Эргодическая теория

Раздел математики, изучающий динамические системы.

Эргодическая теория — это раздел математики , изучающий статистические свойства детерминированных динамических систем ; это изучение эргодичности . В этом контексте «статистические свойства» относятся к свойствам, которые выражаются через поведение временных средних различных функций вдоль траекторий динамических систем. Понятие детерминированных динамических систем предполагает, что уравнения, определяющие динамику, не содержат никаких случайных возмущений, шума и т. д. Таким образом, статистика, с которой мы имеем дело, является свойствами динамики.

Эргодическая теория, как и теория вероятностей , основана на общих понятиях теории меры . Ее первоначальное развитие было мотивировано проблемами статистической физики .

Центральным вопросом эргодической теории является поведение динамической системы, когда ей позволяют работать в течение длительного времени. Первым результатом в этом направлении является теорема о возвращении Пуанкаре , которая утверждает, что почти все точки в любом подмножестве фазового пространства в конечном итоге возвращаются в это множество. Системы, для которых теорема о возвращении Пуанкаре верна, являются консервативными системами ; таким образом, все эргодические системы являются консервативными.

Более точную информацию предоставляют различные эргодические теоремы , которые утверждают, что при определенных условиях среднее по времени функции вдоль траекторий существует почти всюду и связано с пространственным средним. Две из наиболее важных теорем — это теоремы Биркгофа (1931) и фон Неймана , которые утверждают существование среднего по времени вдоль каждой траектории. Для специального класса эргодических систем это среднее по времени одинаково почти для всех начальных точек: статистически говоря, система, которая развивается в течение длительного времени, «забывает» свое начальное состояние. Более сильные свойства, такие как смешивание и равнораспределение , также были широко изучены.

Проблема метрической классификации систем является еще одной важной частью абстрактной эргодической теории. Выдающуюся роль в эргодической теории и ее приложениях к стохастическим процессам играют различные понятия энтропии для динамических систем.

Понятия эргодичности и эргодической гипотезы являются центральными для приложений эргодической теории. Основная идея заключается в том, что для некоторых систем среднее по времени их свойств равно среднему по всему пространству. Приложения эргодической теории к другим частям математики обычно включают установление свойств эргодичности для систем специального вида. В геометрии методы эргодической теории использовались для изучения геодезического потока на римановых многообразиях , начиная с результатов Эберхарда Хопфа для римановых поверхностей отрицательной кривизны. Цепи Маркова образуют общий контекст для приложений в теории вероятностей . Эргодическая теория имеет плодотворные связи с гармоническим анализом , теорией Ли ( теория представлений , решетки в алгебраических группах ) и теорией чисел (теория диофантовых приближений , L-функции ).

Эргодические преобразования

Эргодическая теория часто занимается эргодическими преобразованиями . Интуиция, стоящая за такими преобразованиями, которые действуют на заданное множество, заключается в том, что они выполняют тщательную работу по «перемешиванию» элементов этого множества. Например, если множество представляет собой некоторое количество горячей овсянки в миске, и если в миску капнуть ложку сиропа, то итерации обратного эргодическому преобразованию овсянки не позволят сиропу оставаться в локальной подобласти овсянки, но равномерно распределят сироп по всему объему. В то же время эти итерации не будут сжимать или расширять какую-либо часть овсянки: они сохраняют меру, которая является плотностью.

Формальное определение выглядит следующим образом:

Пусть T  : X → X — сохраняющее меру преобразование на пространстве с мерой ( X , Σ , μ ) , причем μ ( X ) = 1. Тогда T является эргодическим , если для каждого E из Σ с μ( T ⁻¹ ( E )ΔE ) = 0 ( то есть E инвариантно ), либо μ ( E ) = 0, либо μ ( E ) = 1 .

Оператор Δ здесь — симметрическая разность множеств, эквивалентная операции «исключающее ИЛИ» относительно принадлежности множеству. Условие, что симметрическая разность имеет меру ноль, называется существенно инвариантным .

Примеры

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Системы представляют собой массивные частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается и «растекается» по фазовому пространству. Однако это не эргодическое поведение, поскольку системы не посещают левую потенциальную яму.

• Иррациональное вращение окружности R / Z , T : x → x + θ, где θ иррационально , является эргодическим. Это преобразование обладает еще более сильными свойствами уникальной эргодичности , минимальности и равнораспределенности . Напротив, если θ = p / q рационально (в низших терминах), то T является периодическим с периодом q , и, таким образом, не может быть эргодическим: для любого интервала I длины a , 0 < a < 1/ q , его орбита относительно T (то есть объединение I , T ( I ), ..., T ^{q −1} ( I ), которое содержит образ I при любом количестве применений T ) является T -инвариантным mod 0 множеством , которое является объединением q интервалов длины a , следовательно, оно имеет меру qa строго между 0 и 1.
• Пусть G — компактная абелева группа , μ — нормализованная мера Хаара , а T — групповой автоморфизм группы G. Пусть G * — двойственная по Понтрягину группа, состоящая из непрерывных характеров группы G , а T * — соответствующий присоединенный автоморфизм группы G *. Автоморфизм T является эргодическим тогда и только тогда, когда равенство ( T *) ⁿ ( χ ) =  χ возможно только при n  = 0 или χ — тривиальный характер группы G. В частности, если G — n -мерный тор , а автоморфизм T представлен унимодулярной матрицей A , то T является эргодическим тогда и только тогда, когда никакое собственное значение матрицы A не является корнем из единицы .
• Сдвиг Бернулли является эргодическим. В более общем смысле эргодичность преобразования сдвига, связанного с последовательностью независимых случайных величин и некоторыми более общими стационарными процессами, следует из закона нуля-единицы Колмогорова .
• Эргодичность непрерывной динамической системы означает, что ее траектории «размазываются» по фазовому пространству . Система с компактным фазовым пространством, имеющая непостоянный первый интеграл, не может быть эргодической. Это относится, в частности, к гамильтоновым системам с первым интегралом I, функционально независимым от функции Гамильтона H , и компактным множеством уровня X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} постоянной энергии. Теорема Лиувилля подразумевает существование конечной инвариантной меры на X , но динамика системы ограничена множествами уровня I на X , следовательно, система обладает инвариантными множествами положительной, но меньшей полной меры. Свойство непрерывных динамических систем, противоположное эргодичности, — полная интегрируемость .

Эргодические теоремы

Пусть T : X → X — сохраняющее меру преобразование на пространстве с мерой ( X , Σ, μ ) и предположим, что ƒ — μ -интегрируемая функция, т.е. ƒ ∈ L ¹ ( μ ). Тогда мы определим следующие средние :

Среднее по времени: определяется как среднее значение (если оно существует) по итерациям T, начиная с некоторой начальной точки x :

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$

Пространственное среднее: Если μ ( X ) конечно и не равно нулю, мы можем рассмотреть пространственное или фазовое среднее ƒ:

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (For a probability space, }}\mu (X)=1.)}$

В общем случае среднее по времени и среднее по пространству могут быть разными. Но если преобразование эргодическое, а мера инвариантна, то среднее по времени почти всюду равно среднему по пространству . Это знаменитая эргодическая теорема в абстрактной форме, принадлежащая Джорджу Дэвиду Биркгофу . (На самом деле, статья Биркгофа рассматривает не абстрактный общий случай, а только случай динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений на гладком многообразии.) Теорема о равнораспределении является частным случаем эргодической теоремы, касающимся распределения вероятностей на единичном интервале.

Точнее, точечная или сильная эргодическая теорема утверждает, что предел в определении среднего по времени ƒ существует почти для каждого x и что (почти всюду определенная) предельная функция интегрируема: ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$

Кроме того, является T -инвариантным, то есть ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$

выполняется почти всюду, и если μ ( X ) конечно, то нормализация та же самая:

${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$

В частности, если T эргодичен, то должен быть константой (почти всюду), и поэтому имеем, что ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$

почти всюду. Объединяя первое и последнее утверждение и предполагая, что μ ( X ) конечно и не равно нулю, получаем, что

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$

для почти всех x , т. е. для всех x, за исключением множества меры нуль.

Для эргодического преобразования среднее по времени почти наверняка равно среднему по пространству.

В качестве примера предположим, что пространство мер ( X , Σ, μ ) моделирует частицы газа, как указано выше, и пусть ƒ( x ) обозначает скорость частицы в точке x . Тогда точечные эргодические теоремы говорят, что средняя скорость всех частиц в некоторый заданный момент времени равна средней скорости одной частицы за определенное время.

Обобщением теоремы Биркгофа является субаддитивная эргодическая теорема Кингмана .

Вероятностная формулировка: теорема Биркгофа–Хинчина

Теорема Биркгофа–Хинчина . Пусть ƒ измерима, E (|ƒ|) < ∞, а T — сохраняющее меру отображение. Тогда с вероятностью 1 :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),}$

где — условное математическое ожидание , заданное σ-алгеброй инвариантных множеств T. ${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Следствие ( точечная эргодическая теорема ): В частности, если T также эргодична, то является тривиальной σ-алгеброй, и, таким образом, с вероятностью 1: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}$

Средняя эргодическая теорема

Средняя эргодическая теорема фон Неймана справедлива в гильбертовых пространствах. ^[1]

Пусть U — унитарный оператор в гильбертовом пространстве H ; в более общем смысле — изометрический линейный оператор (то есть не обязательно сюръективный линейный оператор, удовлетворяющий ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ для всех x в H , или, что эквивалентно, удовлетворяющий U * U = I, но не обязательно UU * = I). Пусть P — ортогональная проекция на { ψ  ∈  H  |  Uψ  = ψ} = ker( I  −  U ).

Тогда для любого x из H имеем:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$

где предел относится к норме на H. Другими словами, последовательность средних

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$

сходится к P в сильной операторной топологии .

Действительно, нетрудно видеть, что в этом случае любая допускает ортогональное разложение на части из и соответственно. Первая часть инвариантна во всех частичных суммах по мере роста, тогда как для второй части из телескопического ряда можно было бы иметь: ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle \ker(I-U)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (I-U)}}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=\lim _{N\to \infty }{1 \over N}(I-U^{N})=0}$

Эта теорема конкретизирует случай, когда гильбертово пространство H состоит из L2 ^{функций} на пространстве с мерой, а U — оператор вида

${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)\,}$

где T — сохраняющий меру эндоморфизм X , рассматриваемый в приложениях как представляющий временной шаг дискретной динамической системы. ^[2] Эргодическая теорема утверждает, что среднее поведение функции ƒ на достаточно больших временных масштабах аппроксимируется ортогональной компонентой ƒ, которая инвариантна во времени.

В другой форме средней эргодической теоремы пусть U _t — сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов на H. Тогда оператор

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}\,dt}$

сходится в сильной операторной топологии при T → ∞. Фактически, этот результат распространяется и на случай сильно непрерывной однопараметрической полугруппы сжимающих операторов на рефлексивном пространстве.

Замечание: Некоторая интуиция для теоремы о средней эргодичности может быть развита путем рассмотрения случая, когда комплексные числа единичной длины рассматриваются как унитарные преобразования на комплексной плоскости (с помощью левого умножения). Если мы выберем одно комплексное число единичной длины (которое мы думаем как U ), интуитивно понятно, что его степени заполнят круг. Поскольку круг симметричен относительно 0, имеет смысл, что средние значения степеней U будут сходиться к 0. Кроме того, 0 является единственной неподвижной точкой U , и поэтому проекция на пространство неподвижных точек должна быть нулевым оператором (что согласуется с только что описанным пределом).

Сходимость эргодических средних вЛ пнормы

Пусть ( X , Σ, μ ) будет, как и выше, вероятностным пространством с сохраняющим меру преобразованием T , и пусть 1 ≤ p ≤ ∞. Условное ожидание относительно под-σ-алгебры Σ _T -инвариантных множеств является линейным проектором E _T нормы 1 банахова пространства L ^p ( X , Σ, μ ) на его замкнутое подпространство L ^p ( X , Σ _T , μ ). Последнее также может быть охарактеризовано как пространство всех T -инвариантных L ^p -функций на X. Эргодические средние, как линейные операторы на L ^p ( X , Σ, μ ), также имеют единичную операторную норму; и, как простое следствие теоремы Биркгофа–Хинчина, сходятся к проектору E _T в сильной операторной топологии L p ^, если 1 ≤ p ≤ ∞, и в слабой операторной топологии, если p = ∞. Еще больше верно, если 1 < p ≤ ∞, то теорема Винера–Ёсиды–Какутани об эргодической доминируемой сходимости утверждает, что эргодические средние ƒ ∈ L ^p доминируются в L ^p ; однако, если ƒ ∈ L ¹ , эргодические средние могут не быть эквидоминированными в L ^p . Наконец, если предполагается, что ƒ принадлежит классу Зигмунда, то есть |ƒ| log ⁺ (|ƒ|) интегрируемо, то эргодические средние даже доминируются в L ¹ .

Время пребывания

Пусть ( X , Σ, μ ) — пространство с мерой, такое, что μ ( X ) конечно и не равно нулю. Время, проведенное в измеримом множестве A , называется временем пребывания . Непосредственным следствием эргодической теоремы является то, что в эргодической системе относительная мера A равна среднему времени пребывания :

${\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)}$

для всех x , за исключением множества меры нуль, где χ _A — индикаторная функция A.

Времена появления измеримого множества A определяются как набор k ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., времен k таких, что T ^k ( x ) находится в A , отсортированных в порядке возрастания. Разности между последовательными временами появления R _i = k _i − k _{i −1} называются временами возвращения A . Другим следствием эргодической теоремы является то, что среднее время возвращения A обратно пропорционально мере A , предполагая ^{[ необходимо разъяснение ]} , что начальная точка x находится в A , так что k ₀ = 0.

${\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\rightarrow {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(almost surely)}}}$

(См. почти наверняка .) То есть, чем меньше А , тем больше времени требуется, чтобы вернуться к нему.

Эргодические потоки на многообразиях

Эргодичность геодезического потока на компактных римановых поверхностях переменной отрицательной кривизны и на компактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны любой размерности была доказана Эберхардом Хопфом в 1939 году, хотя частные случаи изучались и ранее: см., например, бильярды Адамара (1898) и бильярд Артина (1924). Связь между геодезическими потоками на римановых поверхностях и однопараметрическими подгруппами на SL(2, R ) была описана в 1952 году С. В. Фоминым и И. М. Гельфандом . Статья о потоках Аносова дает пример эргодических потоков на SL(2, R ) и на римановых поверхностях отрицательной кривизны. Большая часть описанных там разработок обобщается на гиперболические многообразия, поскольку их можно рассматривать как факторы гиперболического пространства по действию решетки в полупростой группе Ли SO(n,1) . Эргодичность геодезического потока на римановых симметрических пространствах была продемонстрирована Ф. И. Маутнером в 1957 г. В 1967 г. Д. В. Аносов и Я. Г. Синай доказали эргодичность геодезического потока на компактных многообразиях переменной отрицательной секционной кривизны . Простой критерий эргодичности однородного потока на однородном пространстве полупростой группы Ли был дан Кэлвином К. Муром в 1966 г. Многие теоремы и результаты из этой области исследований типичны для теории жесткости .

В 1930-х годах Г. А. Хедлунд доказал, что поток орицикла на компактной гиперболической поверхности минимален и эргодичен. Уникальная эргодичность потока была установлена ​​Хиллелем Фюрстенбергом в 1972 году. Теоремы Ратнера дают крупное обобщение эргодичности для унипотентных потоков на однородных пространствах вида Γ \  G , где G — группа Ли , а Γ — решетка в  G .

За последние 20 лет было много работ, пытающихся найти теорему классификации мер, похожую на теоремы Ратнера , но для диагонализируемых действий, мотивированных гипотезами Фюрстенберга и Маргулиса . Важный частичный результат (решение этих гипотез с дополнительным предположением о положительной энтропии) был доказан Элоном Линденштрауссом , и в 2010 году он был награжден медалью Филдса за этот результат.

Смотрите также

• Теория хаоса
• Эргодическая гипотеза
• Эргодический процесс
• принцип Крускала
• эффект Линди
• Время Ляпунова – предел предсказуемости системы
• Максимальная эргодическая теорема
• Теорема изоморфизма Орнштейна
• Статистическая механика
• Символическая динамика

Ссылки

1. Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980), Функциональный анализ , Методы современной математической физики, т. 1 (переиздание), Academic Press, ISBN 0-12-585050-6
2. (Уолтерс 1982)

Исторические справки

• Биркгоф, Джордж Дэвид (1931), «Доказательство эргодической теоремы», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , т. 17, № 12, стр. 656–660, Bibcode : 1931PNAS...17..656B, doi : 10.1073/pnas.17.12.656 , PMC  1076138 , PMID  16577406.
• Биркгоф, Джордж Дэвид (1942), «Что такое эргодическая теорема?», Amer. Math. Monthly , т. 49, № 4, стр. 222–226, doi :10.2307/2303229, JSTOR  2303229.
• фон Нейман, Джон (1932), «Доказательство квазиэргодической гипотезы», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , т. 18, № 1, стр. 70–82, Bibcode : 1932PNAS...18...70N, doi : 10.1073/pnas.18.1.70 , PMC  1076162 , PMID  16577432.
• фон Нейман, Джон (1932), «Физические приложения эргодической гипотезы», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , т. 18, № 3, стр. 263–266, Bibcode : 1932PNAS...18..263N, doi : 10.1073/pnas.18.3.263 , JSTOR  86260, PMC  1076204 , PMID  16587674.
• Хопф, Эберхард (1939), «Статистика геодезических линий в Mannigfaltigkeiten negater Krümmung», Leipzig Ber. Верхандл. Сакс. Акад. Висс. , том. 91, стр. 261–304..
• Фомин, Сергей В .; Гельфанд, И.М. (1952), "Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны", Успехи математических наук , т. 7, № 1, стр. 118–137.
• Маутнер, ФИ (1957), «Геодезические потоки на симметричных римановых пространствах», Ann. Math. , т. 65, № 3, стр. 416–431, doi :10.2307/1970054, JSTOR  1970054.
• Мур, CC (1966), «Эргодичность потоков на однородных пространствах», Amer. J. Math. , т. 88, № 1, стр. 154–178, doi :10.2307/2373052, JSTOR  2373052.

Современные ссылки

• Д.В. Аносов (2001) [1994], "Эргодическая теория", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• В данной статье использованы материалы из эргодической теоремы PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Владимир Игоревич Арнольд и Андре Авез, Эргодические проблемы классической механики . Нью-Йорк: WA Бенджамин. 1968.
• Лео Брейман, Вероятность . Оригинальное издание опубликовано Addison–Wesley, 1968; перепечатано Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3 . (См. Главу 6.) 
• Уолтерс, Питер (1982), Введение в эргодическую теорию , Graduate Texts in Mathematics, т. 79, Springer-Verlag , ISBN 0-387-95152-0, ЗБЛ  0475.28009
• Бедфорд, Тим; Кин, Майкл; Сери, Кэролайн, ред. (1991), Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства , Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (Обзор тем эргодической теории; с упражнениями.)
• Карл Петерсен. Эргодическая теория (Кембриджские исследования по высшей математике). Кембридж: Cambridge University Press. 1990.
• Франсуаза Пен, Стохастические свойства динамических систем , Cours spécialisés de la SMF, Volume 30, 2022
• Joseph M. Rosenblatt и Máté Weirdl, Pointwise ergodic Theorems via harmonic analysis (1993) опубликовано в Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference (1995) Karl E. Petersen и Ibrahim A. Salama, eds. , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0 . (Обширный обзор эргодических свойств обобщений теоремы о равнораспределении отображений сдвига на единичном интервале . Основное внимание уделяется методам, разработанным Бургейном.) 
• А. Н. Ширяев , Вероятность , 2-е изд., Springer 1996, Sec. В.3. ISBN 0-387-94549-0 . 
• Зунд, Джозеф Д. (2002), « Джордж Дэвид Биркгоф и Джон фон Нейман: вопрос приоритета и эргодические теоремы, 1931–1932 », Historia Mathematica , 29 (2): 138–156, doi : 10.1006/hmat.2001.2338 (Подробное обсуждение приоритета открытия и публикации эргодических теорем Биркгофом и фон Нейманом, основанное на письме последнего к своему другу Говарду Перси Робертсону.)
• Анджей Лясота, Майкл С. Макки, Хаос, фракталы и шум: стохастические аспекты динамики . Второе издание, Springer, 1994.
• Манфред Эйнзидлер и Томас Уорд , Эргодическая теория с прицелом на теорию чисел. Springer, 2011.
• Джейн Хокинс , Эргодическая динамика: от базовой теории к приложениям , Springer, 2021. ISBN 978-3-030-59242-4 

Внешние ссылки

• Эргодическая теория (16 июня 2015 г.) Заметки Космы Рохиллы Шализи
• Эргодическая теорема прошла тест Из мира физики