Применение и изучение явлений, в свою очередь, вдохновили на предложение новых случайных процессов. Примеры таких стохастических процессов включают процесс Винера или процесс броуновского движения, [a] использованный Луи Башелье для изучения изменений цен на Парижской бирже , [21] и процесс Пуассона , используемый А.К. Эрлангом для изучения количества происходящих телефонных звонков. в определенный период времени. [22] Эти два случайных процесса считаются наиболее важными и центральными в теории случайных процессов, [1] [4] [23] и были изобретены неоднократно и независимо, как до, так и после Башелье и Эрланга, в разных условиях и странах. . [21] [24]
Термин случайная функция также используется для обозначения стохастического или случайного процесса, [25] [26], поскольку случайный процесс также можно интерпретировать как случайный элемент в функциональном пространстве . [27] [28] Термины «стохастический процесс» и «случайный процесс» используются как взаимозаменяемые, часто без специального математического пространства для набора, который индексирует случайные величины. [27] [29] Но часто эти два термина используются, когда случайные величины индексируются целыми числами или интервалом реальной строки . [5] [29] Если случайные величины индексируются декартовой плоскостью или некоторым евклидовым пространством более высокой размерности , то совокупность случайных величин обычно вместо этого называют случайным полем . [5] [30] Значения случайного процесса не всегда являются числами и могут быть векторами или другими математическими объектами. [5] [28]
Стохастический или случайный процесс можно определить как набор случайных величин, индексированных некоторым математическим набором, что означает, что каждая случайная величина случайного процесса однозначно связана с элементом в наборе. [4] [5] Набор, используемый для индексации случайных величин, называется набором индексов . Исторически набор индексов представлял собой некоторое подмножество реальной линии , например натуральные числа , что давало набору индексов интерпретацию времени. [1] Каждая случайная переменная в коллекции принимает значения из одного и того же математического пространства, известного как пространство состояний . Этим пространством состояний могут быть, например, целые числа, действительная линия или трехмерное евклидово пространство. [1] [5] Приращение — это величина, на которую случайный процесс изменяется между двумя значениями индекса, часто интерпретируемыми как два момента во времени. [48] [49] Случайный процесс может иметь множество исходов из-за своей случайности, а один результат случайного процесса называется, среди прочего, выборочной функцией или реализацией . [28] [50]
Классификации
Случайный процесс можно классифицировать по-разному, например, по пространству состояний, набору индексов или зависимости между случайными величинами. Одним из распространенных способов классификации является мощность набора индексов и пространства состояний. [51] [52] [53]
При интерпретации как времени, если набор индексов случайного процесса имеет конечное или счетное число элементов, таких как конечный набор чисел, набор целых чисел или натуральных чисел, то случайный процесс называется дискретным . время . [54] [55] Если набор индексов представляет собой некоторый интервал реальной прямой, то время называется непрерывным . Два типа случайных процессов называются соответственно случайными процессами с дискретным и непрерывным временем . [48] [56] [57] Стохастические процессы с дискретным временем считаются более простыми для изучения, поскольку процессы с непрерывным временем требуют более продвинутых математических методов и знаний, особенно из-за несчетности набора индексов. [58] [59] Если набор индексов представляет собой целые числа или некоторое их подмножество, то случайный процесс также можно назвать случайной последовательностью . [55]
Если пространство состояний представляет собой целые или натуральные числа, то случайный процесс называется дискретным или целочисленным случайным процессом . Если пространство состояний представляет собой действительную линию, то случайный процесс называется случайным процессом с действительным знаком или процессом с непрерывным пространством состояний . Если пространство состояний является -мерным евклидовым пространством, то случайный процесс называется -мерным векторным процессом или -векторным процессом . [51] [52]
Этимология
Слово «стохастический» в английском языке первоначально использовалось как прилагательное с определением «относящийся к предположению» и произошло от греческого слова, означающего «нацеливаться на отметку, угадывать», а Оксфордский словарь английского языка называет 1662 год самым ранним появлением этого слова. . [60] В своей работе о вероятности Ars Conjectandi , первоначально опубликованной на латыни в 1713 году, Якоб Бернулли использовал фразу «Ars Conjectandi sive Stochastice», которая переводится как «искусство предположения или стохастика». [61] Эту фразу по отношению к Бернулли использовал Ладислав Борткевич [62], который в 1917 году написал на немецком языке слово сточастик , имеющее смысл, означающий случайный. Термин «стохастический процесс» впервые появился на английском языке в статье Джозефа Дуба в 1934 году . [60] В качестве термина и конкретного математического определения Дуб процитировал другую статью 1934 года, где термин стохастический процесс использовался на немецком языке Александром Хинчиным , [63] [64], хотя немецкий термин использовался и раньше, например, Андрей Колмогоров в 1931 году. [65]
Согласно Оксфордскому словарю английского языка, раннее появление слова « случайный» в английском языке в его нынешнем значении, которое относится к случайности или удаче, относится к 16 веку, в то время как более ранние зарегистрированные случаи использования начались в 14 веке как существительное, означающее «стремительность». большая скорость, сила или насилие (при езде, беге, ударах и т. д.)». Само слово происходит от среднефранцузского слова, означающего «скорость, поспешность», и, вероятно, происходит от французского глагола, означающего «бежать» или «скакать». Первое письменное появление термина «случайный процесс» предшествует стохастическому процессу , который Оксфордский словарь английского языка также дает в качестве синонима и использовался в статье Фрэнсиса Эджворта, опубликованной в 1888 году. [66]
Терминология
Определение случайного процесса варьируется [67] , но стохастический процесс традиционно определяется как набор случайных величин, индексированных некоторым набором. [68] [69] Термины «случайный процесс» и «случайный процесс» считаются синонимами и используются взаимозаменяемо, без точного указания набора индексов. [27] [29] [30] [70] [71] [72] Используются как «коллекция», [28] [70] , так и «семейство» [4] [73] , а вместо «индексного набора» иногда используются термины «набор параметров» [28] или «пространство параметров» [30] .
Термин случайная функция также используется для обозначения стохастического или случайного процесса, [5] [74] [75] , хотя иногда он используется только тогда, когда случайный процесс принимает реальные значения. [28] [73] Этот термин также используется, когда наборы индексов представляют собой математические пространства, отличные от действительной линии, [5] [76] в то время как термины случайный процесс и случайный процесс обычно используются, когда набор индексов интерпретируется как время, [5] [76] [77] и другие термины используются, например, случайное поле , когда набор индексов представляет собой -мерное евклидово пространство или многообразие . [5] [28] [30]
Обозначения
Случайный процесс может быть обозначен, среди прочего, как , [56] , [69] [78] или просто как . Некоторые авторы ошибочно пишут, хотя это и является злоупотреблением обозначениями функций . [79] Например, или используются для обозначения случайной величины с индексом , а не всего стохастического процесса. [78] Если набор индексов равен , то можно написать, например, для обозначения случайного процесса. [29]
Примеры
Процесс Бернулли
Одним из простейших стохастических процессов является процесс Бернулли [80] , который представляет собой последовательность независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин, где каждая случайная величина принимает значение либо единицы, либо нуля, скажем, единицы с вероятностью и нуля с вероятностью . Этот процесс можно связать с идеализацией многократного подбрасывания монеты, где вероятность выпадения орла принимается равной и ее значение равно единице, а значение решки равно нулю. [81] Другими словами, процесс Бернулли представляет собой последовательность iid случайных величин Бернулли, [82] где каждый идеализированный подбрасывание монеты является примером испытания Бернулли . [83]
Случайная прогулка
Случайные блуждания — это случайные процессы, которые обычно определяются как суммы случайных величин или случайных векторов в евклидовом пространстве, поэтому это процессы, которые изменяются в дискретном времени. [84] [85] [86] [87] [88] Но некоторые также используют этот термин для обозначения процессов, которые изменяются в непрерывном времени, [89] в частности, процесса Винера, используемого в финансовых моделях, что привело к некоторой путанице, что привело к его критике. [90] Существуют и другие типы случайных блужданий, определенные таким образом, что их пространства состояний могут быть другими математическими объектами, такими как решетки и группы, и в целом они хорошо изучены и имеют множество приложений в различных дисциплинах. [89] [91]
Классический пример случайного блуждания известен как простое случайное блуждание , которое представляет собой стохастический процесс в дискретном времени с целыми числами в качестве пространства состояний и основан на процессе Бернулли, где каждая переменная Бернулли принимает либо положительное значение, либо значение. отрицательный. Другими словами, простое случайное блуждание происходит с целыми числами, и его значение увеличивается на единицу с вероятностью, скажем, или уменьшается на единицу с вероятностью , поэтому набор индексов этого случайного блуждания представляет собой натуральные числа, а его пространство состояний это целые числа. Если , то это случайное блуждание называется симметричным случайным блужданием. [92] [93]
Винеровский процесс
Винеровский процесс — это стохастический процесс со стационарными и независимыми приращениями , которые обычно распределяются в зависимости от размера приращений. [2] [94] Винеровский процесс назван в честь Норберта Винера , который доказал его математическое существование, но этот процесс также называют процессом броуновского движения или просто броуновским движением из-за его исторической связи в качестве модели броуновского движения в жидкостях. [95] [96] [97]
Винеровский процесс, играющий центральную роль в теории вероятностей, часто считается наиболее важным и изученным случайным процессом, связанным с другими случайными процессами. [1] [2] [3] [98] [99] [100] [101] Его набор индексов и пространство состояний представляют собой неотрицательные и действительные числа соответственно, поэтому он имеет как непрерывный набор индексов, так и пространство состояний. [102] Но процесс можно определить более широко, так что его пространство состояний может быть -мерным евклидовым пространством. [91] [99] [103] Если среднее значение любого приращения равно нулю, то говорят, что результирующий процесс винеровского или броуновского движения имеет нулевой дрейф. Если среднее значение приращения для любых двух моментов времени равно разнице во времени, умноженной на некоторую константу , которая является действительным числом, то результирующий случайный процесс называется дрейфом . [104] [105] [106]
Почти наверняка образец пути винеровского процесса непрерывен всюду, но нигде не дифференцируем . Его можно рассматривать как непрерывную версию простого случайного блуждания. [49] [105] Этот процесс возникает как математический предел других случайных процессов, таких как определенные случайные блуждания в масштабе, [107] [108] который является предметом теоремы Донскера или принципа инвариантности, также известного как функциональная центральная предельная теорема. [109] [110] [111]
Процесс Винера является членом некоторых важных семейств случайных процессов, включая процессы Маркова, процессы Леви и процессы Гаусса. [2] [49] Этот процесс также имеет множество применений и является основным стохастическим процессом, используемым в стохастическом исчислении. [112] [113] Он играет центральную роль в количественных финансах, [114] [115] где он используется, например, в модели Блэка-Шоулза-Мертона. [116] Этот процесс также используется в различных областях, включая большинство естественных наук, а также некоторые отрасли социальных наук, в качестве математической модели для различных случайных явлений. [3] [117] [118]
Пуассоновский процесс
Процесс Пуассона — это случайный процесс, имеющий разные формы и определения. [119] [120] Его можно определить как процесс подсчета, который представляет собой стохастический процесс, который представляет случайное количество точек или событий с точностью до некоторого времени. Число точек процесса, находящихся в интервале от нуля до некоторого заданного времени, является пуассоновской случайной величиной, зависящей от этого времени и некоторого параметра. Этот процесс имеет натуральные числа в качестве пространства состояний и неотрицательные числа в качестве набора индексов. Этот процесс также называют процессом счета Пуассона, поскольку его можно интерпретировать как пример процесса счета. [119]
Если процесс Пуассона определен с единственной положительной константой, то этот процесс называется однородным процессом Пуассона. [119] [121] Однородный процесс Пуассона является членом важных классов случайных процессов, таких как процессы Маркова и процессы Леви. [49]
Однородный процесс Пуассона можно определить и обобщить по-разному. Его можно определить так, чтобы его набор индексов представлял собой действительную линию, и этот случайный процесс также называется стационарным процессом Пуассона. [122] [123] Если константу параметра процесса Пуассона заменить некоторой неотрицательной интегрируемой функцией от , полученный процесс называется неоднородным или неоднородным процессом Пуассона, где средняя плотность точек процесса больше не является постоянной. . [124] Являясь фундаментальным процессом в теории массового обслуживания, процесс Пуассона является важным процессом для математических моделей, где он находит применение для моделей событий, случайно происходящих в определенных временных окнах. [125] [126]
Определенный на действительной линии, процесс Пуассона можно интерпретировать как случайный процесс, [49] [127] среди других случайных объектов. [128] [129] Но тогда его можно определить в -мерном евклидовом пространстве или других математических пространствах, [130] где его часто интерпретируют как случайное множество или случайную счетную меру, а не как случайный процесс. [128] [129] В этом контексте процесс Пуассона, также называемый точечным процессом Пуассона, является одним из наиболее важных объектов теории вероятностей, как по прикладным, так и по теоретическим причинам. [22] [131] Но было замечено, что процессу Пуассона не уделяется столько внимания, сколько следовало бы, отчасти из-за того, что его часто рассматривают только на действительной линии, а не на других математических пространствах. [131] [132]
Определения
Случайный процесс
Случайный процесс определяется как совокупность случайных величин, определенных в общем вероятностном пространстве , где - выборочное пространство , - -алгебра и - вероятностная мера ; и все случайные величины, индексированные некоторым набором , принимают значения в одном и том же математическом пространстве , которое должно быть измеримо относительно некоторой -алгебры . [28]
Другими словами, для данного вероятностного пространства и измеримого пространства случайный процесс представляет собой набор -значных случайных величин, которые можно записать как: [80]
Исторически сложилось так, что во многих задачах естественных наук точка имела значение времени, так же как и случайная величина, представляющая величину, наблюдаемую в данный момент времени . [133] Случайный процесс также можно записать так, чтобы отразить, что на самом деле он является функцией двух переменных, и . [28] [134]
Существуют и другие способы рассмотрения случайного процесса, при этом приведенное выше определение считается традиционным. [68] [69] Например, случайный процесс можно интерпретировать или определить как -значную случайную величину, где - пространство всех возможных функций из множества в пространство . [27] [68] Однако это альтернативное определение как «случайной величины с функциональным значением» в целом требует четкого определения дополнительных предположений о регулярности. [135]
Набор индексов
Этот набор называется набором индексов [4] [51] или набором параметров [28] [136] случайного процесса. Часто этот набор представляет собой некоторое подмножество реальной линии , например натуральные числа или интервал, что дает набору интерпретацию времени. [1] В дополнение к этим наборам индексный набор может быть другим набором с полным порядком или более общим набором, [1] [54] таким как декартова плоскость или -мерное евклидово пространство, где элемент может представлять точку в космосе. [48] [137] Тем не менее, многие результаты и теоремы возможны только для случайных процессов с полностью упорядоченным набором индексов. [138]
Государственное пространство
Математическое пространство случайного процесса называется пространством его состояний . Это математическое пространство может быть определено с использованием целых чисел , действительных линий , трехмерных евклидовых пространств , комплексных плоскостей или более абстрактных математических пространств. Пространство состояний определяется с использованием элементов, отражающих различные значения, которые может принимать случайный процесс. [1] [5] [28] [51] [56]
Пример функции
Выборочная функция — это единственный результат случайного процесса, поэтому она формируется путем принятия единственного возможного значения каждой случайной величины случайного процесса. [28] [139] Точнее, если — случайный процесс, то для любой точки отображение
называется выборочной функцией, реализацией или, особенно когда интерпретируется как время, выборочным путем случайного процесса . [50] Это означает, что для фиксированного существует выборочная функция, которая отображает набор индексов в пространство состояний . [28] Другие названия выборочной функции случайного процесса включают траекторию , функцию пути [140] или путь . [141]
Приращение
Приращение случайного процесса — это разница между двумя случайными величинами одного и того же случайного процесса . Для случайного процесса с набором индексов, который можно интерпретировать как время, приращение — это то, насколько сильно изменяется случайный процесс за определенный период времени. Например, если это случайный процесс с пространством состояний и набором индексов , то для любых двух неотрицательных чисел и таких , что разница представляет собой случайную величину со значением, известную как приращение. [48] [49] При интересе к приращениям часто пространство состояний представляет собой действительную линию или натуральные числа, но это может быть трехмерное евклидово пространство или более абстрактные пространства, такие как банаховы пространства . [49]
Дальнейшие определения
Закон
Для случайного процесса, определенного в вероятностном пространстве , закон случайного процесса определяется как мера изображения :
где – вероятностная мера, символ обозначает состав функции и является прообразом измеримой функции или, что то же самое, -значной случайной величиной , где – пространство всех возможных -значных функций , поэтому закон стохастической процесс является вероятностной мерой. [27] [68] [142] [143]
Для измеримого подмножества прообраз дает
поэтому закон a можно записать как: [28]
Закон случайного процесса или случайной величины также называют законом вероятности , распределением вероятностей или распределением . [133] [142] [144] [145] [146]
Конечномерные распределения вероятностей
Для случайного процесса с законом его конечномерное распределение определяется как:
Эта мера представляет собой совместное распределение случайного вектора ; его можно рассматривать как «проекцию» закона на конечное подмножество . [27] [147]
Для любого измеримого подмножества -кратной декартовой степени конечномерные распределения случайного процесса можно записать как: [28]
Конечномерные распределения случайного процесса удовлетворяют двум математическим условиям, известным как условия согласованности. [57]
Стационарность
Стационарность — это математическое свойство, которым обладает случайный процесс, когда все случайные величины этого случайного процесса одинаково распределены. Другими словами, если это стационарный случайный процесс, то для любой случайной величины имеет одинаковое распределение, а это означает, что для любого набора значений индекса соответствующие случайные величины
все имеют одинаковое распределение вероятностей . Набор индексов стационарного случайного процесса обычно интерпретируется как время, поэтому это могут быть целые числа или действительная линия. [148] [149] Но концепция стационарности существует также для точечных процессов и случайных полей, где набор индексов не интерпретируется как время. [148] [150] [151]
Когда набор индексов можно интерпретировать как время, случайный процесс называется стационарным, если его конечномерные распределения инвариантны относительно сдвигов времени. Этот тип случайного процесса можно использовать для описания физической системы, которая находится в устойчивом состоянии, но все еще испытывает случайные колебания. [148] Интуиция стационарности заключается в том, что с течением времени распределение стационарного случайного процесса остается прежним. [152] Последовательность случайных величин образует стационарный случайный процесс только в том случае, если случайные величины распределены одинаково. [148]
Случайный процесс с приведенным выше определением стационарности иногда называют строго стационарным, но существуют и другие формы стационарности. Одним из примеров является то, что случайный процесс с дискретным или непрерывным временем называется стационарным в широком смысле, тогда процесс имеет конечный второй момент для всех и ковариацию двух случайных величин и зависит только от числа для всех. . [152] [153] Хинчин ввел родственное понятие стационарности в широком смысле , которое имеет и другие названия, включая ковариантную стационарность или стационарность в широком смысле . [153] [154]
Фильтрация
Фильтрация — это возрастающая последовательность сигма-алгебр, определенная относительно некоторого вероятностного пространства и набора индексов, который имеет некоторое отношение общего порядка , например , в случае, когда набор индексов представляет собой некоторое подмножество действительных чисел. Более формально, если случайный процесс имеет набор индексов с полным порядком, то фильтрация в вероятностном пространстве представляет собой семейство сигма-алгебр таких, что для всех , где и обозначает полный порядок набора индексов . [51] С помощью концепции фильтрации можно изучить количество информации, содержащейся в стохастическом процессе при , которое можно интерпретировать как время . [51] [155] Интуиция, лежащая в основе фильтрации, заключается в том, что с течением времени становится известно или доступно все больше и больше информации о , которая фиксируется в , что приводит к все более тонким разделам . [156] [157]
Модификация
Модификация случайного процесса — это еще один случайный процесс, тесно связанный с исходным случайным процессом . Точнее, случайный процесс , который имеет тот же набор индексов , пространство состояний и вероятностное пространство, что и другой случайный процесс, называется модификацией if для всех следующих
держит. Два случайных процесса, которые являются модификациями друг друга, имеют один и тот же конечномерный закон [158] и их называют стохастически эквивалентными или эквивалентными . [159]
Вместо модификации также используется термин версия , [150] [160] [161] [162] однако некоторые авторы используют термин версия, когда два случайных процесса имеют одинаковые конечномерные распределения, но они могут быть определены с разной вероятностью. пространства, поэтому два процесса, являющиеся модификациями друг друга, также являются версиями друг друга в последнем смысле, но не наоборот. [163] [142]
Если вещественный стохастический процесс с непрерывным временем удовлетворяет определенным моментным условиям на своих приращениях, то теорема непрерывности Колмогорова говорит, что существует модификация этого процесса, которая имеет непрерывные пути выборки с вероятностью единица, поэтому случайный процесс имеет непрерывную модификацию или версия. [161] [162] [164] Теорему также можно обобщить на случайные поля, так что индексный набор представляет собой -мерное евклидово пространство [165] , а также на случайные процессы с метрическими пространствами в качестве пространств состояний. [166]
Неотличимый
Два случайных процесса , определенные в одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же набором индексов и пространством множеств, называются неотличимыми , если выполняются следующие условия:
держит. [142] [158] Если два и являются модификациями друг друга и почти наверняка непрерывны , то и неразличимы. [167]
Разделимость
Сепарабельность — это свойство случайного процесса, основанное на наборе его индексов по отношению к вероятностной мере. Предполагается, что функционалы от случайных процессов или случайных полей с несчетными наборами индексов могут образовывать случайные величины. Чтобы случайный процесс был отделимым, помимо других условий, его набор индексов должен быть сепарабельным пространством , [b] что означает, что набор индексов имеет плотное счетное подмножество. [150] [168]
Точнее, действительный стохастический процесс с непрерывным временем и вероятностным пространством является сепарабельным, если его набор индексов имеет плотное счетное подмножество и существует набор с нулевой вероятностью, так что такой, что для каждого открытого набора и каждого закрытого набора два события и отличаются друг от друга не более чем на подмножестве . [169] [170] [171]
Определение разделимости [c] можно также сформулировать для других наборов индексов и пространств состояний, [174] например, в случае случайных полей, где набор индексов, а также пространство состояний может быть -мерным евклидовым пространством. [30] [150]
Понятие сепарабельности случайного процесса было введено Джозефом Дубом . [168] Основная идея разделимости состоит в том, чтобы счетный набор точек набора индексов определял свойства случайного процесса. [172] Любой случайный процесс со счетным набором индексов уже удовлетворяет условиям разделимости, поэтому случайные процессы с дискретным временем всегда отделимы. [175] Теорема Дуба, иногда известная как теорема Дуба об отделимости, гласит, что любой стохастический процесс с непрерывным временем и вещественным знаком имеет отделимую модификацию. [168] [170] [176] Версии этой теоремы также существуют для более общих случайных процессов с наборами индексов и пространствами состояний, отличными от действительной линии. [136]
Независимость
Два случайных процесса , определенные в одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же набором индексов, называются независимыми , если для всех и для каждого выбора эпох случайные векторы и независимы. [177] : с. 515
Некоррелированность
Два случайных процесса называются некоррелированными , если их перекрестная ковариация всегда равна нулю. [178] : с. 142 Формально:
.
Независимость подразумевает некоррелированность
Если два случайных процесса и независимы, то они также некоррелированы. [178] : с. 151
Ортогональность
Два случайных процесса называются ортогональными, если их взаимная корреляция всегда равна нулю. [178] : с. 142 Формально:
.
Скороход пространство
Пространство Скорохода , также называемое пространством Скорохода , представляет собой математическое пространство всех функций, которые непрерывны справа с левыми пределами, определены на некотором интервале реальной линии, например или , и принимают значения на действительной линии или на некоторой метрике космос. [179] [180] [181] Такие функции известны как функции càdlàg или cadlag, что происходит от аббревиатуры французской фразы continue à droite, limite à gauche . [179] [182] Функциональное пространство Скорохода, введенное Анатолием Скороходом , [181] часто обозначается буквой , [179] [180] [181] [182] поэтому функциональное пространство также называют пространством . [179] [183] [184] Обозначение этого функционального пространства может также включать интервал, на котором определены все функции càdlàg, так, например, обозначается пространство функций càdlàg, определенных на единичном интервале . [182] [184] [185]
Функциональные пространства Скорохода часто используются в теории случайных процессов, поскольку часто предполагается, что выборочные функции случайных процессов с непрерывным временем принадлежат пространству Скорохода. [181] [183] Такие пространства содержат непрерывные функции, которые соответствуют выборочным функциям винеровского процесса. Но в пространстве есть и функции с разрывами, а это значит, что выборочные функции случайных процессов со скачками, таких как процесс Пуассона (на вещественной прямой), также являются членами этого пространства. [184] [186]
Регулярность
В контексте математического построения случайных процессов термин регулярность используется при обсуждении и предположении определенных условий случайного процесса для решения возможных проблем построения. [187] [188] Например, для изучения случайных процессов с несчетными наборами индексов предполагается, что случайный процесс соответствует некоторому типу условия регулярности, например, непрерывности выборочных функций. [189] [190]
Дальнейшие примеры
Марковские процессы и цепи
Марковские процессы — это случайные процессы, традиционно происходящие в дискретном или непрерывном времени , обладающие марковским свойством, означающим, что следующее значение марковского процесса зависит от текущего значения, но условно независимо от предыдущих значений случайного процесса. Другими словами, поведение процесса в будущем стохастически независимо от его поведения в прошлом при текущем состоянии процесса. [191] [192]
Процесс броуновского движения и процесс Пуассона (в одном измерении) являются примерами марковских процессов [193] в непрерывном времени, тогда как случайные блуждания целых чисел и проблема разорения игрока являются примерами марковских процессов в дискретном времени. [194] [195]
Цепь Маркова — это тип марковского процесса, который имеет либо дискретное пространство состояний , либо дискретный набор индексов (часто представляющий время), но точное определение цепи Маркова варьируется. [196] Например, принято определять цепь Маркова как марковский процесс либо в дискретном, либо в непрерывном времени со счетным пространством состояний (таким образом, независимо от природы времени), [197] [198] [199] [200] ], но также было принято определять цепь Маркова как имеющую дискретное время либо в счетном, либо в непрерывном пространстве состояний (то есть независимо от пространства состояний). [196] Утверждалось, что сейчас имеет тенденцию использоваться первое определение цепи Маркова, где она имеет дискретное время, несмотря на то, что второе определение использовалось такими исследователями, как Джозеф Дуб и Кай Лай Чунг . [201]
Марковские процессы составляют важный класс случайных процессов и имеют приложения во многих областях. [39] [202] Например, они являются основой для общего метода стохастического моделирования, известного как цепь Маркова Монте-Карло , который используется для моделирования случайных объектов с определенными распределениями вероятностей и нашел применение в байесовской статистике . [203] [204]
Концепция марковского свойства изначально предназначалась для случайных процессов в непрерывном и дискретном времени, но это свойство было адаптировано для других наборов индексов, таких как -мерное евклидово пространство, в результате чего образуются наборы случайных величин, известные как марковские случайные поля. [205] [206] [207]
Мартингейл
Мартингейл — это случайный процесс с дискретным или непрерывным временем, обладающий свойством, что в каждый момент времени, учитывая текущее значение и все прошлые значения процесса, условное ожидание каждого будущего значения равно текущему значению. Если в дискретное время это свойство сохраняется для следующего значения, то оно сохраняется и для всех будущих значений. Точное математическое определение мартингала требует двух других условий в сочетании с математической концепцией фильтрации, которая связана с интуицией увеличения доступной информации с течением времени. Мартингалы обычно определяются как вещественные, [208] [209] [155] , но они также могут быть комплексными [210] или даже в более общем смысле. [211]
Симметричное случайное блуждание и винеровский процесс (с нулевым дрейфом) являются примерами мартингалов соответственно в дискретном и непрерывном времени. [208] [209] Для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним значением случайный процесс, формируемый из последовательных частичных сумм, представляет собой мартингал с дискретным временем. [212] В этом аспекте мартингалы с дискретным временем обобщают идею частичных сумм независимых случайных величин. [213]
Мартингалы также можно создать из случайных процессов, применив некоторые подходящие преобразования, как это имеет место в случае однородного процесса Пуассона (на реальной линии), в результате чего получается мартингал, называемый компенсированным процессом Пуассона . [209] Мартингалы также могут быть построены из других мартингалов. [212] Например, существуют мартингалы, основанные на мартингальном процессе Винера, образующие мартингалы с непрерывным временем. [208] [214]
Мартингалы математически формализуют идею «честной игры», в которой можно сформировать разумные ожидания выигрышей, [215] и первоначально они были разработаны, чтобы показать, что в такой игре невозможно получить «несправедливое» преимущество. [216] Но сейчас они используются во многих областях теории вероятностей, что является одной из основных причин их изучения. [155] [216] [217] Многие задачи теории вероятностей были решены путем нахождения мартингала в задаче и его изучения. [218] Мартингалы сходятся при соблюдении некоторых условий на их моменты, поэтому их часто используют для получения результатов сходимости, во многом благодаря теоремам сходимости мартингалов . [213] [219] [220]
Мартингалы имеют множество применений в статистике, но было отмечено, что их использование и применение не так широко распространены, как могли бы быть в области статистики, особенно в области статистических выводов. [221] Они нашли применение в таких областях теории вероятностей, как теория массового обслуживания и исчисление Палма [222] , а также в других областях, таких как экономика [223] и финансы. [17]
Процесс Леви
Процессы Леви — это типы случайных процессов, которые можно рассматривать как обобщение случайных блужданий в непрерывном времени. [49] [224] Эти процессы имеют множество применений в таких областях, как финансы, механика жидкости, физика и биология. [225] [226] Основными определяющими характеристиками этих процессов являются их свойства стационарности и независимости, поэтому они были известны как процессы со стационарными и независимыми приращениями . Другими словами, случайный процесс является процессом Леви , если для неотрицательных чисел соответствующие приращения
все они независимы друг от друга, и распределение каждого приращения зависит только от разницы во времени. [49]
Процесс Леви можно определить так, что его пространство состояний представляет собой некоторое абстрактное математическое пространство, такое как банахово пространство , но процессы часто определяются так, что они принимают значения в евклидовом пространстве. Набор индексов представляет собой неотрицательные числа, поэтому , что дает интерпретацию времени. Важные стохастические процессы, такие как процесс Винера, однородный процесс Пуассона (в одном измерении) и подчиненные процессы , являются процессами Леви. [49] [224]
Случайное поле
Случайное поле — это набор случайных величин, индексированных -мерным евклидовым пространством или некоторым многообразием. В общем, случайное поле можно рассматривать как пример стохастического или случайного процесса, где набор индексов не обязательно является подмножеством реальной линии. [30] Но существует соглашение, согласно которому индексированный набор случайных величин называется случайным полем, если индекс имеет два или более измерения. [5] [28] [227] Если конкретное определение случайного процесса требует, чтобы набор индексов был подмножеством реальной линии, то случайное поле можно рассматривать как обобщение случайного процесса. [228]
Точечный процесс
Точечный процесс — это набор точек, случайно расположенных в некотором математическом пространстве, таком как реальная линия, трехмерное евклидово пространство или более абстрактные пространства. Иногда термин « точечный процесс» не является предпочтительным, поскольку исторически слово « процесс» обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называют случайным точечным полем . [229] Существуют разные интерпретации точечного процесса, такого как случайная мера подсчета или случайный набор. [230] [231] Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и случайный процесс как два разных объекта, так что точечный процесс — это случайный объект, который возникает из случайного процесса или связан с ним, [232] [233] хотя было отмечено что разница между точечными процессами и случайными процессами не ясна. [233]
Другие авторы рассматривают точечный процесс как стохастический процесс, где процесс индексируется наборами основного пространства [d] , в котором он определен, например вещественного линейного или -мерного евклидова пространства. [236] [237] Другие случайные процессы, такие как процессы восстановления и счета, изучаются в теории точечных процессов. [238] [233]
История
Ранняя теория вероятностей
Теория вероятностей берет свое начало в азартных играх, которые имеют долгую историю, причем в некоторые игры играли тысячи лет назад, [239] [240], но их анализ с точки зрения вероятности проводился очень мало. [239] [241] Год 1654 часто считается рождением теории вероятностей, когда французские математики Пьер Ферма и Блез Паскаль имели письменную переписку о вероятности, мотивированную проблемой азартных игр . [239] [242] [243] Но ранее была проведена математическая работа по вероятности азартных игр, такая как Liber de Ludo Aleae Джероламо Кардано , написанная в 16 веке, но посмертно опубликованная позже, в 1663 году. [239] [244]
После Кардано Якоб Бернулли [e] написал Ars Conjectandi , который считается значимым событием в истории теории вероятностей. [239] Книга Бернулли была опубликована, также посмертно, в 1713 году и вдохновила многих математиков на изучение вероятности. [239] [246] [247] Но несмотря на то, что некоторые известные математики внесли свой вклад в теорию вероятностей, такие как Пьер-Симон Лаплас , Абрахам де Муавр , Карл Гаусс , Симеон Пуассон и Пафнутий Чебышев , [248] [249] большая часть математического сообщества [f] не считал теорию вероятностей частью математики до 20 века. [248] [250] [251] [252]
Статистическая механика
В физических науках ученые в 19 веке разработали дисциплину статистической механики , где физические системы, такие как контейнеры, наполненные газами, рассматриваются или рассматриваются математически как совокупность множества движущихся частиц. Хотя некоторые ученые, такие как Рудольф Клаузиус , предпринимали попытки включить случайность в статистическую физику , в большинстве работ случайность была незначительной или вообще отсутствовала. [253] [254]
Ситуация изменилась в 1859 году, когда Джеймс Клерк Максвелл внес значительный вклад в эту область, а точнее, в кинетическую теорию газов, представив работу, в которой он моделировал частицы газа, движущиеся в случайных направлениях со случайными скоростями. [255] [256] Кинетическая теория газов и статистическая физика продолжали развиваться во второй половине XIX века, причем работы выполнялись главным образом Клаузиусом, Людвигом Больцманом и Джозайей Гиббсом , которые позже окажут влияние на Альберта Эйнштейна . Математическая модель броуновского движения . [257]
Теория меры и теория вероятностей
На Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году Давид Гильберт представил список математических проблем , где его шестая проблема требовала математической обработки физики и вероятности с использованием аксиом . [249] Примерно в начале 20-го века математики разработали теорию меры, раздел математики для изучения интегралов математических функций, где двумя основателями были французские математики Анри Лебег и Эмиль Борель . В 1925 году другой французский математик Поль Леви опубликовал первую книгу о вероятностях, в которой использовались идеи теории меры. [249]
В 1920-е годы фундаментальный вклад в теорию вероятностей внесли в Советском Союзе такие математики, как Сергей Бернштейн , Александр Хинчин , [г] и Андрей Колмогоров . [252] Колмогоров опубликовал в 1929 году свою первую попытку представить математическое обоснование теории вероятностей, основанное на теории меры. [258] В начале 1930-х годов Хинчин и Колмогоров организовали семинары по теории вероятности, на которых присутствовали такие исследователи, как Евгений Слуцкий и Николай Смирнов , [259] и Хинчин дал первое математическое определение случайного процесса как набора случайных величин, индексированных по реальной линии. [63] [260] [ч]
Рождение современной теории вероятностей
В 1933 году Андрей Колмогоров опубликовал на немецком языке свою книгу об основах теории вероятностей под названием Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , [i] в которой Колмогоров использовал теорию меры для разработки аксиоматической основы теории вероятностей. Публикация этой книги сейчас широко считается рождением современной теории вероятностей, когда теории вероятностей и случайных процессов стали частью математики. [249] [252]
После публикации книги Колмогорова дальнейшая фундаментальная работа по теории вероятностей и случайным процессам была проделана Хинчиным и Колмогоровым, а также другими математиками, такими как Джозеф Дуб , Уильям Феллер , Морис Фреше , Поль Леви , Вольфганг Деблин и Харальд Крамер . [249] [252]
Десятилетия спустя Крамер назвал 1930-е годы «героическим периодом математической теории вероятностей». [252] Вторая мировая война сильно прервала развитие теории вероятностей, вызвав, например, миграцию Феллера из Швеции в Соединенные Штаты Америки [252] и смерть Деблина, считающегося теперь пионером в области случайных процессов. [262]
Стохастические процессы после Второй мировой войны
После Второй мировой войны изучение теории вероятностей и случайных процессов привлекло больше внимания математиков, при этом значительный вклад был внесен во многие области теории вероятностей и математики, а также в создание новых областей. [252] [265] Начиная с 1940-х годов, Кийоси Ито публиковал статьи, развивающие область стохастического исчисления , которое включает в себя стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения , основанные на винеровском или броуновском процессе движения. [266]
Также, начиная с 1940-х годов, были установлены связи между случайными процессами, особенно мартингалами, и математической областью теории потенциала , с ранними идеями Шизуо Какутани , а затем с более поздними работами Джозефа Дуба. [265] Дальнейшая работа, считающаяся новаторской, была проделана Гилбертом Хантом в 1950-х годах, соединив марковские процессы и теорию потенциала, что оказало значительное влияние на теорию процессов Леви и привело к большему интересу к изучению марковских процессов с помощью методов, разработанных Ито. . [21] [267] [268]
В 1953 году Дуб опубликовал свою книгу «Стохастические процессы» , которая оказала сильное влияние на теорию случайных процессов и подчеркнула важность теории меры в теории вероятностей. [265] [264] Дуб также в основном разработал теорию мартингалов, с более поздним существенным вкладом Пола-Андре Мейера . Ранее работа была проведена Сергеем Бернштейном , Полем Леви и Жаном Вилем , причем последний принял термин мартингейл для обозначения стохастического процесса. [269] [270] Методы теории мартингалов стали популярными для решения различных вероятностных задач. Методы и теория были разработаны для изучения марковских процессов, а затем применены к мартингалам. И наоборот, методы теории мартингалов были созданы для лечения марковских процессов. [265]
Другие области вероятностей были разработаны и использованы для изучения случайных процессов, причем одним из основных подходов была теория больших отклонений. [265] Теория имеет множество применений в статистической физике, среди других областей, и ее основные идеи восходят, по крайней мере, к 1930-м годам. Позже, в 1960-х и 1970-х годах, фундаментальная работа была проделана Александром Вентцелем в Советском Союзе и Монро Д. Донскером и Шринивасой Варадханом в Соединенных Штатах Америки, [271] что позже привело к тому, что Варадхан получил премию Абеля в 2007 году. [272] В 1990-х и 2000-х годах теории эволюции Шрамма-Лёвнера [273] и грубых путей [142] были введены и развиты для изучения случайных процессов и других математических объектов в теории вероятностей, что, соответственно, привело к вручению Медали Филдса Венделину. Вернеру [274] в 2008 году и Мартину Хайреру в 2014 году. [275]
Теория случайных процессов по-прежнему остается в центре внимания исследований: на эту тему ежегодно проводятся международные конференции. [45] [225]
Открытия конкретных случайных процессов
Хотя Хинчин дал математические определения случайным процессам в 1930-х годах, [63] [260] конкретные случайные процессы уже были обнаружены в различных условиях, таких как процесс броуновского движения и процесс Пуассона. [21] [24] Некоторые семейства случайных процессов, такие как точечные процессы или процессы обновления, имеют долгую и сложную историю, насчитывающую столетия. [276]
Процесс Бернулли
Процесс Бернулли, который может служить математической моделью подбрасывания смещенной монеты, возможно, является первым стохастическим процессом, который был изучен. [81] Этот процесс представляет собой последовательность независимых испытаний Бернулли, [82] названных в честь Джекоба Бернулли , который использовал их для изучения азартных игр, включая вероятностные проблемы, предложенные и изученные ранее Христианом Гюйгенсом. [277] Работы Бернулли, включая процесс Бернулли, были опубликованы в его книге Ars Conjectandi в 1713 году. [278]
Случайные прогулки
В 1905 году Карл Пирсон ввёл термин «случайное блуждание» , поставив задачу, описывающую случайное блуждание на плоскости, что было мотивировано применением в биологии, но такие проблемы, связанные со случайными блужданиями, уже изучались в других областях. Некоторые проблемы азартных игр, которые изучались столетиями ранее, можно рассматривать как проблемы, связанные со случайными блужданиями. [89] [278] Например, проблема, известная как разорение игрока, основана на простом случайном блуждании, [195] [279] и является примером случайного блуждания с поглощающими барьерами. [242] [280] Паскаль, Ферма и Гюенс дали численные решения этой проблемы без подробного описания своих методов, [281] а затем более подробные решения были представлены Якобом Бернулли и Абрахамом де Муавром . [282]
Что касается случайных блужданий в -мерных целочисленных решетках , Джордж Полиа опубликовал в 1919 и 1921 годах работы, в которых изучал вероятность возвращения симметричного случайного блуждания в предыдущее положение в решетке. Полиа показал, что симметричное случайное блуждание, имеющее равную вероятность продвижения в любом направлении в решетке, будет возвращаться в предыдущее положение в решетке бесконечное число раз с вероятностью один в одном и двух измерениях, но с вероятностью ноль в три и более измерений. [283] [284]
Винеровский процесс
Винеровский процесс или процесс броуновского движения берет свое начало в различных областях, включая статистику, финансы и физику. [21] В 1880 году датский астроном Торвальд Тиле написал статью о методе наименьших квадратов, в которой он использовал этот процесс для изучения ошибок модели при анализе временных рядов. [285] [286] [287] Эта работа сейчас считается ранним открытием статистического метода, известного как фильтрация Калмана , но эта работа в значительной степени упускалась из виду. Считается, что идеи статьи Тиле были слишком продвинутыми, чтобы их могло понять более широкое математическое и статистическое сообщество того времени. [287]
Французский математик Луи Башелье использовал процесс Винера в своей диссертации 1900 года [288] [289] для моделирования изменений цен на Парижской фондовой бирже [290] , не зная работы Тиле. [21] Было высказано предположение, что Башелье черпал идеи из модели случайного блуждания Жюля Реньо , но Башелье не цитировал его, [291] и диссертация Башелье теперь считается новаторской в области финансовой математики. [290] [291]
Принято считать, что работа Башелье не привлекла особого внимания и была забыта на десятилетия, пока в 1950-х годах не была вновь открыта Леонардом Сэвиджем , а затем стала более популярной после того, как диссертация Башелье была переведена на английский язык в 1964 году. Но эта работа никогда не была забыта в математического сообщества, поскольку в 1912 году Башелье опубликовал книгу, в которой подробно изложил свои идеи [291] , на которую цитировали математики, в том числе Дуб, Феллер [291] и Колмогоров. [21] Книгу продолжали цитировать, но затем, начиная с 1960-х годов, оригинальная диссертация Башелье стала цитироваться чаще, чем его книга, когда экономисты начали цитировать работу Башелье. [291]
В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал статью, в которой он изучал физическое наблюдение броуновского движения или движения, чтобы объяснить, казалось бы, случайные движения частиц в жидкостях, используя идеи кинетической теории газов . Эйнштейн вывел дифференциальное уравнение , известное как уравнение диффузии , для описания вероятности обнаружения частицы в определенной области пространства. Вскоре после первой статьи Эйнштейна о броуновском движении Мариан Смолуховский опубликовал работу, в которой цитировал Эйнштейна, но написал, что независимо получил эквивалентные результаты, используя другой метод. [292]
Работа Эйнштейна, а также экспериментальные результаты, полученные Жаном Перреном , позже вдохновили Норберта Винера в 1920-х годах [293] использовать тип теории меры, разработанный Перси Дэниелом , и анализ Фурье, чтобы доказать существование винеровского процесса как математического метода. объект. [21]
Пуассоновский процесс
Процесс Пуассона назван в честь Симеона Пуассона из-за его определения, включающего распределение Пуассона , но Пуассон никогда не изучал этот процесс. [22] [294] Есть ряд заявлений о раннем использовании или открытии процесса Пуассона. [22] [24]
В начале 20-го века процесс Пуассона возникал независимо в разных ситуациях. [22] [24]
В Швеции в 1903 году Филип Лундберг опубликовал диссертацию , содержащую работу, которая сейчас считается фундаментальной и новаторской, в которой он предложил моделировать страховые выплаты с помощью однородного процесса Пуассона. [295] [296]
Еще одно открытие произошло в Дании в 1909 году, когда А. К. Эрланг вывел распределение Пуассона при разработке математической модели количества входящих телефонных звонков за конечный интервал времени. Эрланг в то время не знал о более ранних работах Пуассона и предполагал, что количество телефонных звонков, поступающих в каждый интервал времени, не зависит друг от друга. Затем он нашел предельный случай, который фактически превращает распределение Пуассона в предел биномиального распределения. [22]
В 1910 году Эрнест Резерфорд и Ганс Гейгер опубликовали экспериментальные результаты по подсчету альфа-частиц. Вдохновленный своей работой, Гарри Бейтман изучил проблему подсчета и вывел вероятности Пуассона как решение семейства дифференциальных уравнений, что привело к независимому открытию процесса Пуассона. [22] После этого было проведено множество исследований и применений процесса Пуассона, но его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями этого процесса во многих областях биологами, экологами, инженерами и различными учеными-физиками. [22]
Марковские процессы
Марковские процессы и цепи Маркова названы в честь Андрея Маркова , изучавшего цепи Маркова в начале 20 века. Марков интересовался изучением расширения независимых случайных последовательностей. В своей первой статье о цепях Маркова, опубликованной в 1906 году, Марков показал, что при определенных условиях средние результаты цепи Маркова будут сходиться к фиксированному вектору значений, доказав тем самым слабый закон больших чисел без предположения независимости, [297] [298] [299] что обычно рассматривалось как требование для соблюдения таких математических законов. [299] Позже Марков использовал цепи Маркова для изучения распределения гласных в «Евгении Онегине» , написанном Александром Пушкиным , и доказал центральную предельную теорему для таких цепей. [300] [297]
В 1912 году Пуанкаре изучал цепи Маркова на конечных группах с целью изучения тасования карт. Другие ранние варианты использования цепей Маркова включают модель диффузии, представленную Полом и Татьяной Эренфестами в 1907 году, и процесс ветвления, представленный Фрэнсисом Гальтоном и Генри Уильямом Уотсоном в 1873 году, предшествовавший работе Маркова. [297] [298] После работы Гальтона и Уотсона позже выяснилось, что их ветвящийся процесс был независимо открыт и изучен примерно тремя десятилетиями ранее Ирене-Жюлем Бьенеме . [301] Начиная с 1928 года Морис Фреше заинтересовался цепями Маркова, что в конечном итоге привело к публикации в 1938 году подробного исследования цепей Маркова. [297] [302]
Андрей Колмогоров в статье 1931 года развил большую часть ранней теории марковских процессов с непрерывным временем. [252] [258] Колмогоров был частично вдохновлен работой Луи Башелье 1900 года о колебаниях на фондовом рынке, а также работой Норберта Винера над моделью Эйнштейна броуновского движения. [258] [303] Он ввел и изучил особый набор марковских процессов, известных как диффузионные процессы, где он вывел набор дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. [258] [304] Независимо от работы Колмогорова, Сидни Чепмен в статье 1928 года вывел уравнение, теперь называемое уравнением Чепмена-Колмогорова , менее математически строгим способом, чем Колмогоров, изучая броуновское движение. [305] Дифференциальные уравнения теперь называются уравнениями Колмогорова [306] или уравнениями Колмогорова–Чепмена. [307] Среди других математиков, которые внесли значительный вклад в основы марковских процессов, - Уильям Феллер, начиная с 1930-х годов, а затем Юджин Дынкин, начиная с 1950-х годов. [252]
Процессы Леви
Процессы Леви, такие как процесс Винера и процесс Пуассона (на действительной прямой), названы в честь Поля Леви, который начал изучать их в 1930-х годах [225] , но они связаны с бесконечно делимыми распределениями, начиная с 1920-х годов. [224] В статье 1932 года Колмогоров вывел характеристическую функцию для случайных величин, связанных с процессами Леви. Позднее этот результат был получен в более общих условиях Леви в 1934 году, а затем Хинчин независимо дал альтернативную форму для этой характеристической функции в 1937 году. [252] [308] Помимо Леви, Хинчина и Коломогрова, ранние фундаментальные вклады в теорию Процессы Леви были разработаны Бруно де Финетти и Кийоси Ито . [224]
Математическая конструкция
В математике необходимы конструкции математических объектов, как и в случае случайных процессов, чтобы доказать их математическое существование. [57] Существует два основных подхода к построению случайного процесса. Один из подходов включает рассмотрение измеримого пространства функций, определение подходящего измеримого отображения вероятностного пространства в это измеримое пространство функций, а затем получение соответствующих конечномерных распределений. [309]
Другой подход предполагает определение набора случайных величин, имеющих определенные конечномерные распределения, а затем использование теоремы существования Колмогорова [j] для доказательства существования соответствующего случайного процесса. [57] [309] Эта теорема, которая представляет собой теорему существования мер в бесконечных пространствах произведений, [313] говорит, что если любые конечномерные распределения удовлетворяют двум условиям, известным как условия согласованности , то существует стохастический процесс с этими конечными -мерные распределения. [57]
Вопросы строительства
При построении случайных процессов с непрерывным временем возникают определенные математические трудности из-за несчетных наборов индексов, которые не встречаются в процессах с дискретным временем. [58] [59] Одна из проблем заключается в том, возможно ли наличие более одного случайного процесса с одинаковыми конечномерными распределениями. Например, как непрерывная слева модификация, так и непрерывная справа модификация пуассоновского процесса имеют одинаковые конечномерные распределения. [314] Это означает, что распределение случайного процесса не обязательно однозначно определяет свойства выборочных функций случайного процесса. [309] [315]
Другая проблема заключается в том, что функционалы процесса с непрерывным временем, основанные на несчетном числе точек набора индексов, могут быть неизмеримыми, поэтому вероятности определенных событий не могут быть четко определены. [168] Например, верхняя грань случайного процесса или случайного поля не обязательно является четко определенной случайной величиной. [30] [59] Для случайного процесса с непрерывным временем другие характеристики, которые зависят от несчетного числа точек набора индексов, включают: [168]
выборочная функция случайного процесса является непрерывной функцией ;
выборочная функция случайного процесса является возрастающей функцией .
Для преодоления этих двух трудностей возможны различные предположения и подходы. [69]
Решение строительных вопросов
Один из подходов, позволяющих избежать проблем математического построения случайных процессов, предложенный Джозефом Дубом , состоит в том, чтобы предположить, что случайный процесс является сепарабельным. [316] Сепарабельность гарантирует, что бесконечномерные распределения определяют свойства выборочных функций, требуя, чтобы выборочные функции по существу определялись их значениями на плотном счетном множестве точек в наборе индексов. [317] Более того, если случайный процесс сепарабельен, то функционалы от несчетного числа точек индексного множества измеримы и их вероятности можно изучать. [168] [317]
Возможен другой подход, первоначально разработанный Анатолием Скороходом и Андреем Колмогоровым [318] для стохастического процесса с непрерывным временем и любым метрическим пространством в качестве пространства состояний. Для построения такого случайного процесса предполагается, что выборочные функции случайного процесса принадлежат некоторому подходящему функциональному пространству, которым обычно является пространство Скорохода, состоящее из всех непрерывных справа функций с левыми пределами. Этот подход сейчас используется чаще, чем предположение о разделимости [69] , [263], но такой случайный процесс, основанный на этом подходе, будет автоматически разделимым. [319]
Хотя предположение о разделимости используется реже, оно считается более общим, поскольку каждый случайный процесс имеет отделимую версию. [263] Он также используется, когда невозможно построить случайный процесс в пространстве Скорохода. [173] Например, разделимость предполагается при построении и изучении случайных полей, где набор случайных величин теперь индексируется наборами, отличными от действительной линии, такими как -мерное евклидово пространство. [30] [320]
^ Термин «броуновское движение» может относиться к физическому процессу, также известному как броуновское движение , и стохастическому процессу, математическому объекту, но во избежание двусмысленности в этой статье для последнего используются термины « процесс броуновского движения» или «винеровский процесс» в стиле, аналогичном , например, Гихман и Скороход [19] или Розенблатт. [20]
^ Термин «сепарабельный» появляется здесь дважды в двух разных значениях, причем первое значение связано с вероятностью, а второе — с топологией и анализом. Чтобы случайный процесс был сепарабельным (в вероятностном смысле), его набор индексов должен быть сепарабельным пространством (в топологическом или аналитическом смысле), в дополнение к другим условиям. [136]
^ Определение разделимости для стохастического процесса с действительным значением в непрерывном времени можно сформулировать и другими способами. [172] [173]
^ В контексте точечных процессов термин «пространство состояний» может означать пространство, в котором определяется точечный процесс, например, действительная линия, [234] [235], что соответствует набору индексов в терминологии стохастических процессов.
^ Также известен как Джеймс или Жак Бернулли. [245]
^ Было отмечено, что заметным исключением была Санкт-Петербургская школа в России, где математики под руководством Чебышева изучали теорию вероятностей. [250]
^ Имя Хинчин также пишется (или транслитерируется) на английском языке как Хинчин. [63]
^ Дуб, цитируя Хинчина, использует термин «случайная переменная», который раньше был альтернативой термину «случайная величина». [261]
^ Позже переведено на английский язык и опубликовано в 1950 году как «Основы теории вероятностей» [249]
^ У этой теоремы есть и другие названия, включая теорему непротиворечивости Колмогорова, [310] теорему расширения Колмогорова [311] или теорему Даниэля – Колмогорова. [312]
^ abcd LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN978-1-107-71749-7.
^ abc Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 29. ISBN978-1-4684-9305-4.
^ abcdefghijkl Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 1. ISBN978-0-486-69387-3.
^ Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. ISBN978-0-486-69387-3.
^ Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Издательство Оксфордского университета.
^ abcdefghi Джарроу, Роберт; Проттер, Филип (2004). «Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: первые годы, 1880–1970». Фестиваль Германа Рубина . Конспект лекций Института математической статистики - Серия монографий. стр. 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632 . doi : 10.1214/lnms/1196285381. ISBN978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170.
^ abcdefgh Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежам, или Константы могут меняться». Математический вестник . 84 (500): 197–210. дои : 10.2307/3621649. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649. S2CID 125163415.
^ Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 32. ISBN978-1-4612-3166-0.
^ abcd Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуя и свойством Шарпа Маркова? Немного истории стохастических точечных процессов». Международный статистический обзор . 80 (2): 253–268. дои : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734. S2CID 80836.
^ Гусак, Дмитрий; Кукуш, Александр; Кулик, Алексей; Мишура, Юлия ; Пилипенко, Андрей (2010). Теория случайных процессов: с приложениями к финансовой математике и теории риска. Springer Science & Business Media. п. 21. ISBN978-0-387-87862-1.
^ Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 42. ИСБН978-3-540-26312-8.
^ abcdef Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 24–25. ISBN978-0-387-95313-7.
^ abcd Лоик Шомон; Марк Йор (2012). Упражнения по вероятности: экскурсия от теории меры к случайным процессам через кондиционирования. Издательство Кембриджского университета. п. 175. ИСБН978-1-107-60655-5.
^ abcdefgh Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. стр. 7–8. ISBN978-0-387-48116-6.
^ Грегори Ф. Лоулер; Влада Лимич (2010). Случайное блуждание: современное введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-1-139-48876-1.
^ Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-0-521-40605-5.
^ LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-1-107-71749-7.
^ Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-0-521-83263-2.
^ Михаил Лифшиц (2012). Лекции по гауссовским процессам. Springer Science & Business Media. ISBN978-3-642-24939-6.
^ Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. ISBN978-0-89871-693-1.
^ Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. ISBN978-0-08-057041-9.
^ Брюс Хайек (2015). Случайные процессы для инженеров. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-1-316-24124-0.
^ аб Г. Латуш; В. Рамасвами (1999). Введение в методы матричного анализа в стохастическом моделировании. СИАМ. ISBN978-0-89871-425-8.
^ DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. ISBN978-0-387-21337-8.
^ Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. ISBN978-81-265-1771-8.
^ Пьер Бремо (2014). Фурье-анализ и случайные процессы. Спрингер. ISBN978-3-319-09590-5.
^ Адам Бобровски (2005). Функциональный анализ вероятности и случайных процессов: Введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-0-521-83166-6.
^ Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1336–1347.
^ аб Йохен Блат; Питер Имкеллер; Сильви Рулли (2011). Исследования случайных процессов. Европейское математическое общество. ISBN978-3-03719-072-2.
^ Мишель Талагран (2014). Верхние и нижние границы случайных процессов: современные методы и классические проблемы. Springer Science & Business Media. стр. 4–. ISBN978-3-642-54075-2.
^ Пол С. Бресслофф (2014). Случайные процессы в клеточной биологии. Спрингер. стр. VII–IX. ISBN978-3-319-08488-6.
^ abcd Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 27. ISBN978-0-08-057041-9.
^ abcdefghij Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1337.
^ ab LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. стр. 121–124. ISBN978-1-107-71749-7.
^ abcdef Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. стр. 294, 295. ISBN.978-1-118-59320-2.
^ аб Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 26. ISBN978-0-08-057041-9.
^ Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. стр. 24, 25. ISBN.978-1-4612-3166-0.
^ ab Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. п. 482. ИСБН978-81-265-1771-8.
^ ab Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 527. ИСБН978-1-4471-5201-9.
^ abc Пьер Бремо (2014). Фурье-анализ и случайные процессы. Спрингер. п. 120. ИСБН978-3-319-09590-5.
^ abcde Джеффри С. Розенталь (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей. World Scientific Publishing Co Inc., стр. 177–178. ISBN978-981-310-165-4.
^ аб Питер Э. Клоден; Экхард Платен (2013). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Springer Science & Business Media. п. 63. ИСБН978-3-662-12616-5.
^ abc Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. стр. 153–155. ISBN978-0-387-21631-7.
^ О. Б. Шейнин (2006). Теория вероятностей и статистика на примере коротких изречений. НГ Верлаг. п. 5. ISBN978-3-938417-40-9.
^ Оскар Шейнин; Генрих Штрекер (2011). Александр Алексеевич Чупров: жизнь, творчество, переписка. В&Р Юнипресс ГмбХ. п. 136. ИСБН978-3-89971-812-6.
^ abcd Дуб, Джозеф (1934). «Стохастические процессы и статистика». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 20 (6): 376–379. Бибкод : 1934PNAS...20..376D. дои : 10.1073/pnas.20.6.376 . ПМЦ 1076423 . ПМИД 16587907.
^ Берт Э. Фристедт; Лоуренс Ф. Грей (2013). Современный подход к теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 580. ИСБН978-1-4899-2837-5.
^ abcd LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. стр. 121, 122. ISBN.978-1-107-71749-7.
^ abcde Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 408. ИСБН978-0-387-00211-8.
^ аб Дэвид Стирзакер (2005). Стохастические процессы и модели. Издательство Оксфордского университета. п. 45. ИСБН978-0-19-856814-8.
^ Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Издательство Оксфордского университета. п. 91.
^ Джон А. Губнер (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и вычислительной техники. Издательство Кембриджского университета. п. 383. ИСБН978-1-139-45717-0.
^ аб Киёси Ито (2006). Основы случайных процессов. Американское математическое соц. п. 13. ISBN978-0-8218-3898-3.
^ М. Лоев (1978). Теория Вероятностей II. Springer Science & Business Media. п. 163. ИСБН978-0-387-90262-3.
^ Пьер Бремо (2014). Фурье-анализ и случайные процессы. Спрингер. п. 133. ИСБН978-3-319-09590-5.
^ Аб Гусак и др. (2010), с. 1
^ Ричард Ф. Басс (2011). Случайные процессы. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN978-1-139-50147-7.
^ ab , Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории. Спрингер-Верлаг. п. 3. ISBN 978-3-540-90275-1.
^ Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 55. ИСБН978-1-86094-555-7.
^ аб Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 293. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ аб Флореску, Ионут (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 301. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ аб Берцекас, Дмитрий П.; Цициклис, Джон Н. (2002). Введение в вероятность. Афина Сайентифик. п. 273. ИСБН978-1-886529-40-3.
^ Ибе, Оливер К. (2013). Элементы случайного блуждания и диффузионных процессов. Джон Уайли и сыновья. п. 11. ISBN978-1-118-61793-9.
^ Ахим Кленке (2013). Теория вероятностей: комплексный курс. Спрингер. п. 347. ИСБН978-1-4471-5362-7.
^ Грегори Ф. Лоулер; Влада Лимич (2010). Случайное блуждание: современное введение. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN978-1-139-48876-1.
^ Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. п. 136. ИСБН978-0-387-95313-7.
^ Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 383. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ Рик Дарретт (2010). Вероятность: теория и примеры. Издательство Кембриджского университета. п. 277. ИСБН978-1-139-49113-6.
^ abc Вайс, Джордж Х. (2006). «Случайные прогулки». Энциклопедия статистических наук . п. 1. дои : 10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN978-0471667193.
^ Арис Спанос (1999). Теория вероятностей и статистический вывод: эконометрическое моделирование с использованием данных наблюдений. Издательство Кембриджского университета. п. 454. ИСБН978-0-521-42408-0.
^ аб Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 81. ИСБН978-1-86094-555-7.
^ Аллан Гут (2012). Вероятность: аспирантура. Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН978-1-4614-4708-5.
^ Джеффри Гримметт; Дэвид Стирзакер (2001). Вероятность и случайные процессы. ОУП Оксфорд. п. 71. ИСБН978-0-19-857222-0.
^ Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 56. ИСБН978-1-86094-555-7.
^ Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 1–2. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN 0003-9519. S2CID 117623580.
^ Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1338.
^ Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 21. ISBN978-0-486-69387-3.
^ Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 471. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ аб Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. стр. 21, 22. ISBN.978-0-08-057041-9.
^ Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. VIII. ISBN978-1-4612-0949-2.
^ Дэниел Ревуз ; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. п. IX. ISBN978-3-662-06400-9.
^ Джеффри С. Розенталь (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей. World Scientific Publishing Co Inc. с. 186. ИСБН978-981-310-165-4.
^ Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 33. ISBN978-1-4612-3166-0.
^ Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 118. ИСБН978-1-4684-9305-4.
^ аб Петер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Издательство Кембриджского университета. стр. 1, 3. ISBN978-1-139-48657-6.
^ Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 78. ИСБН978-1-4612-0949-2.
^ Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 61. ИСБН978-1-4612-0949-2.
^ Стивен Э. Шрив (2004). Стохастическое исчисление для финансов II: модели непрерывного времени. Springer Science & Business Media. п. 93. ИСБН978-0-387-40101-0.
^ Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 225, 260. ISBN.978-0-387-95313-7.
^ Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 70. ИСБН978-1-4612-0949-2.
^ Питер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Издательство Кембриджского университета. п. 131. ИСБН978-1-139-48657-6.
^ Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. ISBN978-1-86094-555-7.
^ Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. ISBN978-1-4612-0949-2.
^ Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1341.
^ Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 340. ИСБН978-0-08-057041-9.
^ Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 124. ИСБН978-1-86094-555-7.
^ Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 47. ИСБН978-1-4612-0949-2.
^ Уббо Ф. Виерсема (2008). Броуновское исчисление движения. Джон Уайли и сыновья. п. 2. ISBN978-0-470-02171-2.
^ abc Хенк К. Таймс (2003). Первый курс стохастических моделей. Уайли. стр. 1, 2. ISBN978-0-471-49881-0.
^ DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 19–36. ISBN978-0-387-21564-8.
^ Марк А. Пински; Сэмюэл Карлин (2011). Введение в стохастическое моделирование. Академическая пресса. п. 241. ИСБН978-0-12-381416-6.
^ DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. п. 19. ISBN978-0-387-21564-8.
^ Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. стр. 118, 119. ISBN.978-0-08-057041-9.
^ Леонард Кляйнрок (1976). Системы массового обслуживания: теория . Уайли. п. 61. ИСБН978-0-471-49110-1.
^ Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Издательство Оксфордского университета. п. 94.
^ аб Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. стр. 10, 18. ISBN.978-1-107-01469-5.
^ аб Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 41, 108. ISBN.978-1-118-65825-3.
^ аб Рой Л. Стрейт (2010). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. п. 1. ISBN978-1-4419-6923-1.
^ JFC Кингман (1992). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. против ISBN978-0-19-159124-2.
^ Георг Линдгрен; Хольгер Рутцен; Мария Сандстен (2013). Стационарные случайные процессы для ученых и инженеров. ЦРК Пресс. п. 11. ISBN978-1-4665-8618-5.
^ Ауманн, Роберт (декабрь 1961 г.). «Борелевские структуры для функциональных пространств». Иллинойсский математический журнал . 5 (4). дои : 10.1215/ijm/1255631584 . S2CID 117171116.
^ abc Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 93, 94. ISBN.978-3-540-26312-8.
^ Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 25. ISBN978-1-4612-3166-0.
^ Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 104. ИСБН978-3-540-26312-8.
^ Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 296. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. п. 493. ИСБН978-81-265-1771-8.
^ Бернт Оксендал (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN978-3-540-04758-2.
^ abcde Питер К. Фриз ; Николя Б. Виктор (2010). Многомерные случайные процессы как неровные пути: теория и приложения. Издательство Кембриджского университета. п. 571. ИСБН978-1-139-48721-4.
^ Сидни И. Резник (2013). Приключения в случайных процессах. Springer Science & Business Media. стр. 40–41. ISBN978-1-4612-0387-2.
^ Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. п. 23. ISBN978-0-387-21748-2.
^ Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN978-0-521-83263-2.
^ Дэниел Ревуз; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN978-3-662-06400-9.
^ LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. п. 123. ИСБН978-1-107-71749-7.
^ abcd Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории. Спрингер-Верлаг. стр. 6 и 7. ISBN978-3-540-90275-1.
^ Иосиф И. Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 4. ISBN978-0-486-69387-3.
^ abcd Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. стр. 14, 15. ISBN.978-0-89871-693-1.
^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 112. ИСБН978-1-118-65825-3.
^ аб Джозеф Л. Дуб (1990). Случайные процессы. Уайли. стр. 94–96.
^ аб Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. стр. 298, 299. ISBN.978-1-118-59320-2.
^ Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 8. ISBN978-0-486-69387-3.
^ abc Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Издательство Кембриджского университета. стр. 93, 94. ISBN.978-0-521-40605-5.
^ Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. стр. 22–23. ISBN978-1-86094-555-7.
^ Питер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Издательство Кембриджского университета. п. 37. ИСБН978-1-139-48657-6.
^ ab LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. п. 130. ИСБН978-1-107-71749-7.
^ Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 530. ИСБН978-1-4471-5201-9.
^ Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 48. ИСБН978-1-86094-555-7.
^ аб Бернт Оксендал (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Springer Science & Business Media. п. 14. ISBN978-3-540-04758-2.
^ аб Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 472. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ Дэниел Ревуз; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. стр. 18–19. ISBN978-3-662-06400-9.
^ Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 20. ISBN978-0-521-83263-2.
^ Хироши Кунита (1997). Стохастические потоки и стохастические дифференциальные уравнения. Издательство Кембриджского университета. п. 31. ISBN978-0-521-59925-2.
^ Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. п. 35. ISBN978-0-387-95313-7.
^ Моник Жанблан ; Марк Йор ; Марк Чесни (2009). Математические методы для финансовых рынков. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN978-1-85233-376-8.
^ Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 150. ИСБН978-0-486-69387-3.
^ аб Петар Тодорович (2012). Введение в случайные процессы и их приложения. Springer Science & Business Media. стр. 19–20. ISBN978-1-4613-9742-7.
^ Илья Молчанов (2005). Теория случайных множеств. Springer Science & Business Media. п. 340. ИСБН978-1-85233-892-3.
^ ab Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. стр. 526–527. ISBN978-81-265-1771-8.
^ ab Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 535. ИСБН978-1-4471-5201-9.
^ Гусак и др. (2010), с. 22
^ Джозеф Л. Дуб (1990). Случайные процессы. Уайли. п. 56.
^ Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 155. ИСБН978-0-387-21631-7.
^ Лапидот, Амос, Фонд цифровых коммуникаций , Cambridge University Press, 2009.
^ abc Кун Иль Парк, Основы теории вероятностей и случайных процессов с применением в коммуникациях, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ abcd Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. стр. 78–79. ISBN978-0-387-21748-2.
^ Аб Гусак и др. (2010), с. 24
^ abcd Владимир Иванович Богачев (2007). Теория меры (Том 2). Springer Science & Business Media. п. 53. ИСБН978-3-540-34514-5.
^ abc Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 4. ISBN978-1-86094-555-7.
^ аб Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 420. ИСБН978-0-387-00211-8.
^ abc Патрик Биллингсли (2013). Сходимость вероятностных мер. Джон Уайли и сыновья. п. 121. ИСБН978-1-118-62596-5.
^ Ричард Ф. Басс (2011). Случайные процессы. Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN978-1-139-50147-7.
^ Николас Х. Бингхэм; Рюдигер Кизель (2013). Нейтральная к риску оценка: ценообразование и хеджирование производных финансовых инструментов. Springer Science & Business Media. п. 154. ИСБН978-1-4471-3856-3.
^ Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 532. ИСБН978-1-4471-5201-9.
^ Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. стр. 148–165. ISBN978-0-387-21631-7.
^ Петар Тодорович (2012). Введение в случайные процессы и их приложения. Springer Science & Business Media. п. 22. ISBN978-1-4613-9742-7.
^ Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. п. 79. ИСБН978-0-387-21748-2.
^ Ричард Серфозо (2009). Основы прикладных случайных процессов. Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN978-3-540-89332-5.
^ Ю.А. Розанов (2012). Марковские случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 58. ИСБН978-1-4613-8190-7.
^ Шон Мейн; Ричард Л. Твиди (2009). Цепи Маркова и стохастическая устойчивость. Издательство Кембриджского университета. п. 19. ISBN978-0-521-73182-9.
^ Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 47. ИСБН978-0-08-057041-9.
^ Реувен Ю. Рубинштейн; Дирк П. Крозе (2011). Моделирование и метод Монте-Карло. Джон Уайли и сыновья. п. 225. ИСБН978-1-118-21052-9.
^ Дэни Гамерман; Хедиберт Ф. Лопес (2006). Цепь Маркова Монте-Карло: стохастическое моделирование для байесовского вывода, второе издание. ЦРК Пресс. ISBN978-1-58488-587-0.
^ Ю.А. Розанов (2012). Марковские случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 61. ИСБН978-1-4613-8190-7.
^ Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 27. ISBN978-1-4612-3166-0.
^ Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. п. 253. ИСБН978-1-4757-3124-8.
^ abc Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 65. ИСБН978-1-86094-555-7.
^ abc Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 11. ISBN978-1-4612-0949-2.
^ Франсуа Бачелли; Пьер Бремо (2013). Элементы теории массового обслуживания: исчисление Palm Martingale и стохастические повторения. Springer Science & Business Media. ISBN978-3-662-11657-9.
^ П. Холл; CC Хейде (2014). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Эльзевир Наука. п. Икс. ISBN978-1-4832-6322-9.
^ abcd Жан Бертуан (1998). Процессы Леви. Издательство Кембриджского университета. п. viii. ISBN978-0-521-64632-1.
^ abc Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1336.
^ Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 69. ИСБН978-0-521-83263-2.
^ Леонид Коралов; Яков Григорьевич Синай (2007). Теория вероятностей и случайных процессов. Springer Science & Business Media. п. 171. ИСБН978-3-540-68829-7.
^ Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 19. ISBN978-0-521-83263-2.
^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 109. ИСБН978-1-118-65825-3.
^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 108. ИСБН978-1-118-65825-3.
^ Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN978-1-107-01469-5.
^ DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. п. 194. ИСБН978-0-387-21564-8.
^ Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. п. 7. ISBN978-0-203-49693-0.
^ Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 31. ISBN978-0-08-057041-9.
^ Фолькер Шмидт (2014). Стохастическая геометрия, пространственная статистика и случайные поля: модели и алгоритмы. Спрингер. п. 99. ИСБН978-3-319-10064-7.
^ DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. ISBN978-0-387-21564-8.
^ abcdef Ганюк, Пол А. (2017). Цепи Маркова: от теории к реализации и экспериментам . США: Джон Уайли и сыновья. стр. 1–2. ISBN978-1-119-38755-8.
^ Дэвид, ФН (1955). «Исследования по истории вероятности и статистики I. Игра в кости и игры (заметки по истории вероятностей)». Биометрика . 42 (1/2): 1–15. дои : 10.2307/2333419. ISSN 0006-3444. JSTOR 2333419.
^ Л. Е. Майстров (2014). Теория вероятностей: исторический очерк. Эльзевир Наука. п. 1. ISBN978-1-4832-1863-2.
^ аб Сенета, Э. (2006). «Вероятность, история». Энциклопедия статистических наук . п. 1. дои : 10.1002/0471667196.ess2065.pub2. ISBN978-0471667193.
^ Джон Табак (2014). Вероятность и статистика: наука неопределенности. Издательство информационной базы. стр. 24–26. ISBN978-0-8160-6873-9.
^ Беллхаус, Дэвид (2005). «Расшифровка Liber de Ludo Aleae Кардано». История Математики . 32 (2): 180–202. дои : 10.1016/j.hm.2004.04.001 . ISSN 0315-0860.
^ Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 221. ИСБН978-0-471-72517-6.
^ Л. Е. Майстров (2014). Теория вероятностей: исторический очерк. Эльзевир Наука. п. 56. ИСБН978-1-4832-1863-2.
^ Джон Табак (2014). Вероятность и статистика: наука неопределенности. Издательство информационной базы. п. 37. ИСБН978-0-8160-6873-9.
^ Аб Чунг, Кай Лай (1998). «Вероятность и Дуб». Американский математический ежемесячник . 105 (1): 28–35. дои : 10.2307/2589523. ISSN 0002-9890. JSTOR 2589523.
^ abcdef Бингхэм, Н. (2000). «Исследования по истории вероятности и статистике XLVI. Мера в вероятность: от Лебега до Колмогорова». Биометрика . 87 (1): 145–156. дои : 10.1093/biomet/87.1.145. ISSN 0006-3444.
^ аб Бензи, Маргарита; Бензи, Мишель; Сенета, Евгений (2007). «Франческо Паоло Кантелли. Род. 20 декабря 1875 г., ум. 21 июля 1966 г.». Международный статистический обзор . 75 (2): 128. doi :10.1111/j.1751-5823.2007.00009.x. ISSN 0306-7734. S2CID 118011380.
^ Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 15–16. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN 0003-9519. S2CID 117623580.
^ abcd Кендалл, генеральный директор; Бэтчелор, ГК; Бингем, Нью-Хэмпшир; Хейман, ВК; Хайланд, JME; Лоренц, Г.Г.; Моффатт, Гонконг; Парри, В.; Разборов А.А.; Робинсон, Калифорния; Уиттл, П. (1990). «Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987)». Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (1): 33. doi :10.1112/blms/22.1.31. ISSN 0024-6093.
^ Вер-Джонс, Дэвид (2006). «Хинчин, Александр Яковлевич». Энциклопедия статистических наук . п. 1. дои :10.1002/0471667196.ess6027.pub2. ISBN978-0471667193.
^ аб Вер-Джонс, Дэвид (2006). «Хинчин, Александр Яковлевич». Энциклопедия статистических наук . п. 4. дои : 10.1002/0471667196.ess6027.pub2. ISBN978-0471667193.
^ Аб Снелл, Дж. Лори (2005). «Некролог: Джозеф Леонард Дуб». Журнал прикладной вероятности . 42 (1): 251. doi : 10.1239/jap/1110381384 . ISSN 0021-9002.
^ abcde Мейер, Поль-Андре (2009). «Стохастические процессы с 1950 года по настоящее время». Электронный журнал истории теории вероятностей и статистики . 5 (1): 1–42.
^ Эллис, Ричард С. (1995). «Обзор теории больших уклонений и приложений к статистической механике». Скандинавский актуарный журнал . 1995 (1): 98. doi : 10.1080/03461238.1995.10413952. ISSN 0346-1238.
^ DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 1–4. ISBN978-0-387-21564-8.
^ Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 226. ИСБН978-0-471-72517-6.
^ аб Джоэл Луи Лебовиц (1984). Неравновесные явления II: от стохастики к гидродинамике. Северо-Голландский паб. стр. 8–10. ISBN978-0-444-86806-0.
^ Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 374. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ Оливер К. Айб (2013). Элементы случайного блуждания и диффузионных процессов. Джон Уайли и сыновья. п. 5. ISBN978-1-118-61793-9.
^ Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 63. ИСБН978-0-471-72517-6.
^ Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 202. ИСБН978-0-471-72517-6.
^ Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 385. ИСБН978-1-118-59320-2.
^ Барри Д. Хьюз (1995). Случайные блуждания и случайная среда: Случайные блуждания. Кларендон Пресс. п. 111. ИСБН978-0-19-853788-5.
^ Тиле, Торвальд Н. (1880). «Ом Anvendelse af Mindste Kvadraterbs Methode and nogle Tilfælde, hvoren Complikation af Visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder, дающем Fejleneen «систематический» характер». Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter . Серия 5 (12): 381–408.
^ Хальд, Андерс (1981). «Вклад Т. Н. Тиле в статистику». Международное статистическое обозрение/Revue Internationale de Statistique . 49 (1): 1–20. дои : 10.2307/1403034. ISSN 0306-7734. JSTOR 1403034.
^ аб Лауритцен, Штеффен Л. (1981). «Анализ временных рядов в 1880 году: обсуждение вклада Т. Н. Тиле». Международное статистическое обозрение/Revue Internationale de Statistique . 49 (3): 319–320. дои : 10.2307/1402616. ISSN 0306-7734. JSTOR 1402616.
^ Башелье, Луис (1900). «Теория спекуляций» (PDF) . Анна. наук. Эк. Норма. Супер. Серия 3, 17: 21–89. дои : 10.24033/asens.476 . Архивировано (PDF) из оригинала 5 июня 2011 г.
^ Башелье, Луис (1900). «Теория спекуляции». Анна. наук. Эк. Норма. Супер . Серия 3, 17: 21–89 (перевод Дэвида Р. Мэя, 2011 г.). дои : 10.24033/asens.476 .
^ Аб Курто, Жан-Мишель; Кабанов Юрий; Брю, Бернар; Крепель, Пьер; Лебон, Изабель; Ле Маршан, Арно (2000). «Луи Башелье к столетию теории спекуляций» (PDF) . Математические финансы . 10 (3): 339–353. дои : 10.1111/1467-9965.00098. ISSN 0960-1627. S2CID 14422885. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
^ abcde Йованович, Франк (2012). «Башелье: не забытый предшественник, которым его изображают. Анализ распространения работ Луи Башелье по экономике» (PDF) . Европейский журнал истории экономической мысли . 19 (3): 431–451. дои : 10.1080/09672567.2010.540343. ISSN 0967-2567. S2CID 154003579. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
^ Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 25. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN 0003-9519. S2CID 117623580.
^ Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 1–36. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN 0003-9519. S2CID 117623580.
^ DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 8–9. ISBN978-0-387-21564-8.
^ Эмбрехтс, Пол; Фрей, Рюдигер; Фуррер, Хансйорг (2001). «Стохастические процессы в страховании и финансах». Случайные процессы: теория и методы . Справочник по статистике. Том. 19. с. 367. дои :10.1016/S0169-7161(01)19014-0. ISBN978-0444500144. ISSN 0169-7161.
^ Крамер, Харальд (1969). «Исторический обзор работ Филипа Лундберга по теории риска». Скандинавский актуарный журнал . 1969 (sup3): 6–12. дои : 10.1080/03461238.1969.10404602. ISSN 0346-1238.
^ abcd Чарльз Миллер Гринстед; Джеймс Лори Снелл (1997). Введение в вероятность. Американское математическое соц. стр. 464–466. ISBN978-0-8218-0749-1.
^ аб Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. п. ix. ISBN978-1-4757-3124-8.
^ Аб Хейс, Брайан (2013). «Первые звенья цепи Маркова». Американский учёный . 101 (2): 92–96. дои : 10.1511/2013.101.92.
^ Ганюк, Пол А. (2017). Цепи Маркова: от теории к реализации и экспериментам . Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. стр. 1–235. ISBN978-1-119-38755-8.
^ Сенета, Э. (1998). «И. Ж. Бьенеме [1796–1878]: критичность, неравенство и интернационализация». Международное статистическое обозрение/Revue Internationale de Statistique . 66 (3): 291–292. дои : 10.2307/1403518. ISSN 0306-7734. JSTOR 1403518.
^ Брю, Б.; Герц, С. (2001). «Морис Фреше». Статистики веков . стр. 331–334. дои : 10.1007/978-1-4613-0179-0_71. ISBN978-0-387-95283-3.
^ Марк Барбут; Бернард Локер; Лоран Мазлиак (2016). Поль Леви и Морис Фреше: 50 лет переписки в 107 письмах. Спрингер Лондон. п. 5. ISBN978-1-4471-7262-8.
^ Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 146. ИСБН978-3-540-26312-8.
^ Бернштейн, Джереми (2005). «Башелье». Американский журнал физики . 73 (5): 398–396. Бибкод : 2005AmJPh..73..395B. дои : 10.1119/1.1848117. ISSN 0002-9505.
^ Уильям Дж. Андерсон (2012). Цепи Маркова с непрерывным временем: прикладно-ориентированный подход. Springer Science & Business Media. п. VII. ISBN978-1-4612-3038-0.
^ Кендалл, генеральный директор; Бэтчелор, ГК; Бингем, Нью-Хэмпшир; Хейман, ВК; Хайланд, JME; Лоренц, Г.Г.; Моффатт, Гонконг; Парри, В.; Разборов А.А.; Робинсон, Калифорния; Уиттл, П. (1990). «Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987)». Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (1): 57. doi :10.1112/blms/22.1.31. ISSN 0024-6093.
^ Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 67. ИСБН978-0-521-83263-2.
^ abc Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. п. 13. ISBN978-0-89871-693-1.
^ Кришна Б. Атрейя; Сумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятностей. Springer Science & Business Media. ISBN978-0-387-32903-1.
^ Бернт Оксендал (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN978-3-540-04758-2.
^ Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Издательство Кембриджского университета. п. 124. ИСБН978-0-521-40605-5.
^ Рик Дарретт (2010). Вероятность: теория и примеры. Издательство Кембриджского университета. п. 410. ИСБН978-1-139-49113-6.
^ Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. стр. 493–494. ISBN978-81-265-1771-8.
^ Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 529–530. ISBN978-1-4471-5201-9.
^ Кришна Б. Атрейя; Сумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 221. ИСБН978-0-387-32903-1.
^ AB Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. п. 14. ISBN978-0-387-48116-6.
^ Кришна Б. Атрейя; Сумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 211. ИСБН978-0-387-32903-1.
^ Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 536. ИСБН978-1-4471-5201-9.
^ Бенджамин Якир (2013). Экстремумы в случайных полях: теория и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 5. ISBN978-1-118-72062-2.
дальнейшее чтение
Статьи
Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1336–1347.
Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуя и свойством Шарпа Маркова? Немного истории стохастических точечных процессов». Международный статистический обзор . 80 (2): 253–268. дои : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734. S2CID 80836.
Джарроу, Роберт; Проттер, Филип (2004). «Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: первые годы, 1880–1970». Фестиваль Германа Рубина . Конспект лекций Института математической статистики - Серия монографий. стр. 75–91. doi : 10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170.
Мейер, Поль-Андре (2009). «Стохастические процессы с 1950 года по настоящее время». Электронный журнал истории теории вероятностей и статистики . 5 (1): 1–42.
Книги
Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. ISBN 978-0-89871-693-1.
Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48116-6.
Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3124-8.