Распределение вероятностей, моделирующее подбрасывание монеты, которое не обязательно должно быть честным
В теории вероятностей и статистике распределение Бернулли , названное в честь швейцарского математика Якоба Бернулли [1] , представляет собой дискретное распределение вероятностей случайной величины , которая принимает значение 1 с вероятностью и значение 0 с вероятностью . Менее формально его можно рассматривать как модель набора возможных результатов любого отдельного эксперимента , в котором задается вопрос «да-нет» . Такие вопросы приводят к результатам , которые имеют логические значения: один бит , значение которого равно успех/ да / истина / единица с вероятностью p и отказ/нет/ ложь / ноль с вероятностью q . Его можно использовать для представления (возможно, необъективного) подбрасывания монеты , где 1 и 0 будут обозначать «орёл» и «решку» соответственно, а p будет вероятностью выпадения монеты орлом (или наоборот, где 1 будет обозначать решку). и p будет вероятностью решки). В частности, недобросовестные монеты имели бы
Распределение Бернулли — это частный случай биномиального распределения , когда проводится одно испытание (поэтому для такого биномиального распределения n будет равно 1). Это также частный случай двухточечного распределения , для которого возможные результаты не обязательно должны быть 0 и 1. [2]
Характеристики
Если – случайная величина с распределением Бернулли, то:
Функция массы вероятности этого распределения по возможным результатам k равна
[3]
Это также можно выразить как
или как
Распределение Бернулли является частным случаем биномиального распределения с [4]
Эксцесс стремится к бесконечности для высоких и низких значений, но двухточечные распределения, включая распределение Бернулли, имеют меньший избыточный эксцесс , а именно -2, чем любое другое распределение вероятностей.
С помощью этого результата легко доказать, что для любого распределения Бернулли его дисперсия будет иметь значение внутри .
асимметрия
Перекос есть . _ Когда мы берем стандартизированную случайную величину, распределенную по Бернулли, мы обнаруживаем, что эта случайная величина достигает с вероятностью и достигает с вероятностью . Таким образом мы получаем
Высшие моменты и кумулянты
Все необработанные моменты равны в силу того, что и .
Центральный момент порядка определяется выражением
Первые шесть центральных моментов
Высшие центральные моменты можно более компактно выразить через и