Смена колец

В алгебре замена колец — это операция замены одного кольца коэффициентов другим.

Конструкции

Если задан гомоморфизм колец , то существует три способа изменить кольцо коэффициентов модуля ; а именно, для правого R -модуля M и правого S -модуля N можно образовать ${\displaystyle f:R\to S}$

• ${\displaystyle f_{!}M=M\otimes _{R}S}$, индуцированный модуль, образованный расширением скаляров,
• ${\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)}$, коиндуцированный модуль, образованный корасширением скаляров, и
• ${\displaystyle f^{*}N=N_{R}}$, образованный ограничением скаляров.

Они связаны как сопряженные функторы :

${\displaystyle f_{!}:{\text{Mod}}_{R}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{S}:f^{*}}$

и

${\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.}$

Это связано с леммой Шапиро .

Операции

Ограничение скаляров

В этом разделе пусть и будут двумя кольцами (они могут быть или не быть коммутативными или содержать тождество ), и пусть будет гомоморфизмом. Ограничение скаляров изменяет S -модули в R -модули. В алгебраической геометрии термин «ограничение скаляров» часто используется как синоним ограничения Вейля . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$

Определение

Предположим, что это модуль над . Тогда его можно рассматривать как модуль над , где действие задается через ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

где обозначает действие, определяемое структурой -модуля на . ^[1] ${\displaystyle m\cdot f(r)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

Интерпретация как функтор

Ограничение скаляров можно рассматривать как функтор из -модулей в -модули. -гомоморфизм автоматически становится -гомоморфизмом между ограничениями и . Действительно, если и , то ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$.

Как функтор, ограничение скаляров является правым сопряженным функтором расширения скаляров.

Если — кольцо целых чисел, то это просто забывчивый функтор из модулей в абелевы группы. ${\displaystyle R}$

Расширение скаляров

Расширение скаляров преобразует R -модули в S -модули.

Определение

Пусть будет гомоморфизмом между двумя кольцами, и пусть будет модулем над . Рассмотрим тензорное произведение , где рассматривается как левый -модуль через . Так как является также правым модулем над собой, и два действия коммутируют, то есть для , (на более формальном языке является -бимодулем ), наследует правое действие . Оно задается как для , . Говорят , что этот модуль получен из посредством расширения скаляров . ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle M}$

Неформально, расширение скаляров — это «тензорное произведение кольца и модуля»; более формально, это частный случай тензорного произведения бимодуля и модуля — тензорное произведение R -модуля на -бимодуль есть S -модуль. ${\displaystyle (R,S)}$

Примеры

Одним из простейших примеров является комплексификация , которая является расширением скаляров от действительных чисел до комплексных чисел . В более общем смысле, если задано любое расширение поля K  <  L, можно расширить скаляры от K до L. На языке полей модуль над полем называется векторным пространством , и, таким образом, расширение скаляров преобразует векторное пространство над K в векторное пространство над L. Это также можно сделать для алгебр с делением , как это делается в кватернионификации (расширении от действительных чисел до кватернионов ).

В более общем случае, если задан гомоморфизм из поля или коммутативного кольца R в кольцо S, то кольцо S можно рассматривать как ассоциативную алгебру над R, и, таким образом, когда скаляры расширяются на R -модуль, полученный модуль можно рассматривать как S -модуль или как R -модуль с представлением алгебры S ( как R -алгебра). Например, результат комплексификации действительного векторного пространства ( R = R , S = C ) можно интерпретировать либо как комплексное векторное пространство ( S -модуль), либо как действительное векторное пространство с линейной комплексной структурой (представление алгебры S как R -модуль).

Приложения

Это обобщение полезно даже для изучения полей – в частности, многие алгебраические объекты, связанные с полем, сами по себе не являются полями, а представляют собой кольца, такие как алгебры над полем, как в теории представлений . Так же, как можно расширить скаляры на векторные пространства, можно также расширить скаляры на групповые алгебры , а также на модули над групповыми алгебрами, т. е. представления групп . Особенно полезной является связь того, как неприводимые представления изменяются при расширении скаляров — например, представление циклической группы порядка 4, заданное поворотом плоскости на 90°, является неприводимым 2-мерным действительным представлением, но при расширении скаляров до комплексных чисел оно распадается на 2 комплексных представления размерности 1. Это соответствует тому факту, что характеристический многочлен этого оператора является неприводимым степени 2 над действительными числами, но разлагается на 2 множителя степени 1 над комплексными числами — он не имеет действительных собственных значений, но имеет 2 комплексных собственных значения. ${\displaystyle x^{2}+1,}$

Интерпретация как функтор

Расширение скаляров можно интерпретировать как функтор из -модулей в -модули. Он посылает в , как и выше, и -гомоморфизм в -гомоморфизм, определяемый как . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$ ${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$

Связь между расширением скаляров и ограничением скаляров

Рассмотрим -модуль и -модуль . Для гомоморфизма , определим как композицию ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle Fu:M^{S}\to N}$

${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$,

где последнее отображение — . Это -гомоморфизм , и, следовательно, он хорошо определен, и является гомоморфизмом ( абелевых групп ). ${\displaystyle n\otimes s\mapsto n\cdot s}$ ${\displaystyle Fu}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F:{\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})\to {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$

В случае, если и имеют тождество, существует обратный гомоморфизм , который определяется следующим образом. Пусть . Тогда есть композиция ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G:{\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle v\in {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle Gv}$

${\displaystyle M\to M\otimes _{R}R{\xrightarrow {{\text{id}}_{M}\otimes f}}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N}$,

где первое отображение — канонический изоморфизм . ${\displaystyle m\mapsto m\otimes 1}$

Эта конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и . На самом деле, это соответствие зависит только от гомоморфизма , и поэтому является функториальным . На языке теории категорий расширение функтора скаляров является левым сопряженным к ограничению функтора скаляров. ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Шесть операций
• Тензорное произведение полей
• Тензорно-гомозное присоединение

Ссылки

• Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра . Фут, Ричард М. (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 359–377. ISBN 0471452343. OCLC  248917264.
• Дж. Питер Мэй , Заметки о Tor и Ext
• Николя Бурбаки . Алгебра I, Глава II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.§5. Расширение кольца скаляров;§7. Векторные пространства. 1974 Германн.

Дальнейшее чтение

• Индукция и коиндукция представлений

1. Даммит 2004, стр. 359.