Угловое разрешение

Способность любого устройства формирования изображения различать мелкие детали объекта

Серия изображений, представляющих увеличение M87* с угловым размером в несколько микросекунд , сравнимое с просмотром теннисного мяча на Луне (увеличение от верхнего левого угла против часовой стрелки до верхнего правого угла).

Угловое разрешение описывает способность любого устройства формирования изображения , такого как оптический или радиотелескоп , микроскоп , камера или глаз , различать мелкие детали объекта, что делает его основным фактором, определяющим разрешение изображения . Он используется в оптике применительно к световым волнам, в теории антенн применительно к радиоволнам и в акустике применительно к звуковым волнам. Разговорное использование термина «резолюция» иногда вызывает путаницу; Когда говорят, что оптическая система имеет высокое разрешение или высокое угловое разрешение, это означает, что воспринимаемое расстояние или фактическое угловое расстояние между разрешенными соседними объектами невелико. Величина, определяющая это свойство количественно, θ, определяемая критерием Рэлея, мала для системы с высоким разрешением. Тесно связанный термин «пространственное разрешение» относится к точности измерения по отношению к пространству, которая напрямую связана с угловым разрешением в инструментах формирования изображений. Критерий Рэлея показывает, что минимальный угловой разброс, который может быть разрешен системой формирования изображения, ограничен дифракцией отношению длины волны к ширине апертуры . По этой причине системы визуализации с высоким разрешением, такие как астрономические телескопы , телеобъективы с дальним расстоянием и радиотелескопы, имеют большую апертуру.

Значение терминов

Разрешающая способность — это способность устройства формирования изображений разделять (т. е. видеть как отдельные) точки объекта, расположенные на небольшом угловом расстоянии , или способность оптического прибора разделять удаленные объекты, расположенные близко друг к другу. , на отдельные изображения. Термин «разрешение» или минимальное разрешаемое расстояние — это минимальное расстояние между различимыми объектами на изображении, хотя этот термин широко используется многими пользователями микроскопов и телескопов для описания разрешающей способности. Как поясняется ниже, разрешение, ограниченное дифракцией, определяется критерием Рэлея как угловое разделение двух точечных источников, когда максимум каждого источника лежит в первом минимуме дифракционной картины ( диск Эйри ) другого. В научном анализе, как правило, термин «разрешение» используется для описания точности, с которой любой прибор измеряет и записывает (на изображении или в спектре) любую переменную в исследуемом образце или образце.

Критерий Рэлея

Воздушные дифракционные картины , создаваемые светом от двух точечных источников , проходящих через круглую апертуру , например, зрачок глаза. Можно выделить точки, находящиеся далеко друг от друга (вверху) или отвечающие критерию Рэлея (в центре). Точки, находящиеся ближе критерия Рэлея (внизу), различить сложно.

Разрешение системы визуализации может быть ограничено либо аберрацией , либо дифракцией , вызывающей размытие изображения. Эти два явления имеют разное происхождение и не связаны между собой. Аберрации можно объяснить с помощью геометрической оптики и в принципе решить, увеличив оптическое качество системы. С другой стороны, дифракция обусловлена ​​волновой природой света и определяется конечной апертурой оптических элементов. Круглая апертура линзы аналогична двумерной версии эксперимента с одной щелью . Свет , проходящий через линзу, интерферирует сам с собой, создавая дифракционную картину в форме кольца, известную как картина Эйри , если волновой фронт прошедшего света считать сферическим или плоским над выходной апертурой.

Взаимодействие дифракции и аберрации можно охарактеризовать функцией рассеяния точки (PSF). Чем уже апертура линзы, тем больше вероятность того, что в PSF преобладает дифракция. В этом случае угловое разрешение оптической системы можно оценить (по диаметру апертуры и длине волны света) по критерию Рэлея, определенному лордом Рэлеем : два точечных источника считаются только что разрешенными, когда главный дифракционный максимум (центр) диска Эйри одного изображения совпадает с первым минимумом диска Эйри другого изображения, ^{[1] [2]} , как показано на прилагаемых фотографиях. (На нижней фотографии справа, на которой показан предел критерия Рэлея, центральный максимум одного точечного источника может выглядеть так, как будто он лежит за пределами первого минимума другого, но проверка с помощью линейки подтверждает, что они действительно пересекаются.) Если расстояние больше, две точки хорошо разрешены, а если оно меньше, они считаются не разрешенными. Рэлей защищал этот критерий на источниках равной силы. ^[2]

Учитывая дифракцию через круглое отверстие, это означает:

${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad ({\text{considering that}}\,\sin \theta \approx \theta )}$

где θ — угловое разрешение ( радианы ), λ — длина волны света, а D — диаметр апертуры линзы. Коэффициент 1,22 получен из расчета положения первого темного круглого кольца, окружающего центральный диск Эйри дифракционной картины . Точнее, это число равно 1,21966989... ( OEIS : A245461 ), первому нулю функции Бесселя первого порядка первого рода, разделенной на π . ${\displaystyle J_{1}(x)}$

Формальный критерий Рэлея близок к эмпирическому пределу разрешения, найденному ранее английским астрономом У. Р. Доусом , который проверял людей-наблюдателей на близких двойных звездах равной яркости. Результат, θ = 4,56/ D , где D в дюймах и θ в угловых секундах , немного уже, чем рассчитано с использованием критерия Рэлея. Расчет с использованием дисков Эйри в качестве функции разброса точек показывает, что в пределе Дауэса провал между двумя максимумами составляет 5%, тогда как в критерии Рэлея провал составляет 26,3%. ^[3] Современные методы обработки изображений , включая деконволюцию функции рассеяния точки, позволяют разрешать двойные объекты с еще меньшим угловым разделением.

Используя приближение малого угла , угловое разрешение может быть преобразовано в пространственное разрешение , ℓ , путем умножения угла (в радианах) на расстояние до объекта. Для микроскопа это расстояние близко к фокусному расстоянию f объектива . В этом случае критерий Рэлея гласит:

${\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}}$.

Это радиус в плоскости изображения наименьшего пятна, в котором может быть сфокусирован коллимированный луч света , что также соответствует размеру наименьшего объекта, который может разрешить линза. ^[4] Размер пропорционален длине волны λ , поэтому, например, синий свет можно сфокусировать в пятно меньшего размера, чем красный свет. Если линза фокусирует луч света конечной протяженности (например, лазерный луч), значение D соответствует диаметру светового луча, а не линзы. ^{[Примечание 1]} Поскольку пространственное разрешение обратно пропорционально D , это приводит к несколько неожиданному результату: широкий луч света может быть сфокусирован в пятно меньшего размера, чем узкий. Этот результат связан с фурье-свойствами линзы.

Аналогичный результат справедлив и для небольшого датчика, отображающего объект, находящийся на бесконечности: угловое разрешение можно преобразовать в пространственное разрешение датчика, используя f в качестве расстояния до датчика изображения; это связывает пространственное разрешение изображения с f-числом ,ж/#:

${\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)}$.

Поскольку это радиус диска Эйри, разрешение лучше оценивать по диаметру, ${\displaystyle 2.44\lambda \cdot (f/\#)}$

Конкретные случаи

Логарифмический график зависимости диаметра апертуры от углового разрешения на дифракционном пределе для различных длин волн света по сравнению с различными астрономическими инструментами. Например, синяя звезда показывает, что космический телескоп Хаббл почти дифракционно ограничен в видимом спектре на уровне 0,1 угловой секунды, тогда как красный кружок показывает, что человеческий глаз теоретически должен иметь разрешающую способность 20 угловых секунд, хотя обычно только 60 угловых секунд. .

Одиночный телескоп

Точечные источники, разделенные углом, меньшим углового разрешения, не могут быть разрешены. Один оптический телескоп может иметь угловое разрешение менее одной угловой секунды , но астрономические наблюдения и другие атмосферные эффекты делают достижение этого очень трудным.

Угловое разрешение R телескопа обычно можно аппроксимировать выражением

${\displaystyle R={\frac {\lambda }{D}}}$

где λ — длина волны наблюдаемого излучения, а D — диаметр объектива телескопа . Полученное значение R выражается в радианах . Например, в случае желтого света с длиной волны 580  нм для разрешения 0,1 угловой секунды нам необходимо D=1,2 м. Источники, превышающие угловое разрешение, называются протяженными источниками или диффузными источниками, а источники меньшего размера называются точечными источниками.

Эта формула для света с длиной волны около 562 нм также называется пределом Дауэса .

Массив телескопов

Наивысшее угловое разрешение телескопов может быть достигнуто с помощью массивов телескопов, называемых астрономическими интерферометрами : эти инструменты могут достигать углового разрешения 0,001 угловой секунды на оптических длинах волн и гораздо более высокого разрешения на длинах волн рентгеновского излучения. Для получения изображений с синтезом апертуры требуется большое количество телескопов, расположенных в двухмерном расположении с размерной точностью, превышающей долю (0,25x) требуемого разрешения изображения.

Угловое разрешение R массива интерферометров обычно можно аппроксимировать выражением

${\displaystyle R={\frac {\lambda }{B}}}$

где λ — длина волны наблюдаемого излучения, а B — длина максимального физического разделения телескопов в решетке, называемая базовой линией . Полученное значение R выражается в радианах . Источники, превышающие угловое разрешение, называются протяженными источниками или диффузными источниками, а источники меньшего размера называются точечными источниками.

Например, чтобы сформировать изображение в желтом свете с длиной волны 580 нм и разрешением 1 угловая миллисекунда, нам потребуются телескопы, расположенные в массиве размером 120 м × 120 м с размерной точностью лучше 145. нм.

Микроскоп

Разрешение R (здесь измеряется как расстояние, не путать с угловым разрешением предыдущего подраздела) зависит от угловой апертуры : ^[5] ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{condenser}}+\mathrm {NA} _{\text{objective}}}}}$где . ${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta }$

Здесь NA — числовая апертура , — половина внутреннего угла линзы, зависящая от диаметра линзы и ее фокусного расстояния, — показатель преломления среды между линзой и образцом, — длина волны света, освещающего или исходящие от (в случае флуоресцентной микроскопии) образца. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Отсюда следует, что числовые апертуры как объектива, так и конденсора должны быть как можно выше для максимального разрешения. В случае, если обе NA одинаковы, уравнение можно свести к:

${\displaystyle R={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}\approx {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}}$

Практический предел составляет около 70°. В сухом объективе или конденсоре максимальная числовая апертура составляет 0,95. В масляно-иммерсионной линзе высокого разрешения максимальная числовая апертура обычно составляет 1,45 при использовании иммерсионного масла с показателем преломления 1,52. Из-за этих ограничений предел разрешения светового микроскопа, использующего видимый свет, составляет около 200  нм . Учитывая, что самая короткая длина волны видимого света — фиолетовая ( ), ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \lambda \approx 400\,\mathrm {nm} }$

${\displaystyle R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}}$

что составляет около 200 нм.

Объективы с масляной иммерсией могут иметь практические трудности из-за их малой глубины резкости и чрезвычайно короткого рабочего расстояния, что требует использования очень тонких (0,17 мм) покровных стекол или, в инвертированном микроскопе, тонких чашек Петри со стеклянным дном .

Однако разрешение ниже этого теоретического предела может быть достигнуто с помощью микроскопии сверхвысокого разрешения . К ним относятся оптические ближние поля ( сканирующий оптический микроскоп ближнего поля ) или метод дифракции, называемый 4Pi STED-микроскопией . Объекты размером всего 30 нм были решены с помощью обоих методов. ^{[6] [7]} В дополнение к этому фотоактивируемая локализационная микроскопия может разрешать структуры такого размера, но также способна давать информацию в направлении z (3D).

Список телескопов и решеток по угловому разрешению

Смотрите также

• Угловой диаметр
• Диаметр луча
• Предел Дауэса
• Дифракционно-ограниченная система
• Расстояние до образца грунта
• Разрешение изображения
• Оптическое разрешение
• Предел разрешения Воробья
• Острота зрения

Примечания

1. В случае лазерных лучей анализ Гауссовой оптики более подходит, чем критерий Рэлея, и может выявить меньший размер пятна, ограниченный дифракцией, чем тот, который указан в формуле выше.

Рекомендации

1. Борн, М .; Вольф, Э. (1999). Принципы оптики . Издательство Кембриджского университета . п. 461. ИСБН 0-521-64222-1.
2. Лорд Рэлей, FRS (1879). «Исследования по оптике с особым упором на спектроскоп». Философский журнал . 5. 8 (49): 261–274. дои : 10.1080/14786447908639684.
3. Мишале, X. (2006). «Использование статистики фотонов для повышения разрешения микроскопии». Труды Национальной академии наук . 103 (13): 4797–4798. Бибкод : 2006PNAS..103.4797M. дои : 10.1073/pnas.0600808103 . ПМЦ 1458746 . ПМИД  16549771. 
4. «Дифракция: дифракция Фраунгофера на круглой апертуре» (PDF) . Руководство по оптике Меллеса Гриота . Мелес Гриот. 2002. Архивировано из оригинала (PDF) 8 июля 2011 г. Проверено 4 июля 2011 г.
5. Дэвидсон, MW «Резолюция». Микроскопия NikonU . Никон . Проверено 1 февраля 2017 г.
6. Пол, Д.В.; Денк, В.; Ланц, М. (1984). «Оптическая стетоскопия: запись изображений с разрешением λ/20». Письма по прикладной физике . 44 (7): 651. Бибкод : 1984ApPhL..44..651P. дои : 10.1063/1.94865 .
7. Дыба, М. «4Pi-STED-Микроскопия...» Общество Макса Планка , Отдел нанобиофотоники . Проверено 1 февраля 2017 г.
8. «Изображения с самым высоким угловым разрешением в астрономии». Радиоастрономический институт Макса Планка . 13 мая 2022 г. Проверено 26 сентября 2022 г.
9. де Зеув, Тим (2017). «Достижение новых высот в астрономии – долгосрочные перспективы ESO». Мессенджер . 166 : 2.arXiv : 1701.01249 .
10. "Космический телескоп Хаббл". НАСА . 9 апреля 2007 г. Проверено 27 сентября 2022 г.
11. Далкантон, Джулианна; Сигер, Сара; Эгрейн, Сюзанна; Баттель, Стив; Брандт, Ниль; Конрой, Чарли; Фейнберг, Ли; Гезари, Суви; Гийон, Оливье; Харрис, Уолт; Хирата, Крис; Мэзер, Джон; Почтальон, Марк; Реддинг, Дэйв; Шиминович, Давид; Шталь, Х. Филип; Тумлинсон, Джейсон (2015). «От космического рождения к живым землям: будущее космической астрономии УВОИР». arXiv : 1507.04779 [astro-ph.IM].
12. "Часто задаваемые вопросы, полный общедоступный телескоп Уэбба / НАСА" . jwst.nasa.gov . 10 сентября 2002 г. Проверено 27 сентября 2022 г.

Внешние ссылки

• «Концепции и формулы в микроскопии: разрешение», Майкл В. Дэвидсон, Nikon MicrocracyU (веб-сайт).