое « исключающее или » или «исключающее ИЛИ»).

Когда необходимо уточнить, имеется ли в виду включающее или исключительное «или», англоговорящие иногда используют словосочетание « и/или ». С точки зрения логики эта фраза идентична «или», но делает включение обоих истинным явным.

Обозначения

В логике и смежных областях дизъюнкция обычно обозначается инфиксным оператором (Unicode U+2228 ∨ LOGICAL OR ). ^[1] К альтернативным обозначениям относятся , используемые в основном в электронике , а также и во многих языках программирования . Иногда также используется английское слово «или», часто написанное заглавными буквами. В префиксной записи логики Яна Лукасевича оператор — сокращение от польского alternatywa (английский: альтернатива). ^[3] ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \vert }$ ${\displaystyle \vert \!\vert }$ ${\displaystyle A}$

Классическая дизъюнкция

Семантика

В семантике логики классическая дизъюнкция — это функциональная операция истинности , которая возвращает значение истинности «истина», если оба ее аргумента не являются «ложными». Его семантическая запись стандартно задается следующим образом: ^[4]

${\displaystyle \models \phi \lor \psi }$     если         или         или оба ${\displaystyle \models \phi }$ ${\displaystyle \models \psi }$

Эта семантика соответствует следующей таблице истинности : ^[1]

Определено другими операторами

В классических логических системах, где логическая дизъюнкция не является примитивом, ее можно определить в терминах примитива « и » ( ) и « не » ( ) как: ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lnot }$

${\displaystyle A\lor B=\neg ((\neg A)\land (\neg B))}$.

В качестве альтернативы его можно определить с точки зрения « подразумевается » ( ) и «не» следующим образом: ^[5] ${\displaystyle \to }$

${\displaystyle A\lor B=(\lnot A)\to B}$.

Последнее можно проверить по следующей таблице истинности:

Характеристики

К дизъюнкции применимы следующие свойства:

• Ассоциативность : ${\displaystyle a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c}$
• Коммутативность : ${\displaystyle a\lor b\equiv b\lor a}$
• Дистрибутивность : ${\displaystyle (a\land (b\lor c))\equiv ((a\land b)\lor (a\land c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\land c))\equiv ((a\lor b)\land (a\lor c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\lor c))\equiv ((a\lor b)\lor (a\lor c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\equiv c))\equiv ((a\lor b)\equiv (a\lor c))}$

• Идемпотентность : ${\displaystyle a\lor a\equiv a}$
• Монотонность : ${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((c\lor a)\rightarrow (c\lor b))}$

${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))}$

• Сохранение истины : интерпретация, при которой всем переменным присваивается значение истинности «истина», дает значение истинности «истина» в результате дизъюнкции.
• Сохранение ложности : интерпретация, при которой всем переменным присваивается значение истинности «ложь», дает значение истинности «ложь» в результате дизъюнкции.

Приложения в информатике

ИЛИ логический вентиль

Операторы , соответствующие логической дизъюнкции, существуют в большинстве языков программирования .

Побитовая операция

Дизъюнкция часто используется для побитовых операций . Примеры:

• 0 или 0 = 0
• 0 или 1 = 1
• 1 или 0 = 1
• 1 или 1 = 1
• 1010 или 1100 = 1110

Оператор orможно использовать для установки битов в битовом поле на 1, соединив orполе с константным полем с соответствующими битами, установленными на 1. Например, x = x | 0b00000001он принудительно установит последний бит в 1, оставив при этом другие биты неизменными. ^{[ нужна цитата ]}

Логическая операция

Многие языки различают побитовую и логическую дизъюнкцию, предоставляя два разных оператора; в языках, следующих за C , поразрядное дизъюнкционирование выполняется с помощью оператора одиночного канала ( |), а логическое дизъюнкция — с помощью оператора двойного канала ( ||).

Логическая дизъюнкция обычно является короткозамкнутой ; то есть, если первый (левый) операнд имеет значение true, то второй (правый) операнд не оценивается. Таким образом, логический оператор дизъюнкции обычно образует точку последовательности .

В параллельном (конкурентном) языке можно замкнуть обе стороны: они оцениваются параллельно, и если одна завершается значением true, другая прерывается. Таким образом, этот оператор называется параллельным или .

Хотя тип выражения логической дизъюнкции в большинстве языков является логическим (и, следовательно, может иметь только значение trueили false), в некоторых языках (например, Python и JavaScript ) оператор логической дизъюнкции возвращает один из своих операндов: первый операнд, если он оценивается как истинное значение, а второй операнд — в противном случае. ^{[6] [7]}

Конструктивная дизъюнкция

Соответствие Карри -Ховарда связывает конструктивистскую форму дизъюнкции с типами тегированных объединений . ^{[ нужна ссылка ] [8]}

Теория множеств

Принадлежность элемента объединенному множеству в теории множеств определяется в терминах логической дизъюнкции: . Из-за этого логическая дизъюнкция удовлетворяет многим из тех же тождеств, что и теоретико-множественное объединение, таким как ассоциативность , коммутативность , дистрибутивность и законы де Моргана , отождествляющие логическое соединение с пересечением множеств , логическое отрицание с дополнением множеств . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle x\in A\cup B\Leftrightarrow (x\in A)\vee (x\in B)}$

Естественный язык

Дизъюнкция в естественных языках не совсем соответствует интерпретации классической логики. Примечательно, что классическая дизъюнкция является инклюзивной, в то время как дизъюнкция естественного языка часто понимается исключительно , как это обычно понимается в следующем английском языке. ^[1] ${\displaystyle \lor }$

• Мэри ест яблоко или грушу.

Этот вывод иногда понимался как следствие , например, Альфредом Тарским , который предположил, что дизъюнкция естественного языка неоднозначна между классической и неклассической интерпретацией. Более поздние работы в области прагматики показали, что этот вывод может быть получен как разговорная импликатура на основе семантического значения, которое ведет себя классически. Однако разделительные конструкции, в том числе венгерские vagy... vagy и французские soit... soit, считаются исключительными по своей сути, что делает неграмматичными контексты , где в противном случае было бы вынуждено инклюзивное прочтение. ^[1]

Подобные отклонения от классической логики были отмечены в таких случаях, как дизъюнкция свободного выбора и упрощение дизъюнктивных антецедентов , когда определенные модальные операторы вызывают интерпретацию дизъюнкции , подобную конъюнкции. Как и в случае с исключительностью, эти выводы анализировались и как импликатуры, и как следствия, вытекающие из неклассической интерпретации дизъюнкции. ^[1]

• Можно яблоко или грушу.

${\displaystyle \rightsquigarrow }$У вас может быть яблоко и груша (но вы не можете иметь оба)

Во многих языках разделительные выражения играют роль в образовании вопросов. Например, хотя следующий английский пример можно интерпретировать как полярный вопрос о том, правда ли, что Мэри является философом или лингвистом, его также можно интерпретировать как альтернативный вопрос о том, какая из двух профессий принадлежит ей. Роль дизъюнкции в этих случаях анализировалась с использованием неклассической логики, такой как альтернативная семантика и любознательная семантика , которые также были приняты для объяснения выводов о свободном выборе и упрощении. ^[1]

• Мэри философ или лингвист?

В английском языке, как и во многих других языках, дизъюнкция выражается сочинительным союзом . Другие языки выражают дизъюнктивные значения различными способами, хотя неизвестно, является ли дизъюнкция сама по себе лингвистической универсалией . Во многих языках, таких как дьирбал и марикопа , дизъюнкция обозначается суффиксом глагола . Например, в приведенном ниже примере Марикопы дизъюнкция отмечена суффиксом šaa . ^[1]

Джонш

Джон- НОМ

Биллш

Билл- НОМ

ваавуумшаа

3 -приходите- ПЛ - ФУТ - ИНФЕР

Johnš Billš vʔaawuumšaa

John-NOM Bill-NOM 3-come-PL-FUT-INFER

— Джон или Билл придут.

Смотрите также

• Подтверждение дизъюнкта
• Побитовое ИЛИ
• Булева алгебра (логика)
• Темы булевой алгебры
• Логический домен
• Булева функция
• Логическая функция
• Дизъюнктивный силлогизм
• Устранение дизъюнкции
• Введение в дизъюнкцию
• Логика первого порядка
• Неравенства Фреше
• Вывод о свободном выборе
• дизъюнкция Херфорда
• Логический график
• Логическое значение
• Операция
• Оператор (программирование)
• ИЛИ ворота
• Пропозициональное исчисление
• Упрощение дизъюнктивных антецедентов

Примечания

• Джордж Буль , внимательно следуя аналогии с обычной математикой, в качестве необходимого условия определения «x + y» предположил, что x и y являются взаимоисключающими. Джевонс , и практически все математические логики после него, на различных основаниях отстаивали определение «логического сложения» в форме, не предполагающей взаимного исключения.

Рекомендации

1. Алони, Мария (2016), «Разрыв», в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. зимы 2016 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 3 сентября 2020 г.
2. «Дизъюнкция | логика» . Британская энциклопедия . Проверено 3 сентября 2020 г.
3. Юзеф Мария Боченский (1959), Краткое изложение математической логики , перевод Отто Берда из французского и немецкого изданий, Дордрехт, Северная Голландия: Д. Рейдель, passim.
4. В целях общности для классических систем в этой записи не указаны параметры оценки. Символ « двойной турникет » здесь означает «семантически влечет за собой». ${\displaystyle \models }$
5. Валицкий, Михал (2016). Введение в математическую логику. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. п. 150. дои : 10.1142/9783. ISBN 978-9814343879.
6. «Документация по Python 3.12.1 — Справочник по языку Python — 6.11 Логические операции» . Проверено 25 декабря 2023 г.
7. «Справочники по JavaScript — Выражения и операторы — Логическое И (&&)» . 25 сентября 2023 г. Проверено 25 декабря 2023 г.
8. Маркус Винисиус Мидена Рамос; де Кейроз, Руи ЖГБ (2015). «Формализация теории бесконтекстного языка». Федеральный университет Пернамбуку : 6. arXiv : 1505.00061 .

Внешние ссылки

• «Дизъюнкция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Алони, Мария . «Дизъюнкция». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Эрик В. Вайсштейн. «Дизъюнкция». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram