Дополнение (теория множеств)

Набор элементов, не входящих в данное подмножество

В теории множеств дополнением множества A , часто обозначаемым (или A ′ ), [ ^1] является набор элементов , не входящих в A . ^[2] ${\displaystyle A^{\complement }}$

Когда все элементы во вселенной , то есть все рассматриваемые элементы, считаются членами данного множества U , абсолютным дополнением A является набор элементов в U , которых нет в A.

Относительное дополнение A по отношению к множеству B , также называемое разностью множеств B и A , обозначает набор элементов в B , которых нет в A. ${\displaystyle B\setminus A,}$

Абсолютное дополнение

Абсолютным дополнением белого диска является красная область.

Определение

Если A — это набор, то абсолютное дополнение к A (или просто дополнение к A ) — это набор элементов, не входящих в A (внутри большего набора, который определен неявно). Другими словами, пусть U — множество, содержащее все изучаемые элементы; если нет необходимости упоминать U либо потому, что оно было указано ранее, либо оно очевидно и уникально, то абсолютное дополнение A является относительным дополнением A в U : ^[3]

$${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

Абсолютное дополнение к A обычно обозначается . Другие обозначения включают ^{[2] [4]} ${\displaystyle A^{\complement }}$ ${\displaystyle {\overline {A}},A',}$ ${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.}$

Примеры

• Предположим, что Вселенная представляет собой набор целых чисел . Если А — множество нечетных чисел, то дополнение к А — это множество четных чисел. Если B — это набор чисел , кратных 3, то дополнение к B — это набор чисел, конгруэнтных 1 или 2 по модулю 3 (или, проще говоря, целые числа, не кратные 3).
• Предположим, что Вселенная представляет собой стандартную колоду из 52 карт . Если множество А представляет собой пиковую масть, то дополнение А представляет собой объединение мастей треф, бубн и червей. Если множество B представляет собой объединение мастей треф и бубн, то дополнение B представляет собой объединение мастей червей и пик.
• Когда вселенная представляет собой вселенную множеств , описанную в формализованной теории множеств , абсолютное дополнение множества обычно само по себе не является множеством, а скорее собственным классом . Дополнительную информацию см. в разделе Универсальный набор .

Характеристики

Пусть A и B — два множества во вселенной U. Следующие тождества отражают важные свойства абсолютных дополнений:

Законы де Моргана : ^[5]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

Дополняющие законы: ^[5]

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{If }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.}$

  (это следует из эквивалентности кондиционала его контрапозитиву ).

Инволюция или закон двойного дополнения:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

Отношения между относительным и абсолютным дополнением:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).}$

Связь с установленной разницей:

• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

Первые два закона дополнения, приведенные выше, показывают, что если A — непустое собственное подмножество U , то { A , A ^∁ } — это разбиение U.

Относительное дополнение

Определение

Если A и B являются множествами, то относительное дополнение A в B , ^[5] также называется разностью множеств B и A , [ ^6] является набором элементов в B , но не в A.

Относительное дополнение A к B :​ ${\displaystyle B\cap A^{\complement }=B\setminus A}$

Относительное дополнение A к B обозначается согласно стандарту ISO 31-11 . Иногда пишут, но это обозначение неоднозначно, так как в некоторых контекстах ( например, операции над множествами Минковского в функциональном анализе ) его можно интерпретировать как множество всех элементов, где b берется из B , а a из A. ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle B-A,}$ ${\displaystyle b-a,}$

Формально:

$${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

Примеры

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• Если – множество действительных чисел и – множество рациональных чисел , то – множество иррациональных чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

Характеристики

Пусть A , B и C — три множества. Следующие тождества отражают примечательные свойства относительных дополнений:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  с важным особым случаем , показывающим, что пересечение можно выразить, используя только операцию относительного дополнения. ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Если , то . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$эквивалентно . ${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$

Дополнительное отношение

Бинарное отношение определяется как подмножество произведения множеств. Дополнительное отношение — это дополнение множества в. Дополнение отношения можно записать ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$

логическая матрица ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle R}$

Вместе с композицией отношений и обратными отношениями дополнительные отношения и алгебра множеств являются элементарными операциями исчисления отношений .

нотация LaTeX

В языке набора текста LaTeX команда \setminus^[7] обычно используется для отображения символа разности множеств, который похож на символ обратной косой черты . При визуализации \setminusкоманда выглядит идентично \backslash, за исключением того, что перед косой чертой и за ней немного больше места, как в последовательности LaTeX \mathbin{\backslash}. Вариант \smallsetminusдоступен в пакете amssymb, но этот символ не включен отдельно в Unicode. Символ (в отличие от ) создается . (Он соответствует символу Юникода U+2201 ∁ COMPLEMENT .) ${\displaystyle \complement }$ ${\displaystyle C}$\complement

Смотрите также

• Алгебра множеств  - Тождества и отношения с участием множеств.
• Пересечение (теория множеств)  - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Список тождеств и отношений множеств  . Равенства для комбинаций множеств.
• Наивная теория множеств  - Неформальные теории множеств
• Симметричная разница  - элементы ровно в одном из двух наборов.
• Союз (теория множеств)  - Набор элементов в любом из некоторых множеств.

Примечания

1. «Дополните и установите разницу». web.mnstate.edu . Проверено 4 сентября 2020 г.
2. «Определение дополнения (набора) (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 4 сентября 2020 г.
3. Таким образом, набор, в котором рассматривается дополнение, неявно упоминается в абсолютном дополнении и явно упоминается в относительном дополнении.
4. Бурбаки 1970, с. Е II.6.
5. Halmos 1960, с. 17.
6. Девлин 1979, с. 6.
7. [1] Архивировано 5 марта 2022 г. на Wayback Machine. Полный список символов LaTeX.

Рекомендации

• Бурбаки, Н. (1970). Теория ансамблей (на французском языке). Париж: Германн. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Девлин, Кейт Дж. (1979). Основы современной теории множеств . Университеттекст. Спрингер . ISBN 0-387-90441-7. Збл  0407.04003.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов. Компания Ван Ностранд. ISBN 9780442030643. Збл  0087.04403.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дополнение». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дополнительный набор». Математический мир .