Разделение переменных

Метод решения дифференциальных уравнений

В математике разделение переменных (также известное как метод Фурье ) — это один из нескольких методов решения обыкновенных и частных дифференциальных уравнений , в котором алгебра позволяет переписать уравнение так, чтобы каждая из двух переменных оказалась на разных сторонах уравнения .

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Дифференциальное уравнение для неизвестного будет разделяемым, если его можно записать в виде ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}$

где и — заданные функции. Это, возможно, более прозрачно, если записать с использованием as: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}$

Итак, теперь, пока h ( y ) ≠ 0, мы можем переставить члены и получить:

${\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}$

где две переменные x и y были разделены. Обратите внимание, что dx (и dy ) можно рассматривать на простом уровне как просто удобную нотацию, которая обеспечивает удобную мнемоническую помощь для помощи в манипуляциях. Формальное определение dx как дифференциала (бесконечно малого) несколько продвинуто.

Альтернативная нотация

Те, кому не нравится запись Лейбница, могут предпочесть записать это так:

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

но это не делает столь же очевидным, почему это называется «разделением переменных». Интегрируя обе части уравнения по , мы имеем ${\displaystyle x}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

из-за правила подстановки для интегралов .

Если можно оценить два интеграла, можно найти решение дифференциального уравнения. Заметьте, что этот процесс эффективно позволяет нам рассматривать производную как дробь, которую можно разделить. Это позволяет нам решать разделяемые дифференциальные уравнения более удобно, как показано в примере ниже. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

(Обратите внимание, что нам не нужно использовать две константы интегрирования в уравнении ( A1 ), как в

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

(Поскольку одна константа эквивалентна.) ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$

Пример

Рост населения часто моделируется с помощью «логистического» дифференциального уравнения.

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

где - популяция по отношению ко времени , - скорость роста, - пропускная способность среды. Разделение переменных теперь приводит к ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

который легко интегрируется с использованием простейших дробей в левой части, что дает

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

где A — константа интегрирования. Мы можем найти в терминах при t=0. Заметив, получаем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

Обобщение разделимых ОДУ до n-го порядка

Подобно тому, как можно говорить о разделимом ОДУ первого порядка, можно говорить о разделимом ОДУ второго порядка, третьего порядка или n -го порядка. Рассмотрим разделимое ОДУ первого порядка:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

Производную можно также записать следующим образом, чтобы подчеркнуть, что это оператор, действующий на неизвестную функцию y :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$

Таким образом, при разделении переменных для уравнений первого порядка фактически перемещается знаменатель dx оператора на сторону переменной x , а d ( y ) остается на стороне переменной y . Оператор второй производной, по аналогии, распадается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)}$

Операторы третьей, четвертой и n -й производной распадаются таким же образом. Таким образом, подобно разделимому ОДУ первого порядка, можно свести к форме

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

разделимое ОДУ второго порядка приводится к виду

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)}$

и разделимое ОДУ n-го порядка сводится к

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)}$

Пример

Рассмотрим простое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка: Это уравнение является уравнением только y'' и y' , то есть оно сводится к общей форме, описанной выше, и, следовательно, является разделимым. Поскольку это разделимое уравнение второго порядка, соберите все переменные x с одной стороны и все переменные y' с другой, чтобы получить: Теперь проинтегрируйте правую часть по x и левую по y' : Это дает что упрощается до: Теперь это простая интегральная задача, которая дает окончательный ответ: $${\displaystyle y''=(y')^{2}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.}$$ $${\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},}$$ $${\displaystyle y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.}$$ $${\displaystyle y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.}$$

Уравнения с частными производными

Метод разделения переменных также применяется для решения широкого круга линейных уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями, таких как уравнение теплопроводности , волновое уравнение , уравнение Лапласа , уравнение Гельмгольца и бигармоническое уравнение .

Аналитический метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных также был обобщен в вычислительный метод разложения в инвариантных структурах, который может быть использован для решения систем уравнений в частных производных. ^[1]

Пример: однородный случай

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности . Уравнение имеет вид

Переменная u обозначает температуру. Граничное условие однородно, то есть

Попытаемся найти решение, которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям, но обладает следующим свойством: u — произведение, в котором зависимость u от x , t разделена, то есть:

Подставим u обратно в уравнение ( 1 ) и используем правило произведения ,

Поскольку правая часть зависит только от x , а левая часть только от t , обе стороны равны некоторой постоянной величине − ​​λ . Таким образом:

и

− λ здесь — собственное значение для обоих дифференциальных операторов, а T ( t ) и X ( x ) — соответствующие собственные функции .

Теперь покажем, что решения для X ( x ) при значениях λ ≤ 0 не могут существовать:

Предположим, что λ < 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

Из ( 2 ) получаем

и, следовательно, B = 0 = C , что подразумевает, что u тождественно равно 0.

Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

Из ( 7 ) мы заключаем так же, как и в 1, что u тождественно равно 0.

Следовательно, должно быть так, что λ > 0. Тогда существуют действительные числа A , B , C, такие, что

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

и

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

Из ( 7 ) получаем C = 0 и что для некоторого положительного целого числа n ,

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость u имеет специальную форму ( 3 ).

В общем случае сумма решений ( 1 ), удовлетворяющих граничным условиям ( 2 ), также удовлетворяет ( 1 ) и ( 3 ). Следовательно, полное решение может быть дано как

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

где D _n — коэффициенты, определяемые начальным условием.

Учитывая начальное состояние

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$

мы можем получить

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

Это разложение ряда синусов функции f ( x ), которое поддается анализу Фурье. Умножение обеих сторон на и интегрирование по [0, L ] дает ${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

Этот метод требует, чтобы собственные функции X , здесь , были ортогональны и полны . В общем случае это гарантируется теорией Штурма–Лиувилля . ${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

Пример: неоднородный случай

Предположим, что уравнение неоднородно,

с граничным условием таким же, как ( 2 ).

Разложим h ( x,t ), u ( x , t ) и f ( x ) в

где h _n ( t ) и b _n могут быть вычислены путем интегрирования, в то время как u _n ( t ) подлежит определению.

Подставим ( 9 ) и ( 10 ) обратно в ( 8 ) и, учитывая ортогональность синусоидальных функций, получим

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

которые представляют собой последовательность линейных дифференциальных уравнений , которые можно легко решить с помощью, например, преобразования Лапласа или интегрирующего фактора . Наконец, мы можем получить

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

Если граничное условие неоднородно, то разложение ( 9 ) и ( 10 ) больше недействительно. Нужно найти функцию v , которая удовлетворяет только граничному условию, и вычесть ее из u . Функция uv тогда удовлетворяет однородному граничному условию и может быть решена с помощью вышеописанного метода.

Пример: смешанные производные

Для некоторых уравнений, включающих смешанные производные, уравнение не разделяется так легко, как уравнение теплопроводности в первом примере выше, но тем не менее разделение переменных все еще может быть применено. Рассмотрим двумерное бигармоническое уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

Действуя обычным образом, ищем решения вида

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

и мы получаем уравнение

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

Запишем это уравнение в виде

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

Взятие производной этого выражения по дает что означает или и аналогично, взятие производной по приводит к и таким образом или , следовательно, либо F ( x ), либо G ( y ) должно быть константой, скажем −λ. Это далее подразумевает, что либо или являются константами. Возвращаясь к уравнению для X и Y , мы имеем два случая ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0}$ ${\displaystyle G(y)=const.}$ ${\displaystyle F'(x)=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0}$ ${\displaystyle F(x)=const.}$ ${\displaystyle G'(y)=0}$ ${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$ ${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

каждую из которых можно решить, рассмотрев отдельные случаи и отметив, что . ${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$ ${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$

Криволинейные координаты

В ортогональных криволинейных координатах разделение переменных все еще может использоваться, но в некоторых деталях, отличных от декартовых координат. Например, регулярность или периодическое условие могут определять собственные значения вместо граничных условий. См., например, сферические гармоники .

Применимость

Уравнения с частными производными

Для многих уравнений в частных производных, таких как волновое уравнение, уравнение Гельмгольца и уравнение Шредингера, применимость разделения переменных является результатом спектральной теоремы . В некоторых случаях разделение переменных может быть невозможно. Разделение переменных может быть возможно в некоторых системах координат, но не в других, ^[2] и то, какие системы координат допускают разделение, зависит от свойств симметрии уравнения. ^[3] Ниже приведена схема аргументации, демонстрирующей применимость метода к определенным линейным уравнениям, хотя точный метод может отличаться в отдельных случаях (например, в бигармоническом уравнении выше).

Рассмотрим начально-краевую задачу для функции от двух переменных: ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}}$

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

где — дифференциальный оператор относительно , ​​а — дифференциальный оператор относительно с граничными данными: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0}$для ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$для ${\displaystyle 0\leq x\leq l}$

где — известная функция. ${\displaystyle h}$

Мы ищем решения вида . Разделив УЧП на , получаем ${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}$ ${\displaystyle f(x)g(t)}$

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}$

Правая часть зависит только от , а левая часть — только от , поэтому обе они должны быть равны константе , что дает два обыкновенных дифференциальных уравнения ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Tf=Kf,Sg=Kg}$

которые мы можем распознать как задачи на собственные значения для операторов для и . Если — компактный самосопряженный оператор в пространстве вместе с соответствующими граничными условиями, то по Спектральной теореме существует базис для , состоящий из собственных функций для . Пусть спектр будет и пусть — собственная функция с собственным значением . Тогда для любой функции, которая в каждый момент времени квадратично интегрируема относительно , ​​мы можем записать эту функцию как линейную комбинацию . В частности, мы знаем, что решение можно записать как ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda \in E}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)}$

Для некоторых функций . При разделении переменных эти функции задаются решениями ${\displaystyle c_{\lambda }(t)}$ ${\displaystyle Sg=Kg}$

Следовательно, спектральная теорема гарантирует, что разделение переменных (когда это возможно) найдет все решения.

Для многих дифференциальных операторов, таких как , мы можем показать, что они являются самосопряженными путем интегрирования по частям. Хотя эти операторы могут быть некомпактными, их обратные (когда они существуют) могут быть, как в случае волнового уравнения, и эти обратные имеют те же собственные функции и собственные значения, что и исходный оператор (за возможным исключением нуля). ^[4] ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

Матрицы

Матричная форма разделения переменных — сумма Кронекера .

В качестве примера рассмотрим двумерный дискретный лапласиан на регулярной сетке :

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

где и — одномерные дискретные лапласианы в направлениях x и y соответственно, а — тождества соответствующих размеров. Подробности см. в основной статье Сумма Кронекера дискретных лапласианов . ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$ ${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Программное обеспечение

Некоторые математические программы способны выполнять разделение переменных: Xcas ^[5] и другие.

Смотрите также

• Неразделимое дифференциальное уравнение

Примечания

1. Мирошников, Виктор А. (15 декабря 2017 г.). Гармонические волновые системы: уравнения в частных производных разложения Гельмгольца. ISBN 9781618964069.
2. Джон Ренце, Эрик В. Вайсштейн , Разделение переменных
3. Уиллард Миллер (1984) Симметрия и разделение переменных , Cambridge University Press
4. Дэвид Бенсон (2007) Музыка: Математическое предложение , Cambridge University Press, Приложение W
5. «Символическая алгебра и математика с Xcas» (PDF) .

Ссылки

• Полянин, Андрей Д. (2001-11-28). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC . ISBN 1-58488-299-9.
• Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston . doi :10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Аспирантура по математике . Том 140. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.

Внешние ссылки

• «Метод Фурье», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Рензе, Эрик В. Вайсштейн , «Разделение переменных» («Дифференциальное уравнение») на MathWorld .
• Методы обобщенного и функционального разделения переменных в EqWorld: Мир математических уравнений
• Примеры разделения переменных для решения уравнений в частных производных
• «Краткое обоснование разделения переменных»