Повышенная точность

Форматы чисел с плавающей точкой

Расширенная точность относится к форматам чисел с плавающей точкой , которые обеспечивают большую точность, чем базовые форматы с плавающей точкой. ^[1] Расширенные форматы точности поддерживают базовый формат, минимизируя ошибки округления и переполнения в промежуточных значениях выражений в базовом формате. В отличие от расширенной точности , арифметика произвольной точности относится к реализациям гораздо больших числовых типов (с объемом памяти, который обычно не является степенью двойки) с использованием специального программного обеспечения (или, реже, оборудования).

Реализации повышенной точности

Существует долгая история расширенных форматов с плавающей точкой, уходящая корнями почти в середину прошлого века ^{[ когда? ]} . Различные производители использовали различные форматы для расширенной точности для разных машин. Во многих случаях формат расширенной точности не совсем то же самое, что масштабирование обычных форматов одинарной и двойной точности, которые он призван расширять. В некоторых случаях реализация была просто программным изменением формата данных с плавающей точкой, но в большинстве случаев расширенная точность была реализована аппаратно, либо встроена в сам центральный процессор , либо, что чаще, встроена в аппаратное обеспечение дополнительного, присоединенного процессора, называемого «блоком с плавающей точкой » (FPU) или «процессором с плавающей точкой» ( FPP ), доступным для ЦП как быстрое устройство ввода/вывода.

Форматы IBM повышенной точности

IBM 1130 , проданный в 1965 году, ^[2] предлагал два формата с плавающей точкой: 32-битный формат «стандартной точности» и 40-битный формат «расширенной точности». Формат стандартной точности содержит 24-битную мантиссу с дополнением до двух , в то время как расширенная точность использует 32-битную мантиссу с дополнением до двух. Последний формат полностью использует 32-битные целочисленные операции ЦП. Характерной чертой обоих форматов является 8-битное поле, содержащее степень двойки, смещенную на 128. Арифметические операции с плавающей точкой выполняются программным обеспечением, а двойная точность вообще не поддерживается. Расширенный формат занимает три 16-битных слова, а дополнительное пространство просто игнорируется. ^[3]

IBM System/360 поддерживает 32-битный «короткий» формат с плавающей точкой и 64-битный «длинный» формат с плавающей точкой. ^[4] 360/85 и последующая System/370 добавляют поддержку 128-битного «расширенного» формата. ^[5] Эти форматы по-прежнему поддерживаются в текущем дизайне , где они теперь называются форматами « шестнадцатеричного числа с плавающей точкой » (HFP).

Формат расширенной точности Microsoft MBF

Порт Microsoft BASIC для процессора 6502 , например, в таких адаптациях, как Commodore BASIC , AppleSoft BASIC , KIM-1 BASIC или MicroTAN BASIC, поддерживает расширенный 40-битный вариант формата с плавающей точкой Microsoft Binary Format (MBF) с 1977 года. ^[6]

Расширенные форматы точности IEEE 754

Стандарт IEEE 754 с плавающей точкой рекомендует, чтобы реализации предоставляли расширенные форматы точности. Стандарт определяет минимальные требования для расширенного формата, но не определяет кодировку. ^[7] Кодировка выбирается разработчиком. ^[8]

Процессоры IA32 , x86-64 и Itanium поддерживают, безусловно, наиболее влиятельный формат в этом стандарте — 80-битный (64-битная мантисса) «двойной расширенный» формат Intel, описанный в следующем разделе .

Математические сопроцессоры Motorola 6888x и процессоры Motorola 68040 и 68060 также поддерживают 64-битный значимый формат расширенной точности (похожий на формат Intel, хотя дополненный до 96-битного формата с 16 неиспользуемыми битами, вставленными между полями экспоненты и значимыми, а значения с экспонентой ноль и битом 63 единица являются нормализованными значениями ^[9] ). Последующие процессоры Coldfire не поддерживают этот 96-битный расширенный формат точности. ^[10]

Математический сопроцессор FPA10 для ранних процессоров ARM также поддерживает 64-битный значащий формат расширенной точности (похожий на формат Intel, хотя и дополненный до 96-битного формата с 16 нулевыми битами, вставленными между полями знака и экспоненты), но без правильного округления. ^[11]

80-битные форматы x87 и Motorola 68881 соответствуют требованиям двойного расширенного формата IEEE 754-1985 ^{[12] , как и} 128-битный двоичный формат IEEE 754 .

x86 расширенный формат точности

Формат расширенной точности x86 — это 80-битный формат, впервые реализованный в математическом сопроцессоре Intel 8087 и поддерживаемый всеми процессорами на базе архитектуры x86 , включающими блок вычислений с плавающей запятой (FPU).

Intel 8087 был первым устройством x86 , которое поддерживало арифметику с плавающей точкой на аппаратном уровне. Он был разработан для поддержки 32-битного формата «одинарной точности» и 64-битного формата «двойной точности» для кодирования и обмена числами с плавающей точкой. Расширенный формат был разработан не для хранения данных с более высокой точностью, а для обеспечения более надежного и точного вычисления временных двойных результатов за счет минимизации ошибок переполнения и округления в промежуточных вычислениях. ^{[a] [14] [15]} Все регистры с плавающей точкой в ​​8087 поддерживают этот формат, и он автоматически преобразует числа в этот формат при загрузке регистров из памяти , а также преобразует результаты обратно в более традиционные форматы при сохранении регистров обратно в память. Чтобы обеспечить сохранение промежуточных результатов подвыражений в переменных повышенной точности и их продолжение в операторах языка программирования, а также возобновление прерванных вычислений с того места, на котором они были прерваны, предусмотрены инструкции , которые передают значения между этими внутренними регистрами и памятью без выполнения каких-либо преобразований, что, таким образом, обеспечивает доступ к расширенному формату вычислений ^[b] , что также возрождает вопрос о точности функций таких чисел, но с более высокой точностью.

Блоки с плавающей точкой (FPU) на всех последующих процессорах x86 поддерживали этот формат. В результате можно разработать программное обеспечение, которое использует преимущества более высокой точности, предоставляемой этим форматом. Уильям Кахан , главный разработчик арифметики x87 и первоначального предложения стандарта IEEE 754, отмечает о разработке плавающей точки x87: «Расширенный формат, настолько широкий, насколько мы осмелились (80 бит), был включен для выполнения той же вспомогательной роли, которую 13-десятичный внутренний формат выполняет в 10-десятичных калькуляторах Hewlett-Packard». ^[17] Более того, Кахан отмечает, что 64 бита были самой широкой значащей, через которую можно было выполнять распространение переноса без увеличения времени цикла на 8087, ^[18] и что расширенная точность x87 была разработана для расширения до более высокой точности в будущих процессорах:

«На данный момент 10-байтовый расширенный формат является приемлемым компромиссом между ценностью сверхточной арифметики и ценой ее реализации для быстрой работы; очень скоро два дополнительных байта точности станут приемлемыми, и в конечном итоге формат составит 16 байт . ... Такого рода постепенная эволюция в сторону более высокой точности уже была видна, когда был разработан стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей точкой ». ^[19]

Этот 80-битный формат использует один бит для знака мантиссы, 15 бит для поля экспоненты (т. е. тот же диапазон, что и 128-битный формат четверной точности IEEE 754 ) и 64 бита для мантиссы. Поле экспоненты смещено на 16383, что означает , что 16383 должно быть вычтено из значения в поле экспоненты для вычисления фактической степени 2. ^[20] Значение поля экспоненты 32767 (все пятнадцать бит 1 ) зарезервировано для того, чтобы включить представление специальных состояний, таких как бесконечность и Not a Number . Если поле экспоненты равно нулю, значение является ненормальным числом, а экспонента 2 равна −16382. ^[21]

В следующей таблице « s » — значение знакового бита (0 означает положительное, 1 означает отрицательное), « e » — значение поля экспоненты, интерпретируемое как положительное целое число, а « m » — мантисса, интерпретируемая как положительное двоичное число, где двоичная точка расположена между битами 63 и 62. Поле « m » представляет собой комбинацию целой и дробной частей в приведенной выше диаграмме.

В отличие от форматов одинарной и двойной точности , этот формат не использует неявный / скрытый бит . Вместо этого бит 63 содержит целую часть мантиссы, а биты 62–0 содержат дробную часть. Бит 63 будет равен 1 для всех нормализованных чисел. При разработке 8087 у этой конструкции было несколько преимуществ :

• Вычисления можно выполнить немного быстрее, если все биты мантиссы присутствуют в регистре.
• 64-битная мантисса обеспечивает достаточную точность, чтобы избежать потери точности при обратном преобразовании результатов в формат двойной точности в большинстве случаев.
• Этот формат обеспечивает механизм для указания потери точности из-за недостаточного заполнения, который может быть перенесен в дальнейшие операции. Например, вычисление 2 × 10 ⁻⁴⁹³⁰ × 3 × 10 ⁻¹⁰ × 4 × 10²⁰ генерирует промежуточный результат6 × 10 ⁻⁴⁹⁴⁰ , который являетсяненормальными также включает потерю точности. Произведение всех членов равно24 × 10 ⁻⁴⁹²⁰ , что может быть представлено как нормализованное число.80287мог бы завершить это вычисление и указать на потерю точности, вернув «ненормальный» результат (экспонента не равна 0, бит 63 = 0).^[22][23] Процессоры, начиная с80387,больше не генерируют ненормальные результаты и не поддерживают ненормальные входные данные для операций. Они генерируют ненормальный результат, если происходит потеря значимости, но генерируют нормализованный результат, если последующие операции над ненормальным результатом могут быть нормализованы.^[24]

Введение в использование

80-битный формат с плавающей точкой был широко доступен к 1984 году ^[25] после разработки C, Fortran и подобных компьютерных языков, которые изначально предлагали только общие 32- и 64-битные размеры с плавающей точкой. В конструкции x86 большинство компиляторов C теперь поддерживают 80-битную расширенную точность через тип long double , и это было указано в стандартах C99 / C11 (арифметика с плавающей точкой IEC 60559 (Приложение F)). Компиляторы на x86 для других языков часто также поддерживают расширенную точность, иногда через нестандартные расширения: например, Turbo Pascal предлагает extendedтип , а несколько компиляторов Fortran имеют REAL*10тип (аналогичный REAL*4и ). Такие компиляторы также обычно включают математические подпрограммыREAL*8 с расширенной точностью , такие как квадратный корень и тригонометрические функции , в свои стандартные библиотеки .

Рабочий диапазон

80-битный формат с плавающей точкой имеет диапазон (включая субнормальные значения ) приблизительно от 3,65 × 10−4951 ^до 1,18 × 10⁺⁴⁹³² .Хотя log ₁₀ ( 2 ⁶⁴ ) ≈ 19,266 ,этот формат обычно описывается как дающий приблизительно восемнадцать значащих цифр точности (пол log ₁₀ ( 2 ⁶³ ) ,минимальная гарантированная точность). Использование десятичной дроби при обсуждении двоичной системы неудачно, поскольку большинство десятичных дробей представляют собой повторяющиеся последовательности в двоичной системе, как и ⁠2/3⁠ в десятичной системе счисления. Таким образом, значение, такое как 10,15, представляется в двоичной системе счисления как эквивалентное 10,1499996185 и т. д. в десятичной системе счисления для ,REAL*4но 10,150000000000000035527 и т. д. вREAL*8: взаимное преобразование будет включать приближение, за исключением тех немногих десятичных дробей, которые представляют точное двоичное значение, например 0,625 . ДляREAL*10десятичная строка будет 10,1499999999999999996530553 и т. д. Последняя 9 цифр является восемнадцатой дробной цифрой и, таким образом, двадцатой значащей цифрой строки. Границы преобразования между десятичным и двоичным форматом для 80-битного формата можно задать следующим образом: если десятичная строка с не более чем 18 значащими цифрами правильно округлена до 80-битного двоичного значения с плавающей точкой IEEE 754 (как на входе), а затем преобразована обратно в то же количество значащих десятичных цифр (как на выходе), то конечная строка будет точно соответствовать оригиналу; в то время как, наоборот, если 80-битное двоичное значение с плавающей точкой IEEE 754 правильно преобразовано и (ближайшее) округлено до десятичной строки с не менее чем 21 значащей десятичной цифрой, а затем преобразовано обратно в двоичный формат, то оно будет точно соответствовать оригиналу. ^[12] Эти приближения особенно проблематичны при указании наилучшего значения для констант в формулах с высокой точностью, которое может быть вычислено с помощью арифметики произвольной точности .

Необходимость 80-битного формата

Ярким примером необходимости минимальной точности в 64 бита в мантиссе формата расширенной точности является необходимость избежать потери точности при выполнении возведения в степень значений двойной точности . ^{[26] [27] [28] [c]} Устройства с плавающей точкой x86 не предоставляют инструкцию, которая напрямую выполняет возведение в степень : вместо этого они предоставляют набор инструкций, которые программа может использовать последовательно для выполнения возведения в степень с использованием уравнения:

${\displaystyle x^{y}=2^{\ y\ \cdot \ \log _{2}(x)}}$

Чтобы избежать потери точности, промежуточные результаты " log ₂ ( x ) " и " y · log ₂ ( x ) " должны быть вычислены с гораздо более высокой точностью, поскольку фактически и поле экспоненты, и поле мантиссы x должны вписываться в поле мантиссы промежуточного результата. Впоследствии поле мантиссы промежуточного результата разделяется между полями экспоненты и мантиссы конечного результата, когда вычисляется 2 ^{промежуточных результата} . Ниже это требование описывается более подробно.

После небольшой распаковки значение двойной точности IEEE 754 можно представить следующим образом:

${\displaystyle 2^{(-1)^{s}\ \cdot \ E}\ \cdot \ M\ }$

где s — знак экспоненты (0 или 1), E — несмещенная экспонента, которая является целым числом в диапазоне от 0 до 1023, а M — мантисса, которая является 53-битным значением, попадающим в диапазон 1 ≤ M < 2. Отрицательные числа и ноль можно игнорировать, поскольку логарифм этих значений не определен. Для целей этого обсуждения M не имеет 53 бит точности, поскольку он ограничен быть больше или равен единице, т. е. скрытый бит не учитывается в точности (обратите внимание, что в ситуациях, когда M меньше 1, значение фактически является ненормальным и, следовательно, уже могло понести потерю точности. Эта ситуация выходит за рамки этой статьи).

Взяв логарифм этого представления числа двойной точности и упростив, получаем следующее:

${\displaystyle \log _{2}(2^{(-1)^{s}\ \cdot \ E}\ \cdot \,M)=(-1)^{s}\ \cdot \ E\ \cdot \ \log _{2}(2)\ +\ \log _{2}(M)=\pm \ E\ +\ \log _{2}(M)\ }$

Этот результат показывает, что при взятии логарифма по основанию 2 знак показателя степени исходного значения становится знаком логарифма, показатель степени исходного значения становится целой частью мантиссы логарифма, а мантисса исходного значения преобразуется в дробную часть мантиссы логарифма.

Поскольку E — целое число в диапазоне от 0 до 1023, для представления целой части логарифма требуется до 10 бит слева от запятой основания. Поскольку M попадает в диапазон 1 ≤ M < 2 , значение log ₂ M будет попадать в диапазон 0 ≤ log ₂ M < 1, поэтому для представления дробной части логарифма требуется не менее 52 бит справа от запятой основания. Объединение 10 бит слева от запятой основания с 52 битами справа от запятой основания означает, что значимая часть логарифма должна быть вычислена с точностью не менее 62 бит. На практике значения M , меньшие, требуют 53 бита справа от запятой основания, а значения M , меньшие, требуют 54 бита справа от запятой основания, чтобы избежать потери точности. Сбалансировав это требование для дополнительной точности справа от запятой, показатели степени менее 512 требуют всего 9 бит слева от запятой, а показатели степени менее 256 требуют всего 8 бит слева от запятой. ${\displaystyle \ {\sqrt {2\ }}\ }$ ${\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{2\ }}\ }$

Заключительная часть расчета возведения в степень — вычисление 2 ^{промежуточных результатов} . «Промежуточный результат» состоит из целой части « I », добавленной к дробной части « F ». Если промежуточный результат отрицательный, то необходима небольшая корректировка, чтобы получить положительную дробную часть, поскольку и « I », и « F » являются отрицательными числами.

Для положительных промежуточных результатов:

${\displaystyle \ 2^{\mathsf {intermediate\ result}}=2^{I+F}=2^{I}\ 2^{F}\ }$

Для отрицательных промежуточных результатов:

${\displaystyle \ 2^{\mathrm {intermediate\ result} }=2^{I+F}=2^{I\ +\ (1-1)\ +\ F}=2^{(I-1)\ +\ (F+1)}=2^{I-1}\ 2^{F+1}\ }$

Таким образом, целая часть промежуточного результата (" I " или " I − 1 ") плюс смещение становятся показателем степени конечного результата, а преобразованная положительная дробная часть промежуточного результата: 2 ^F или 2 ^{F + 1} становится мантиссом конечного результата. Чтобы обеспечить точность 52 бита для конечного результата, положительная дробная часть должна поддерживаться как минимум в 52 бита.

В заключение следует отметить, что точное количество бит точности, необходимое в мантиссе промежуточного результата, в некоторой степени зависит от данных, но 64 бит достаточно, чтобы избежать потери точности в подавляющем большинстве вычислений возведения в степень с использованием чисел двойной точности .

Число бит, необходимое для экспоненты формата расширенной точности, следует из требования, чтобы произведение двух чисел двойной точности не переполнялось при вычислении с использованием расширенного формата. Наибольшая возможная экспонента значения двойной точности равна 1023, поэтому экспонента наибольшего возможного произведения двух чисел двойной точности равна 2047 (11-битное значение). Добавление смещения для учета отрицательных экспонент означает, что поле экспоненты должно быть шириной не менее 12 бит.

Объединение этих требований: 1 бит для знака, 12 бит для смещенной экспоненты и 64 бита для мантиссы означает, что для формата расширенной точности потребуется не менее 77 бит. Инженерные соображения привели к окончательному определению 80-битного формата (в частности, стандарт IEEE 754 требует, чтобы диапазон экспоненты формата расширенной точности соответствовал диапазону следующего по величине, четверного , формата точности, который составляет 15 бит). ^[27]

Другим примером вычислений, которые выигрывают от арифметики повышенной точности, являются итерационные схемы уточнения , используемые для косвенного устранения ошибок, накопленных в прямом решении во время, как правило, очень большого количества вычислений, выполняемых для числовой линейной алгебры. ^[30]

Языковая поддержка

• Некоторые реализации C / C++ (например, GNU Compiler Collection (GCC), Clang , Intel C++ ) реализуют long doubleиспользование 80-битных чисел с плавающей точкой на системах x86. Однако это поведение, определяемое реализацией, и не является обязательным, но допускается стандартом, как указано для оборудования IEEE 754 в стандарте C99 «Приложение F Арифметика с плавающей точкой IEC 60559». GCC также предоставляет типы __float80и __float128. ^[31]
• Некоторые реализации Common Lisp (например, CMU Common Lisp , Embeddable Common Lisp ) реализуют long-floatиспользование 80-битных чисел с плавающей точкой на системах x86.
• Язык программирования D реализует realиспользование наибольшего размера плавающей точки, реализованного в оборудовании, например 80 бит для процессоров x86 . На других машинах это будет самый широкий тип плавающей точки, изначально поддерживаемый процессором, или 64 бит двойной точности, в зависимости от того, что шире.
• Turbo Pascal (и Object Pascal или Delphi ) имеет extended80-битный тип, доступный в дополнение к real/ single(32 бита) и double(64 бита), либо изначально (при наличии сопроцессора 80x87), либо эмулируемый (через библиотеку Turbo87); этот extendedтип доступен на 16-, 32- и 64-битных платформах, возможно, с дополнением . ^[32]
• Система выполнения Racket предоставляет 80-битный тип данных extflonum на системах x86.
• Стандартная библиотека Swift предоставляет этот Float80тип данных.
• Компилятор PowerBASIC BASIC предоставляет 10- EXTбайтовый EXTENDEDтип данных с плавающей точкой расширенной точности.
• Zig предоставляет тип f80 начиная с версии 0.10.0

Смотрите также

• GNU MPFR – библиотека GNU «Надежная работа с числами с плавающей точкой с множественной точностью» для C
• Шестнадцатеричный формат с плавающей точкой IBM
• IEEE 754
• длинный двойной
• х87

Сноски

1. «Этот формат предназначен в основном для того, чтобы помочь программистам повысить целостность их одинарного и двойного программного обеспечения, а также уменьшить деградацию за счет округления в двойных матричных вычислениях больших размерностей, и может быть легко использован таким образом, что замена четверного на расширенную потребность никогда не сделает его использование недействительным». — x87 -разработчик В. Кахан ^[13]
2. "Высокоуровневые языки будут использовать extended (невидимо) для оценки промежуточных подвыражений, а позже могут предоставить extended как объявляемый тип данных." ^{[16] : 70}
3. "Наличие по крайней мере такого же количества дополнительных бит точности в расширенном формате, как и в поле экспоненты базового формата, который он поддерживает, значительно упрощает точное вычисление трансцендентных функций, скалярных произведений и степенной функции y ^x ." ^{[29] : 70}

Ссылки

1. IEEE 754 (2008, ¶ 2.1.21) определяет формат расширенной точности как «формат, который расширяет поддерживаемый базовый формат, предоставляя более высокую точность и диапазон».
2. Фрэнсис, CG (11 февраля 1965 г.). «IBM представляет мощный малый компьютер». Директор по информации (пресс-релиз). Уайт-Плейнс, Нью-Йорк : International Business Machines Corporation (IBM). Архивировано из оригинала 2019-07-05.
3. Библиотека подпрограмм (PDF) . IBM 1130 (9-е изд.). Корпорация IBM. 1974. стр. 93.
4. Принципы работы . IBM System/360 (9-е изд.). Корпорация IBM. 1970. стр. 41.
5. IBM System/370 Принципы работы (7-е изд.). Корпорация IBM. 1980. С. 9-2–9-3.
6. Штейл, Майкл (2008-10-20). «Создайте собственную версию Microsoft BASIC для 6502». pagetable.com . стр. 46. Архивировано из оригинала 2016-05-30 . Получено 2016-05-30 .
7. IEEE Computer Society (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей точкой (отчет). IEEE. §3.7. doi :10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5752-8. Стандарт IEEE 754-2008.
8. Брюэр, Кевин. "Отчет Кевина". Справочный материал IEEE-754 . Получено 19 февраля 2012 г.
9. Motorola MC68000 Family (PDF) . Справочное руководство программиста. NXP Semiconductors. 1992. С. 1–16, 1–18, 1–23.
10. ColdFire Family (PDF) . Справочное руководство программиста. Freescale semiconductor. 2005. С. 7-7.
11. "FPA10 Data Sheet" (PDF) . chrisacorns.computinghistory.org.uk . GEC Plessey Semiconductors. 11 июня 1993 г. Получено 26 ноября 2020 г. .
12. Кахан, Уильям (1 октября 1997 г.). «Конспект лекций о состоянии стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей точкой» (PDF) .
13. Кахан, Уильям (1 октября 1997 г.). «Конспект лекций о состоянии стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей точкой» (PDF) . стр. 5.
14. Эйнарссон, Бо (2005). Точность и надежность в научных вычислениях. SIAM. стр. 9 и далее. ISBN 978-0-89871-815-7. Получено 3 мая 2013 г.
15. «Архитектуры Intel 64 и IA-32». Руководство разработчика программного обеспечения. Корпорация Intel. Март 2012 г. §8.2.
16. Кунен, Джером Т. (январь 1980 г.). «Руководство по внедрению предлагаемого стандарта для арифметики с плавающей точкой». IEEE Computer . 13 : 68–79. doi :10.1109/MC.1980.1653344. S2CID  206445847.
17. Кахан, Уильям (22 ноября 1983 г.). «Математика, написанная на песке — HP-15C, Intel 8087 и т. д.» (PDF) .
18. Голдберг, Дэвид (март 1991 г.). «Что каждый специалист по информатике должен знать об арифметике с плавающей точкой» (PDF) . ACM Computing Surveys . 23 (1): 192. doi :10.1145/103162.103163. S2CID  222008826.
19. Хайэм, Николас (2002). «Проектирование стабильных алгоритмов». Точность и устойчивость численных алгоритмов (2-е изд.). Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). стр. 43.
20. 80-битный математический сопроцессор 80C187 (PDF) (техническое описание). Intel Corporation . Ноябрь 1992. стр. 4. Получено 24.08.2024 .
21. Руководство разработчика архитектур Intel 64 и IA-32 (PDF) . Том 1: Базовая архитектура. Корпорация Intel . Июнь 2024 г. §4.2.2 Типы данных с плавающей точкой, §4.8 Вещественные числа и форматы с плавающей точкой . Получено 24.08.2024 . Другие тома доступны в руководствах для разработчиков программного обеспечения для архитектур Intel® 64 и IA-32.
22. Палмер, Джон Ф.; Морзе, Стивен П. (1984). 8087 Primer. Wiley Press. С. 14. ISBN 0-471-87569-4.
23. Морзе, Стивен П.; Альберт, Дуглас Дж. (1986). Архитектура 80286. Wiley Press. С. 91–111. ISBN 0-471-83185-9.
24. Руководство разработчика архитектур Intel 64 и IA-32 (отчет). Том 1. Корпорация Intel . С. 8-21 по 8-22.
25. Severance, Charles (20 февраля 1998 г.). «Интервью со старцем плавающей точки». eecs.berkeley.edu . Калифорнийский университет в Беркли .
26. Палмер, Джон Ф.; Морзе, Стивен П. (1984). 8087 Primer. Wiley Press. С. 16. ISBN 0-471-87569-4.
27. Морзе, Стивен П.; Альберт, Дуглас Дж. (1986). Архитектура 80286. Wiley Press. стр. 96–98. ISBN 0-471-83185-9.
28. Хаф, Дэвид (март 1981 г.). «Применение предлагаемого стандарта IEEE 754 для арифметики с плавающей точкой». IEEE Computer . 14 (3): 70–74. doi :10.1109/CM.1981.220381. S2CID  14645749.
29. Кунен, Джером Т. (январь 1980 г.). «Руководство по внедрению предлагаемого стандарта для арифметики с плавающей точкой». IEEE Computer : 68–79. doi :10.1109/MC.1980.1653344. S2CID  206445847.
30. Demmel, James ; Hida, Yozo; Kahan, William ; Li, Xiaoye S. ; Mukherjee, Sonil; Riedy, E. Jason (июнь 2006 г.). «Ошибочные границы от сверхточного итерационного уточнения» (PDF) . ACM Transactions on Mathematical Software . 32 (2): 325–351. doi :10.1145/1141885.1141894. S2CID  1340891 . Получено 18.04.2014 .
31. «Плавающие типы (использование коллекции компиляторов GNU (GCC))».
32. «Расширенный тип данных отличается на разных платформах».