Орбитальный резонанс

Регулярное и периодическое взаимное гравитационное влияние орбитальных тел.

Трехчастичный резонанс Лапласа, наблюдаемый тремя галилеевыми спутниками Юпитера . Соединения выделяются краткими изменениями цвета. Для каждого соединения Европа-Ганимед (пурпурный) есть два соединения Ио-Европа (зеленые) и три соединения Ио-Ганимед (серые). Эта диаграмма не в масштабе.

В небесной механике орбитальный резонанс возникает, когда вращающиеся тела оказывают регулярное, периодическое гравитационное влияние друг на друга, обычно потому, что периоды их обращения связаны соотношением малых целых чисел . Чаще всего такая связь обнаруживается между парой объектов (бинарный резонанс). Физический принцип, лежащий в основе орбитального резонанса, аналогичен толканию ребенка на качелях : и орбита, и качели имеют собственную частоту , а тело, выполняющее «толкание», будет периодически повторяться, оказывая кумулятивное воздействие на ребенка. движение. Орбитальные резонансы значительно усиливают взаимное гравитационное влияние тел (т. е. их способность изменять или ограничивать орбиты друг друга). В большинстве случаев это приводит к нестабильному взаимодействию, при котором тела обмениваются импульсом и смещают орбиты до тех пор, пока резонанс не перестанет существовать. При некоторых обстоятельствах резонансная система может быть самокорректирующейся и, следовательно, стабильной. Примерами являются резонанс 1:2:4 спутников Юпитера Ганимеда , Европы и Ио , а также резонанс 2:3 между Нептуном и Плутоном . Нестабильные резонансы с внутренними спутниками Сатурна приводят к образованию разрывов в кольцах Сатурна . Особый случай резонанса 1:1 между телами с одинаковыми орбитальными радиусами приводит к тому, что крупные тела планетных систем выбрасывают большинство других тел, разделяющих их орбиты; это часть гораздо более обширного процесса очистки окрестностей , эффекта, который используется в нынешнем определении планеты . ^[1]

Отношение бинарного резонанса в этой статье следует интерпретировать как отношение количества орбит, совершенных за один и тот же интервал времени, а не как отношение орбитальных периодов , которое было бы обратным соотношением. Таким образом, приведенное выше соотношение 2:3 означает, что Плутон совершает два оборота за время, необходимое Нептуну для завершения трех. В случае резонансных отношений между тремя или более телами может использоваться любой тип отношения (при этом наименьшие целочисленные последовательности отношений не обязательно являются инверсиями друг друга), и тип отношения будет указан.

История

Со времени открытия закона всемирного тяготения Ньютона в 17 веке стабильность Солнечной системы занимала многих математиков, начиная с Пьера-Симона Лапласа . Устойчивые орбиты, возникающие в двухчастичном приближении, игнорируют влияние других тел. Влияние этих дополнительных взаимодействий на стабильность Солнечной системы очень мало, но сначала не было известно, могут ли они складываться в течение более длительных периодов времени, чтобы существенно изменить параметры орбиты и привести к совершенно иной конфигурации, или же это какие-то другие взаимодействия. стабилизирующие эффекты могут поддерживать конфигурацию орбит планет.

Именно Лаплас нашел первые ответы, объясняющие связанные орбиты галилеевых спутников (см. ниже). До Ньютона также рассматривались отношения и пропорции в орбитальных движениях, в так называемой «музыке сфер», или musica Universalis .

В статье о резонансных взаимодействиях описывается резонанс в общих современных условиях. Основным результатом изучения динамических систем является открытие и описание сильно упрощенной модели синхронизации мод; это генератор, который получает периодические импульсы через слабую связь с каким-либо приводным двигателем. Аналогом здесь может быть то, что более массивное тело оказывает периодический гравитационный удар на меньшее тело, когда оно проходит мимо. Области синхронизации мод называются языками Арнольда .

Виды резонанса

Большие полуоси резонансных транснептуновых объектов (красные) сгруппированы в местах низкоцелочисленных резонансов с Нептуном (вертикальные красные полосы вверху), в отличие от таковых у кубевано (синие) и нерезонансных (или не известных как резонансные) разбросанные предметы (серые).

Карта распределения больших полуосей астероидов , показывающая пробелы Кирквуда , где орбиты дестабилизируются из-за резонансов с Юпитером.

Спиральные волны плотности в кольце А Сатурна, возбуждаемые резонансами с внутренними лунами . Такие волны распространяются от планеты (в сторону верхнего левого угла). Большой набор волн чуть ниже центра обусловлен резонансом 6:5 с Янусом .

Эксцентричное Кольцо Титана ^[2] в Зазоре Коломбо кольца C Сатурна (в центре) и наклонные орбиты резонансных частиц в изгибной волне ^{[3] [4]} непосредственно внутри него имеют апсидальную и узловую прецессии соответственно, соизмеримые с Титаном . это означает движение.

В общем, орбитальный резонанс может

• включают один или любую комбинацию параметров орбиты (например, эксцентриситет по отношению к большой полуоси или эксцентриситет по отношению к наклонению ).
• действуют в любых временных масштабах от кратковременных, соизмеримых с периодами орбит, до вековых , измеряемых 10 ⁴ - 10 ⁶ годами.
• приводить либо к длительной стабилизации орбит, либо быть причиной их дестабилизации.

Орбитальный резонанс среднего движения возникает, когда периоды обращения двух тел представляют собой простое целое отношение друг к другу. В зависимости от деталей это может либо стабилизировать, либо дестабилизировать орбиту.Стабилизация может произойти, когда два тела движутся настолько синхронно, что никогда не сближаются близко. Например:

• Орбиты Плутона и плутино стабильны, несмотря на то, что они пересекают орбиту гораздо большего Нептуна , поскольку они находятся с ним в резонансе 2:3. Резонанс гарантирует, что, когда они приближаются к перигелию и орбите Нептуна, Нептун постоянно находится на расстоянии (в среднем на четверть своей орбиты). Другие (гораздо более многочисленные) тела, пересекающие Нептун и не находившиеся в резонансе, были выброшены из этой области сильными возмущениями, вызванными Нептуном. Существуют также меньшие, но значительные группы резонансных транснептуновых объектов , занимающих, среди прочего, резонансы 1:1 ( трояны Нептуна ), 3:5 , 4:7 , 1:2 ( дватино ) и 2:5 по отношению к Нептуну. .
• В поясе астероидов за пределами 3,5 а.е. от Солнца резонансы 3:2, 4:3 и 1:1 с Юпитером населены скоплениями астероидов ( семейство Хильда , несколько астероидов Туле и многочисленные троянские астероиды соответственно). .

Орбитальные резонансы также могут дестабилизировать одну из орбит. Этот процесс можно использовать для поиска энергоэффективных способов вывода космического корабля с орбиты . ^{[5] [6]} Для малых тел дестабилизация на самом деле гораздо более вероятна. Например:

• В поясе астероидов в пределах 3,5 а.е. от Солнца основными резонансами среднего движения с Юпитером являются места разрывов в распределении астероидов, разрывы Кирквуда (особенно в 4:1, 3:1, 5:2, 7: 3 и 2:1 резонансы). Астероиды были выброшены из этих почти пустых полос в результате повторяющихся возмущений. Однако в этих резонансах или рядом с ними все еще существуют популяции астероидов. Например, астероиды семейства Алинда находятся в резонансе 3:1 или близко к нему, при этом их орбитальный эксцентриситет постоянно увеличивается за счет взаимодействия с Юпитером, пока они в конечном итоге не встретятся вплотную с внутренней планетой, которая выбьет их из резонанса.
• В кольцах Сатурна деление Кассини представляет собой разрыв между внутренним кольцом B и внешним кольцом A , который был очищен благодаря резонансу 2:1 с луной Мимас . (Более конкретно, местом резонанса является щель Гюйгенса , ограничивающая внешний край кольца B. )
• В кольцах Сатурна щели Энке и Киллера внутри Кольца А очищаются резонансами 1:1 со встроенными лунами Паном и Дафнисом соответственно. Внешний край Кольца А поддерживается дестабилизирующим резонансом 7:6 с луной Янус .

Большинство тел, находящихся на резонансных орбитах в одном направлении; однако ретроградный астероид 514107 Каэпаокаавела, по-видимому, находится в стабильном (в течение периода не менее миллиона лет) резонансе 1:-1 с Юпитером. ^[7] Кроме того, было обнаружено несколько ретроградных дамоклоидов , которые временно находятся в резонансе среднего движения с Юпитером или Сатурном . ^[8] Такие орбитальные взаимодействия слабее, чем соответствующие взаимодействия между телами, вращающимися в одном направлении. ^{[8] [9]} Транснептуновый объект 2011 KT ₁₉ имеет наклон орбиты 110 ° по отношению к плоскости орбит планет и в настоящее время находится в полярном резонансе 7:9 с Нептуном. ^[10]

Резонанс Лапласа — это трехчастичный резонанс с соотношением орбитальных периодов 1:2:4 (что эквивалентно соотношению орбит 4:2:1). Этот термин возник потому, что Пьер-Симон Лаплас обнаружил, что такой резонанс управляет движением спутников Юпитера Ио , Европы и Ганимеда . Сейчас его также часто применяют к другим трехчастичным резонансам с такими же отношениями ^[11] , например, между внесолнечными планетами Глизе 876 c, b и e. ^{[12] [13] [14]} Трехчастичные резонансы, включающие другие простые целочисленные отношения, были названы «лапласовскими» ^[15] или «лапласовскими». ^[16]

Резонанс Линдблада вызывает спиральные волны плотности как в галактиках (где звезды подвергаются воздействию самих спиральных рукавов), так и в кольцах Сатурна (где частицы колец подвергаются воздействию спутников Сатурна ).

Вековый резонанс возникает, когда прецессия двух орбит синхронизирована (обычно это прецессия перигелия или восходящего узла ). Маленькое тело, находящееся в вековом резонансе с гораздо большим телом (например, с планетой ), будет прецессировать с той же скоростью, что и большое тело. В течение долгого времени (миллион лет или около того) вековой резонанс изменит эксцентриситет и наклон маленького тела.

Несколько ярких примеров светского резонанса связаны с Сатурном. Существует почти резонанс между прецессией оси вращения Сатурна и прецессией оси орбиты Нептуна (периоды обеих из которых составляют около 1,87 миллиона лет), который был идентифицирован как вероятный источник большого наклона оси Сатурна ( 26,7 °). ^{[17] [18] [19]} Первоначально Сатурн, вероятно, имел наклон, близкий к наклону Юпитера (3,1°). Постепенное истощение пояса Койпера уменьшило бы скорость прецессии орбиты Нептуна; в конце концов частоты совпали, и осевая прецессия Сатурна была уловлена ​​спин-орбитальным резонансом, что привело к увеличению наклона Сатурна. (Угловой момент орбиты Нептуна в 10 ⁴ раз превышает скорость вращения Сатурна и, таким образом, доминирует во взаимодействии.) Однако кажется, что резонанса больше не существует. Детальный анализ данных космического корабля Кассини дает значение момента инерции Сатурна, которое находится за пределами диапазона существования резонанса, а это означает, что ось вращения не остается в фазе с наклонением орбиты Нептуна в долгосрочной перспективе, поскольку очевидно, это было в прошлом. Одна из теорий, почему резонанс прекратился, заключается в том, что вокруг Сатурна была еще одна луна, орбита которой дестабилизировалась около 100 миллионов лет назад, что вызвало возмущение Сатурна. ^{[20] [21]}

Вековый резонанс перигелия между астероидами и Сатурном ( ν ₆ = g − g ₆ ) помогает сформировать пояс астероидов (индекс «6» идентифицирует Сатурн как шестую планету от Солнца). У астероидов, приближающихся к нему, эксцентриситет медленно увеличивается, пока они не становятся пересекающими Марс , после чего они обычно выбрасываются из пояса астероидов при близком пролете к Марсу . Этот резонанс образует внутреннюю и «боковые» границы пояса астероидов на расстоянии около 2 а.е. и при наклонах около 20°.

Численное моделирование показало, что возможное формирование векового резонанса перигелия между Меркурием и Юпитером ( g ₁ = g ₅ ) может значительно увеличить эксцентриситет Меркурия и, возможно, дестабилизировать внутреннюю часть Солнечной системы через несколько миллиардов лет. ^{[22] [23]}

Кольцо Титана в кольце C Сатурна представляет собой другой тип резонанса, при котором скорость апсидальной прецессии одной орбиты точно соответствует скорости вращения другой. Внешний конец этого эксцентричного локона всегда направлен в сторону главного спутника Сатурна Титана . ^[2]

Резонанс Козаи возникает, когда наклонение и эксцентриситет возмущенной орбиты колеблются синхронно (эксцентриситет увеличивается при уменьшении наклонения и наоборот). Этот резонанс применим только к телам на сильно наклоненных орбитах; как следствие, такие орбиты имеют тенденцию быть нестабильными, поскольку растущий эксцентриситет приведет к образованию маленьких перицентров , что обычно приводит к столкновению или (для больших лун) разрушению приливными силами .

В качестве примера другого типа резонанса, связанного с эксцентриситетом орбиты, эксцентриситеты Ганимеда и Каллисто изменяются с общим периодом 181 год, хотя и с противоположными фазами. ^[24]

Резонансы среднего движения в Солнечной системе

Изображение предполагаемого резонанса Хаумеа 7:12 с Нептуном во вращающейся рамке , при этом Нептун (синяя точка внизу справа) удерживается неподвижно. Смещение орбитального выравнивания Хаумеа относительно Нептуна периодически меняется на противоположное ( либрирует ), сохраняя резонанс.

В Солнечной системе известно всего несколько известных резонансов среднего движения (MMR), включающих планеты, карликовые планеты или более крупные спутники (гораздо большее их количество связано с астероидами , планетарными кольцами , лунами и меньшими объектами пояса Койпера , включая множество возможных карликовых планет ).

• 2:3 Плутон – Нептун (также Оркус и другие плутиносы )
• 2:4 Тефия – Мимас (спутники Сатурна). Не упрощенно, поскольку необходимо учитывать либрацию узлов.
• 1:2 Дион – Энцелад (спутники Сатурна)
• 3:4 Гиперион – Титан (спутники Сатурна)
• 1:2:4 Ганимед – Европа – Ио (спутники Юпитера, соотношение орбит ).

Кроме того, считается, что Хаумеа находится в резонансе 7:12 с Нептуном, ^{[25] [26]} , а Гонгонг , как полагают, находится в резонансе 3:10 с Нептуном. ^[27]

За простыми целочисленными отношениями между периодами скрываются более сложные отношения:

• точка соединения может колебаться ( либрировать ) вокруг точки равновесия, определяемой резонансом.
• при ненулевом эксцентриситете узлы или периапсиды могут дрейфовать (связанный с резонансом короткий период, а не вековая прецессия) .

В качестве иллюстрации последнего рассмотрим хорошо известный резонанс 2:1 Ио-Европы. Если бы периоды обращения находились в этом соотношении, средние движения (обратные периодам, часто выражаемые в градусах в день) удовлетворяли бы следующему ${\displaystyle n\,\!}$

${\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}=0}$

Подставив данные (из Википедии), получим -0,7395° день ^-1 , значение, существенно отличное от нуля.

На самом деле резонанс совершенен , но он включает в себя также прецессию перийовы (точки, ближайшей к Юпитеру) . Правильное уравнение (часть уравнений Лапласа): ${\displaystyle {\dot {\omega }}}$

${\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}+{\dot {\omega }}_{\rm {Io}}=0}$

Другими словами, среднее движение Ио действительно вдвое превышает среднее движение Европы, если принять во внимание прецессию перийовы. Наблюдатель, сидящий на (дрейфующем) перийове, увидит соединение лун в одном и том же месте (элонгация). Остальные пары, перечисленные выше, удовлетворяют уравнениям того же типа, за исключением резонанса Мимаса-Тетии. В этом случае резонанс удовлетворяет уравнению

${\displaystyle 4\cdot n_{\rm {Te}}-2\cdot n_{\rm {Mi}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Te}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Mi}}=0}$

Точка соединения либрирует вокруг средней точки между узлами двух лун.

Резонанс Лапласа

Иллюстрация резонанса Ио-Европа-Ганимед. От центра наружу: Ио (желтый), Европа (серый) и Ганимед (темный).

Резонанс Лапласа с участием Ио – Европы – Ганимеда включает следующее соотношение, фиксирующее орбитальную фазу спутников:

${\displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {Io}}-3\cdot \lambda _{\rm {Eu}}+2\cdot \lambda _{\rm {Ga}}=180^{\circ }}$

где – средние долготы спутников (второй знак равенства игнорирует либрацию). ${\displaystyle \lambda }$

Это соотношение делает тройное соединение невозможным. (Резонанс Лапласа в системе Глизе 876 , напротив, связан с одним тройным соединением на орбиту самой удаленной планеты, без учета либрации.) График иллюстрирует положения лун после 1, 2 и 3 периодов Ио. либрирует около 180° с амплитудой 0,03°. ^[28] ${\displaystyle \Phi _{L}}$

Другой «лапласовский» резонанс связан со спутниками Плутона Стикс , Никс и Гидра : ^[15]

${\displaystyle \Phi =3\cdot \lambda _{\rm {S}}-5\cdot \lambda _{\rm {N}}+2\cdot \lambda _{\rm {H}}=180^{\circ }}$

Это отражает орбитальные периоды Стикса, Никса и Гидры соответственно, которые близки к соотношению 18:22:33 (или, с точки зрения близких резонансов с периодом Харона, 3+3/11:4:6; см. ниже); соответствующее соотношение орбит составляет 11:9:6. Исходя из соотношений синодических периодов , на каждые 2 соединения Стикса и Гидры приходится 5 соединений Стикса и Гидры и 3 соединения Никса и Гидры. ^{[15] [29]} Как и в случае с сателлитным резонансом Галилея, тройные соединения запрещены. либрирует около 180° с амплитудой не менее 10°. ^[15] ${\displaystyle \Phi }$

Плутино резонансы

Карликовая планета Плутон движется по орбите, попавшей в паутину резонансов с Нептуном . К резонансам относятся:

• Резонанс среднего движения 2:3.
• Резонанс перигелия ( либрация около 90°), удерживающий перигелий над эклиптикой.
• Резонанс долготы перигелия по отношению к долготе Нептуна.

Одним из последствий этих резонансов является то, что расстояние не менее 30 а.е. сохраняется, когда Плутон пересекает орбиту Нептуна. Минимальное расстояние между двумя телами в целом составляет 17 а.е., тогда как минимальное расстояние между Плутоном и Ураном составляет всего 11 а.е. ^[30] (подробное объяснение и графики см. в орбите Плутона ).

Следующее по величине тело, находящееся в аналогичном резонансе 2:3 с Нептуном, называемое плутино , — это вероятная карликовая планета Оркус . Орбита Оркуса по наклону и эксцентриситету аналогична орбите Плутона. Однако из-за взаимного резонанса с Нептуном они всегда находятся в противоположных фазах своих орбит; Поэтому Оркуса иногда называют «анти-Плутоном». ^[31]

Изображение резонанса между спутниками Нептуна Наядой (орбитальное движение которой показано красным) и Талассой , на виде, которое вращается вместе с последней.

Наяда:Таласса 73:69 резонанс

Самая внутренняя луна Нептуна, Наяда , находится в резонансе четвертого порядка 73:69 со следующей внешней луной, Талассой . На орбите Нептуна более наклоненная Наяда последовательно проходит Талассу дважды сверху, а затем дважды снизу в цикле, который повторяется каждые ~ 21,5 земных дня. Когда они проходят друг мимо друга, две луны находятся на расстоянии около 3540 км друг от друга. Хотя их орбитальные радиусы различаются всего на 1850 км, при максимальном сближении Наяда поворачивается примерно на 2800 км выше или ниже орбитальной плоскости Талассы. Как обычно, этот резонанс стабилизирует орбиты за счет максимального разделения при соединении, но он необычен из-за роли, которую играет наклон орбит в содействии этому избеганию в случае, когда эксцентриситеты минимальны. ^{[32] [33] [примечание 1]}

Резонансы среднего движения среди внесолнечных планет

Резонансная планетная система из двух планет с соотношением орбит 1:2.

Хотя в большинстве обнаруженных внесолнечных планетных систем не обнаружено планет, находящихся в резонансах среднего движения, были обнаружены цепочки из до пяти резонансных планет ^[35] и до семи, по крайней мере, близких к резонансным планетам ^{[36] .} Моделирование показало, что при формировании планетных систем появлению резонансных цепочек планетарных зародышей благоприятствует наличие первичного газового диска . Как только этот газ рассеется, 90–95% этих цепей должны стать нестабильными, чтобы соответствовать низкой частоте наблюдаемых резонансных цепей. ^[37]

• Как упоминалось выше, Gliese 876 e, b и c находятся в резонансе Лапласа с соотношением периодов 4:2:1 (124,3, 61,1 и 30,0 дней). ^{[12] [38] [39]} В этом случае либрирует с амплитудой 40° ± 13°, а резонанс подчиняется усреднённому по времени соотношению: ^[12] ${\displaystyle \Phi _{L}}$

${\displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {c}}-3\cdot \lambda _{\rm {d}}+2\cdot \lambda _{\rm {e}}=0^{\circ }}$

• Кеплер-223 имеет четыре планеты в резонансе с соотношением орбит 8:6:4:3 и соотношением периодов 3:4:6:8 (7,3845, 9,8456, 14,7887 и 19,7257 дней). ^{[40] [41] [42] [43]} Это представляет собой первый подтвержденный орбитальный резонанс четырех тел. ^[44] Либрации внутри этой системы таковы, что близкие встречи двух планет происходят только тогда, когда другие планеты находятся в отдаленных частях своих орбит. Моделирование показывает, что эта система резонансов, должно быть, сформировалась в результате планетарной миграции . ^[43]
• Kepler-80 d, e, b, c и g имеют периоды в соотношении ~1,000:1,512:2,296:3,100:4,767 (3,0722, 4,6449, 7,0525, 9,5236 и 14,6456 дней). Однако в системе отсчета, которая вращается вместе с соединениями, это соотношение периодов уменьшается до 4:6:9:12:18 (отношение орбит 9:6:4:3:2). Соединения d и e, e и b, b и c, а также c и g происходят с относительными интервалами 2:3:6:6 (9,07, 13,61 и 27,21 дня) по схеме, которая повторяется примерно каждые 190,5 дней (семь полных дней). циклов во вращающейся системе отсчета) в инерциальной или невращающейся системе отсчета (эквивалентно резонансу соотношения орбит 62:41:27:20:13 в невращающейся системе отсчета, поскольку соединения циркулируют в направлении, противоположном орбитальному движению). Колебания возможных трехчастичных резонансов имеют амплитуду всего около 3 градусов, и моделирование показывает, что резонансная система устойчива к возмущениям. Тройных союзов не бывает. ^{[45] [35]}
• TOI-178 имеет 6 подтвержденных планет, из которых 5 внешних планет образуют аналогичную резонансную цепочку во вращающейся системе отсчета, которую можно выразить как 2:4:6:9:12 в соотношениях периодов или как 18:9: Соотношение орбит 6:4:3. Кроме того, самая внутренняя планета b с периодом 1,91d вращается по орбите близко к тому месту, где она также будет частью той же резонансной цепочки Лапласа, поскольку резонанс 3:5 с планетой c будет осуществляться с периодом ~ 1,95d, подразумевая, что оно могло возникнуть там, но вышло из резонанса, возможно, из-за приливных сил. ^[46]
• Семь планет TRAPPIST-1 размером примерно с Землю находятся в цепочке близких резонансов (самая длинная из известных цепочек), имеющих отношение орбит примерно 24, 15, 9, 6, 4, 3 и 2, или ближайших соседей. соотношения периодов (в направлении наружу) примерно 8/5, 5/3, 3/2, 3/2, 4/3 и 3/2 (1,603, 1,672, 1,506, 1,509, 1,342 и 1,519). Они также устроены так, что каждая тройка соседних планет находится в резонансе Лапласа (т. е. b, c и d в одной такой конфигурации Лапласа; c, d и e в другой и т. д.). ^{[47] [36]} Ожидается, что резонансная конфигурация будет стабильной в течение миллиардов лет, если предположить, что она возникла во время планетарной миграции. ^{[48] ​​[49]} Была предоставлена ​​музыкальная интерпретация резонанса. ^[49]
• Кеплер-29 имеет пару планет в резонансе 7:9 (соотношение 1/1,28587). ^[42]
• Кеплер-36 имеет пару планет, близких к резонансу 6:7. ^[50]
• Kepler-37 d, c и b находятся в пределах одного процента от резонанса с соотношением орбит 8:15:24 и соотношением периодов 15:8:5 (39,792187, 21,301886 и 13,367308 дней). ^[51]
• Из восьми известных планет Кеплера-90 отношения периодов b:c, c:i и i:d близки к 4:5, 3:5 и 1:4 соответственно (4:4,977, 3:4,97 и 1). :4.13), а d, e, f, g и h близки к соотношению периодов 2:3:4:7:11 (2:3,078:4,182:7,051:11,102; также 7:11,021). ^{[52] [35]} f, g и h также близки к соотношению периодов 3:5:8 (3: 5,058: 7,964). ^[53] Что касается таких систем, как эта и система Кеплер-36 , расчеты показывают, что наличие внешней газовой планеты-гиганта способствует образованию плотно упакованных резонансов между внутренними суперземлями. ^[54]
• HD 41248 имеет пару суперземель с точностью до 0,3% от резонанса 5:7 (соотношение 1/1,39718). ^[55]
• К2-138 имеет 5 подтвержденных планет в непрерывной резонансной цепочке, близкой к 3:2 (с периодами 2,353, 3,560, 5,405, 8,261 и 12,758 дней). Система была обнаружена в рамках гражданского научного проекта Exoplanet Explorers с использованием данных K2. ^[56] К2-138 может содержать соорбитальные тела (в резонансе среднего движения 1:1). ^[57] Резонансные цепные системы могут стабилизировать со-орбитальные тела ^[58] , и специальный анализ кривой блеска K2 и лучевой скорости с помощью HARPS может их выявить. ^[57] Последующие наблюдения с помощью космического телескопа «Спитцер» позволяют предположить, что шестая планета продолжает резонансную цепочку 3:2, оставляя при этом два пробела в цепочке (ее период составляет 41,97 дня). Эти пробелы могли бы быть заполнены меньшими нетранзитными планетами. ^{[59] [60]} Будущие наблюдения с помощью CHEOPS позволят измерить изменения времени прохождения системы для дальнейшего анализа массы планет и потенциально могут найти другие планетные тела в системе. ^[61]
• К2-32 имеет четыре планеты в резонансе, близком к 1:2:5:7 (с периодами 4,34, 8,99, 20,66 и 31,71 дня). Планета е имеет радиус, почти идентичный радиусу Земли. Остальные планеты имеют размер между Нептуном и Сатурном. ^[62]
• V1298 Тельца имеет четыре подтвержденные планеты, из которых планеты c, d и b находятся вблизи резонанса 1:2:3 (с периодами 8,25, 12,40 и 24,14 дней). Планета е показывает только один транзит на кривой блеска К2 и имеет период более 36 дней. Планета е может находиться в резонансе низкого порядка (2:3, 3:5, 1:2 или 1:3) с планетой b. Система очень молодая (23±4 млн лет ) и может быть предшественником компактной мультипланетной системы. Резонанс 2:3 предполагает, что некоторые близкие планеты могут либо сформироваться в резонансах, либо эволюционировать в них за время менее 10 млн лет. Планеты в системе имеют размер между Нептуном и Сатурном. Только планета b имеет размеры, подобные Юпитеру. ^[63]
• HD 158259 содержит четыре планеты в околорезонансной цепочке 3:2 (с периодами 3,432, 5,198, 7,954 и 12,03 дней или отношениями периодов 1,51, 1,53 и 1,51 соответственно), с возможной пятой планетой также вблизи 3:2. резонансный (с периодом 17,4 суток). Экзопланеты были обнаружены с помощью эшель-спектрографа SOPHIE , используя метод лучевых скоростей . ^[64]
• Кеплер-1649 содержит две планеты размером с Землю, близкие к резонансу 9:4 (с периодами 19,53527 и 8,689099 дней или соотношением периодов 2,24825), включая одну ( «c» ) в обитаемой зоне. Необнаруженная планета с периодом 13 дней создала бы резонансную цепочку 3:2. ^[65]
• Кеплер-88 имеет пару внутренних планет, близких к резонансу 1:2 (отношение периодов 2,0396), с отношением масс ~ 22,5, что приводит к очень большим изменениям времени прохождения ~ 0,5 дня для самой внутренней планеты. На орбите около 1400 дней находится еще более массивная внешняя планета. ^[66]
• HD 110067 имеет шесть известных планет с резонансным соотношением 54:36:24:16:12:9. ^[67]

Случаи экзопланет, близких к резонансу среднего движения 1:2, довольно распространены. Сообщается, что шестнадцать процентов систем, обнаруженных транзитным методом , имеют такой пример (с отношениями периодов в диапазоне 1,83–2,18) ^[42] , а также одна шестая часть планетных систем, охарактеризованных с помощью доплеровской спектроскопии (с в данном случае более узкий диапазон соотношений периодов). ^[68] Из-за неполных знаний о системах фактическая доля, вероятно, будет выше. ^[42] В целом, около трети систем с лучевой скоростью, по-видимому, имеют пару планет, близких к соизмеримости . ^{[42] [68]} Гораздо чаще пары планет имеют отношения орбитальных периодов на несколько процентов больше, чем отношение резонанса среднего движения, чем на несколько процентов меньше (особенно в случае резонансов первого порядка, в которых целые числа в соотношении отличаются на единицу). ^[42] Было предсказано, что это будет верно в тех случаях, когда приливные взаимодействия со звездой значительны. ^[69]

Совпадающие «близкие» соотношения среднего движения

Изображение астероида Паллада 18:7 вблизи резонанса с Юпитером во вращающейся рамке ( нажмите, чтобы увидеть анимацию ). Юпитер (розовая петля вверху слева) почти неподвижен. Смещение орбиты Паллады относительно Юпитера со временем неуклонно увеличивается; он никогда не меняет курс (т. е. либрации нет).

Изображение Земли : Венера 8:13 вблизи резонанса. Когда Земля удерживается неподвижно в центре невращающейся системы отсчета, последовательные нижние соединения Венеры в течение восьми земных лет прослеживают пентаграммный узор (отражающий разницу между числами в отношениях).

Схема орбит четырех маленьких внешних спутников Плутона , которые следуют последовательности близких резонансов 3:4:5:6 относительно периода его большого внутреннего спутника Харона . Спутники Стикс, Никс и Гидра также участвуют в настоящем резонансе трёх тел.

Иногда указывают на ряд почти целых отношений между орбитальными частотами планет или больших спутников (см. список ниже). Однако они не имеют динамического значения, поскольку не существует подходящей прецессии перигелия или другой либрации, которая могла бы сделать резонанс идеальным (см. подробное обсуждение в разделе выше). Такие близкие резонансы динамически незначимы, даже если рассогласование весьма мало, поскольку (в отличие от истинного резонанса) после каждого цикла относительное положение тел смещается. При усреднении за астрономически короткие промежутки времени их относительное положение является случайным, как и тела, которые далеки от резонанса. Например, рассмотрим орбиты Земли и Венеры, которые приходят к почти одинаковой конфигурации после 8 витков Земли и 13 витков Венеры. Фактическое соотношение составляет 0,61518624, что всего на 0,032% отличается от ровно 8:13. Расхождение за 8 лет составляет всего 1,5° орбитального движения Венеры. Тем не менее, этого достаточно, чтобы Венера и Земля оказывались в противоположной относительной ориентации каждые 120 таких циклов, что составляет 960 лет. Следовательно, на временных масштабах в тысячи лет и более (все еще крошечных по астрономическим меркам) их относительное положение фактически случайно.

Наличие близкого резонанса может отражать то, что идеальный резонанс существовал в прошлом или что система развивается к нему в будущем.

Некоторые совпадения орбитальных частот включают:

1. Несоответствие орбитальной долготы внутреннего тела по сравнению с его положением в начале цикла (при этом цикл определяется как n орбит внешнего тела - см. Ниже). Предполагаются круговые орбиты (т.е. прецессия не учитывается).
2. Время рандомизации — это количество времени, необходимое для того, чтобы несоответствие начальных относительных продольных орбитальных положений тел выросло до 180 °. Указанное число округляется до ближайшей первой значащей цифры .
3. Предполагаемая вероятность случайного получения орбитального совпадения с равным или меньшим несоответствием, по крайней мере, один раз из n попыток, где n - целое число орбит внешнего тела за цикл, а несовпадение предполагается случайным образом меняющимся от 0 ° до 180°. Значение рассчитывается как 1 − ( 1 − несоответствие /180° ) ^н . Это грубый расчет, который пытается дать лишь приблизительное представление об относительных вероятностях.
4. Чем меньше, тем лучше: чем меньше вероятность того, что очевидно резонансные отношения возникнут как простое случайное совпадение случайных чисел, тем более правдоподобно предположение о том, что гравитационное взаимодействие вызывает сохранение отношений или продлевает их / задерживает их окончательное разрушение другими разрушительными возмущения.
5. Две близкие соизмеримости , перечисленные для Земли и Венеры, отражены во времени транзитов Венеры , которые происходят парами с интервалом 8 лет в цикле, который повторяется каждые 243 года. ^{[70] [72]}
6. Резонанс между Юпитером и Землей, близкий к 1:12, имеет случайный побочный эффект: астероиды Алинда , которые занимают (или близки к) резонанс 3:1 с Юпитером, становятся близкими к резонансу 1:4 с Землей. .
7. Давно известный близкий резонанс между Юпитером и Сатурном традиционно назывался Великим Неравенством . Впервые он был описан Лапласом в серии статей, опубликованных в 1784–1789 годах.
8. Резонансы с ныне исчезнувшей внутренней луной, вероятно, были вовлечены в формирование Фобоса и Деймоса. ^[73]
9. На основе собственных орбитальных периодов 1684,869 и 1681,601 дней для Паллады и Цереры соответственно.
10. На основе «правильного» орбитального периода Паллады: 1684,869 дней и 4332,59 дней для Юпитера.
11. 87 Сильвия — первый астероид, у которого обнаружено более одной луны.
12. Этот резонанс, возможно, был занят в прошлом. ^[78]
13. Некоторые определения кентавров требуют, чтобы они не были резонансными.
14. Этот резонанс, возможно, был занят в прошлом. ^[80]
15. Этот резонанс, возможно, был занят в прошлом. ^[81]
16. Результаты для системы Хаумеа не очень значимы, поскольку, вопреки предположениям, заложенным в расчетах, Намака имеет эксцентричную, некеплерову орбиту, которая быстро прецессирует (см. ниже). Хииака и Намака гораздо ближе к резонансу 3:8, чем указано, и действительно могут находиться в нем. ^[86]

Наименее вероятная орбитальная корреляция в списке (то есть связь, которая, скорее всего, не была случайной) — это корреляция между Ио и Метидой, за ней следуют связи между Розалиндой и Корделией, Палладой и Церерой, Юпитером и Палладой, Каллисто и Ганимед, Гидра и Харон соответственно.

Возможные прошлые резонансы среднего движения

Прошлый резонанс между Юпитером и Сатурном, возможно, сыграл драматическую роль в ранней истории Солнечной системы. Компьютерная модель 2004 года , разработанная Алессандро Морбиделли из Обсерватории Лазурного берега в Ницце , предположила образование резонанса 1:2 между Юпитером и Сатурном из-за взаимодействия с планетезималями , которое заставило их мигрировать внутрь и наружу соответственно. В модели это создало гравитационный толчок, который вывел Уран и Нептун на более высокие орбиты, а в некоторых сценариях заставил их поменяться местами, что удвоило бы расстояние Нептуна от Солнца. Возникающее в результате изгнание объектов из пояса прото-Койпера по мере движения Нептуна наружу может объяснить позднюю тяжелую бомбардировку, произошедшую через 600 миллионов лет после формирования Солнечной системы, и происхождение троянских астероидов Юпитера . ^[87] Миграция Нептуна наружу может также объяснить нынешнюю занятость некоторых из его резонансов (особенно резонанса 2:5) внутри пояса Койпера.

Хотя спутники Сатурна среднего размера, Диона и Тефия, сейчас не близки к точному резонансу, возможно, в начале истории Солнечной системы они находились в резонансе 2:3. Это могло привести к эксцентриситету орбиты и приливному нагреву , что могло достаточно нагреть внутреннюю часть Тефии, чтобы образовался подземный океан. Последующее замерзание океана после того, как спутники вышли из-под резонанса, возможно, вызвало напряжения растяжения, которые создали огромную систему грабена Итака-Казма на Тефии. ^[78]

Спутниковая система Урана заметно отличается от систем Юпитера и Сатурна тем, что в ней отсутствуют точные резонансы между более крупными спутниками, в то время как большинство более крупных спутников Юпитера (3 из 4 крупнейших) и Сатурна (6 из 8 крупнейших спутников) ) находятся в резонансах среднего движения. Во всех трех спутниковых системах спутники, вероятно, в прошлом были захвачены резонансами среднего движения, поскольку их орбиты смещались из-за приливной диссипации - процесса, посредством которого спутники получают орбитальную энергию за счет энергии вращения первичной звезды, непропорционально влияя на внутренние луны. Однако в системе Урана из-за меньшей степени сжатия планеты и большего относительного размера ее спутников избежать резонанса среднего движения гораздо проще. Меньшее сжатие первичной обмотки изменяет ее гравитационное поле таким образом, что различные возможные резонансы располагаются ближе друг к другу. Больший относительный размер спутников увеличивает силу их взаимодействия. Оба фактора приводят к более хаотичному поведению орбит на резонансах среднего движения или вблизи них. Выход из резонанса может быть связан с захватом во вторичный резонанс и/или вызванным приливной эволюцией увеличением эксцентриситета или наклонения орбиты .

Резонансы среднего движения, которые, вероятно, когда-то существовали в системе Урана, включают (3:5) Ариэль-Миранда, (1:3) Умбриэль-Миранда, (3:5) Умбриэль-Ариэль и (1:4) Титания-Ариэль. ^{[81] [80]} Доказательства таких прошлых резонансов включают относительно высокий эксцентриситет орбит внутренних спутников Урана и аномально высокое наклонение орбиты Миранды. Высокие эксцентриситеты орбит в прошлом, связанные с резонансами Умбриэля-Миранды (1:3) и Титании-Ариэля (1:4), возможно, привели к приливному нагреву недр Миранды и Ариэля ^[88] соответственно. Миранда, вероятно, вырвалась из резонанса с Умбриэлем посредством вторичного резонанса, и механизм этого побега, как полагают, объясняет, почему наклонение ее орбиты более чем в 10 раз больше, чем у других обычных спутников Урана (см. Естественные спутники Урана ). ^{[89] [90]}

Как и в случае с Мирандой, нынешние наклоны спутников Юпитера Амальтеи и Фивы считаются признаком прошлого прохождения через резонансы 3:1 и 4:2 с Ио соответственно. ^[91]

Считается, что регулярные спутники Нептуна Протей и Ларисса прошли через резонанс 1:2 несколько сотен миллионов лет назад; С тех пор луны отдалились друг от друга, потому что Протей находится за пределами синхронной орбиты , а Ларисса - внутри нее. Считается, что прохождение через резонанс возбудило эксцентриситет обеих лун до такой степени, что с тех пор полностью не затухло. ^{[82] [83]}

В случае спутников Плутона было высказано предположение, что нынешние близкие резонансы являются остатками предыдущего точного резонанса, который был нарушен приливным демпфированием эксцентриситета орбиты Харона ( подробности см. В разделе «Естественные спутники Плутона »). Ближние резонансы могут поддерживаться за счет 15%-ной локальной флуктуации гравитационного поля Плутона-Харона. Таким образом, эти близкие резонансы могут быть не случайными.

Меньшая внутренняя луна карликовой планеты Хаумеа , Намака , составляет одну десятую массы большей внешней луны, Хииака . Намака вращается вокруг Хаумеа за 18 дней по эксцентричной, некеплеровской орбите и по состоянию на 2008 год наклонена на 13 ° от Хииаки. ^[86] За время существования системы она должна была перейти на более круговую орбиту в результате приливного демпфирования. Похоже, что он был нарушен резонансами с более массивной Хииакой из-за сближения орбит при движении от Хаумеа из-за приливной диссипации. Спутники, возможно, несколько раз попадали в орбитальный резонанс, а затем выходили из него. Вероятно, они сравнительно недавно прошли через резонанс 3:1 и в настоящее время находятся в резонансе 8:3 или, по крайней мере, близки к нему. Орбита Намаки сильно возмущена , с текущей прецессией около -6,5° в год. ^[86]

Смотрите также

• 1685 Торо , астероид в резонансе 5:8 с Землей.
• 3753 Круитни , астероид, находящийся в резонансе с Землей 1:1.
• Арнольд язык
• Соизмеримость (астрономия)
• Закон Дермотта
• Подковообразная орбита , за которой следует объект в другом типе резонанса 1:1.
• Козай резонанс
• точки Лагранжа
• Меркурий , имеющий спин-орбитальный резонанс 3:2.
• Musica Universalis («Музыка сфер»)
• Резонансное взаимодействие
• Резонансный транснептуновый объект
• Приливная блокировка
• Приливный резонанс
• Закон Тициуса – Боде
• Оператор трансфера
• Троян (небесное тело) — тело в виде резонанса 1:1.
• Венера , период соединения с Землей которой (584 земных дня) почти в 5 раз превышает солнечные сутки (116,75 дней).

Примечания

1. Природу этого резонанса (игнорируя такие тонкости, как либрация и прецессия) можно грубо определить по орбитальным периодам следующим образом. Из Шоуолтера и др. , 2019, ^[34] периоды Наяды (Pn) и Талассы (Pt) составляют 0,294396 и 0,311484 суток соответственно. Исходя из них, период между соединениями можно рассчитать как 5,366 дней (1/[1/Pn – 1/Pt]), что составляет 18,23 (≈ 18,25) витков Наяды и 17,23 (≈ 17,25) витков Талассы. Таким образом, по истечении четырех периодов соединения пройдет 73 витка Наяды и 69 витков Талассы, и первоначальная конфигурация будет восстановлена.

Рекомендации

1. «Генеральная ассамблея IAU 2006: Резолюции 5 и 6» (PDF) . МАУ. 24 августа 2006 года . Проверено 23 июня 2009 г.
2. Порко, К .; Николсон, PD ; Бордери, Н.; Дэниэлсон, GE; Гольдрайх, П .; Холдберг, Дж.Б.; Лейн, Алабама (1984). «Эксцентрические локоны Сатурна на 1,29R _с и 1,45R _с ». Икар . 60 (1): 1–16. Бибкод : 1984Icar...60....1P. дои : 10.1016/0019-1035(84)90134-9.
3. Розен, Пенсильвания; Лиссауэр, Джей Джей (1988). «Узловая изгибающая волна Титана -1:0 в кольце C Сатурна». Наука . 241 (4866): 690–694. Бибкод : 1988Sci...241..690R. дои : 10.1126/science.241.4866.690. PMID  17839081. S2CID  32938282.
4. Чакрабарти, СК; Бхаттачарья, А. (2001). «Ограничения на параметры кольца C Сатурна при резонансе Титана -1:0». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 326 (2): Л23. Бибкод : 2001MNRAS.326L..23C. дои : 10.1046/j.1365-8711.2001.04813.x .
5. Витце, А. (5 сентября 2018 г.). «Попытки решить проблему космического мусора на Земле». Природа . 561 (7721): 24–26. Бибкод : 2018Natur.561...24W. дои : 10.1038/d41586-018-06170-1 . ПМИД  30185967.
6. Дакин, Дж.; Розенгрен, AJ; Алесси, ЕМ; Делефли, Ф.; Вальсекки, Великобритания; Росси, А. (2016). «Динамическая структура региона БВО: долгосрочная стабильность, хаос и транспорт». Небесная механика и динамическая астрономия . 124 (4): 335–366. arXiv : 1507.06170 . Бибкод : 2016CeMDA.124..335D. дои : 10.1007/s10569-015-9665-9. S2CID  119183742.
7. Вигерт, П.; Коннорс, М.; Вейе, К. (30 марта 2017 г.). «Ретроградный астероид на одной орбите Юпитера». Природа . 543 (7647): 687–689. Бибкод : 2017Natur.543..687W. дои : 10.1038/nature22029. PMID  28358083. S2CID  205255113.
8. Мораис, MHM; Намуни, Ф. (21 сентября 2013 г.). «Астероиды в ретроградном резонансе с Юпитером и Сатурном». Ежемесячные уведомления о письмах Королевского астрономического общества . 436 : L30–L34. arXiv : 1308.0216 . Бибкод : 2013MNRAS.436L..30M. дои : 10.1093/mnrasl/slt106. S2CID  119263066.
9. Мораис, Мария Хелена Морейра; Намуни, Фатхи (12 октября 2013 г.). «Ретроградный резонанс в плоской задаче трех тел». Небесная механика и динамическая астрономия . 117 (4): 405–421. arXiv : 1305.0016 . Бибкод : 2013CeMDA.117..405M. дои : 10.1007/s10569-013-9519-2. ISSN  1572-9478. S2CID  254379849.
10. Мораис, MHM; Номуни, Ф. (2017). «Первый транснептуновый объект, находящийся в полярном резонансе с Нептуном». Буквы. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 472 (1): Л1–Л4. arXiv : 1708.00346 . Бибкод : 2017MNRAS.472L...1M. doi : 10.1093/mnrasl/slx125.
11. Барнс, Р. (2011). «Резонанс Лапласа». В Гарго, М. (ред.). Энциклопедия астробиологии . Springer Science+Business Media . стр. 905–906. дои : 10.1007/978-3-642-11274-4_864. ISBN 978-3-642-11271-3.
12. Ривера, EJ; Лафлин, Г.; Батлер, Р.П.; Фогт, СС; Хагигипур, Н.; Мескиари, С. (2010). «Обзор экзопланеты Лика-Карнеги: четвертая планета массы Урана для GJ 876 во внесолнечной конфигурации Лапласа». Астрофизический журнал . 719 (1): 890–899. arXiv : 1006.4244 . Бибкод : 2010ApJ...719..890R. дои : 10.1088/0004-637X/719/1/890. S2CID  118707953.
13. Нельсон, Б.Э.; Робертсон, премьер-министр; Пейн, MJ; Причард, С.М.; Дек, КМ; Форд, Э.Б.; Райт, Дж. Т.; Исааксон, ХТ (2015). «Эмпирически полученный трехмерный резонанс Лапласа в планетной системе Глизе 876». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 455 (3): 2484–2499. arXiv : 1504.07995 . дои : 10.1093/mnras/stv2367 .
14. Марти, JG; Джуппоне, Калифорния; Бож, К. (2013). «Динамический анализ резонанса Лапласа Глизе-876». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 433 (2): 928–934. arXiv : 1305.6768 . Бибкод : 2013MNRAS.433..928M. doi : 10.1093/mnras/stt765. S2CID  118643833.
15. Шоуолтер, MR ; Гамильтон, ДП (2015). «Резонансные взаимодействия и хаотическое вращение малых спутников Плутона». Природа . 522 (7554): 45–49. Бибкод : 2015Natur.522...45S. дои : 10.1038/nature14469. PMID  26040889. S2CID  205243819.
16. Мюррей, компакт-диск; Дермотт, Сан-Франциско (1999). Динамика Солнечной системы. Издательство Кембриджского университета . п. 17. ISBN 978-0-521-57597-3.
17. Битти, Дж. К. (23 июля 2003 г.). «Почему Сатурн навеселе?». Небо и телескоп . Архивировано из оригинала 3 сентября 2009 года . Проверено 25 февраля 2009 г.
18. Уорд, WR; Гамильтон, ДП (2004). «Наклон Сатурна. I. Аналитическая модель». Астрономический журнал . 128 (5): 2501–2509. Бибкод : 2004AJ....128.2501W. дои : 10.1086/424533 .
19. Гамильтон, ДП; Уорд, WR (2004). «Наклон Сатурна. II. Численная модель». Астрономический журнал . 128 (5): 2510–2517. Бибкод : 2004AJ....128.2510H. дои : 10.1086/424534. S2CID  33083447.
20. Мариам Эль Мутамид (15 сентября 2022 г.). «Как Сатурн получил наклон и кольца». Наука . 377 (6612): 1264–1265. Бибкод : 2022Sci...377.1264E. doi : 10.1126/science.abq3184. PMID  36108002. S2CID  252309068.
21. Джек Уиздом; и другие. (15 сентября 2022 г.). «Потеря спутника может объяснить наклон Сатурна и молодые кольца». Наука . 377 (6612): 1285–1289. Бибкод : 2022Sci...377.1285W. дои : 10.1126/science.abn1234. PMID  36107998. S2CID  252310492.
22. Ласкар, Дж. (2008). «Хаотическая диффузия в Солнечной системе». Икар . 196 (1): 1–15. arXiv : 0802.3371 . Бибкод : 2008Icar..196....1L. дои : 10.1016/j.icarus.2008.02.017. S2CID  11586168.
23. Ласкар, Дж.; Гастино, М. (2009). «Существование столкновительных траекторий Меркурия, Марса и Венеры с Землей». Природа . 459 (7248): 817–819. Бибкод : 2009Natur.459..817L. дои : 10.1038/nature08096. PMID  19516336. S2CID  4416436.
24. Мусотто, С.; Варад, Ф.; Мур, В.; Шуберт, Г. (2002). «Численное моделирование орбит галилеевых спутников». Икар . 159 (2): 500–504. Бибкод : 2002Icar..159..500M. дои : 10.1006/icar.2002.6939.
25. Браун, Мэн ; Баркуме, КМ; Рагоцзин, Д.; Шаллер, Э.Л. (2007). «Столкновительное семейство ледяных объектов в поясе Койпера» (PDF) . Природа . 446 (7133): 294–296. Бибкод : 2007Natur.446..294B. дои : 10.1038/nature05619. PMID  17361177. S2CID  4430027.
26. Рагозин, Д.; Браун, Мэн (2007). «Кандидаты в члены и оценка возраста семейства объекта пояса Койпера 2003 EL61». Астрономический журнал . 134 (6): 2160–2167. arXiv : 0709.0328 . Бибкод : 2007AJ....134.2160R. дои : 10.1086/522334. S2CID  8387493.
27. Буи, MW (24 октября 2011 г.). «Подгонка орбиты и астрометрическая запись для 225088». SwRI (Департамент космических наук) . Проверено 14 ноября 2014 г.
28. Синклер, AT (1975). «Орбитальный резонанс среди галилеевых спутников Юпитера». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 171 (1): 59–72. Бибкод : 1975MNRAS.171...59S. дои : 10.1093/mnras/171.1.59 .
29. Витце, А. (3 июня 2015 г.). «Спутники Плутона движутся синхронно». Новости природы . дои : 10.1038/nature.2015.17681. S2CID  134519717.
30. Малхотра, Р. (1997). «Орбита Плутона» . Проверено 26 марта 2007 г.
31. Браун, Мэн (23 марта 2009 г.). «S/2005 (90482) 1 нужна ваша помощь». Планеты Майка Брауна . Проверено 25 марта 2009 г.
32. «НАСА обнаружило, что спутники Нептуна заперты в« танце избегания »» . Лаборатория реактивного движения . 14 ноября 2019 года . Проверено 15 ноября 2019 г. .
33. Брозович, М.; Шоуолтер, MR; Джейкобсон, РА; французский, РС; Лиссауэр, Джей Джей; де Патер, И. (31 октября 2019 г.). «Орбиты и резонансы регулярных спутников Нептуна». Икар . 338 (2): 113462. arXiv : 1910.13612 . doi :10.1016/j.icarus.2019.113462. S2CID  204960799.
34. Шоуолтер, MR; де Патер, И.; Лиссауэр, Джей Джей; Французский, RS (2019). «Седьмая внутренняя луна Нептуна» (PDF) . Природа . 566 (7744): 350–353. Бибкод : 2019Natur.566..350S. дои : 10.1038/s41586-019-0909-9. ПМК 6424524 . ПМИД  30787452. 
35. Шейл, CJ; Вандербург, А. (2017). «Идентификация экзопланет с помощью глубокого обучения: резонансная цепочка из пяти планет вокруг Кеплера-80 и восьмая планета вокруг Кеплера-90» (PDF) . Астрофизический журнал . 155 (2): 94. arXiv : 1712.05044 . Бибкод : 2018AJ....155...94S. дои : 10.3847/1538-3881/aa9e09 . S2CID  4535051 . Проверено 15 декабря 2017 г.
36. Люгер, Р.; Шестович, М.; Крузе, Э.; Гримм, СЛ; Демори, Б.-О.; Агол, Э.; Болмонт, Э.; Фабрики, Д.; Фернандес, CS; Ван Гроотель, В.; Бургассер, А.; Гиллон, М.; Ингаллс, Дж. Г.; Джехин, Э.; Раймонд, С.Н.; Селсис, Ф.; Трио, AHMJ; Барклай, Т.; Баренцен, Г.; Дельрес, Л.; де Вит, Дж.; Форман-Макки, Д.; Холдсворт, ДЛ; Леконт, Дж.; Ледерер, С.; Тюрбет, М.; Алмлики, Ю.; Бенхалдун, З.; Магейн, П.; Моррис, Б. (22 мая 2017 г.). «Резонансная цепочка из семи планет в TRAPPIST-1». Природная астрономия . 1 (6): 0129. arXiv : 1703.04166 . Бибкод : 2017NatAs...1E.129L. дои : 10.1038/s41550-017-0129. S2CID  54770728.
37. Изидоро, А.; Огихара, М.; Раймонд, С.Н.; Морбиделли, А.; Пиренс, А.; Битч, Б.; Коссу, К.; Херсант, Ф. (2017). «Разрыв цепей: горячие системы суперземли от миграции и разрушения компактных резонансных цепей». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 470 (2): 1750–1770. arXiv : 1703.03634 . Бибкод : 2017MNRAS.470.1750I. doi : 10.1093/mnras/stx1232. S2CID  119493483.
38. Лафлин, Г. (23 июня 2010 г.). «Второй резонанс Лапласа». Системные: характеристика планет . Архивировано из оригинала 29 декабря 2013 года . Проверено 30 июня 2015 г.
39. Марси, Дж. В.; Батлер, Р.П.; Фишер, Д.; Фогт, СС; Лиссауэр, Джей Джей; Ривера, Э.Дж. (2001). «Пара резонансных планет, вращающихся вокруг GJ 876». Астрофизический журнал . 556 (1): 296–301. Бибкод : 2001ApJ...556..296M. дои : 10.1086/321552 .
40. "Планета Кеплер-223 b" . Энциклопедия внесолнечных планет . Архивировано из оригинала 22 января 2018 года . Проверено 21 января 2018 г.
41. Битти, К. (5 марта 2011 г.). «Кеплер находит планеты в плотном танце». Небо и телескоп . Проверено 16 октября 2012 г.
42. Лиссауэр, Дж. Дж .; и другие. (2011). «Архитектура и динамика систем множественных транзитных планет-кандидатов Кеплера». Серия дополнений к астрофизическому журналу . 197 (1): 1–26. arXiv : 1102.0543 . Бибкод : 2011ApJS..197....8L. дои : 10.1088/0067-0049/197/1/8. S2CID  43095783.
43. Миллс, С.М.; Фабрики, округ Колумбия; Мигашевский, К.; Форд, Э.Б.; Петигура, Э.; Исааксон, Х. (11 мая 2016 г.). «Резонансная цепочка из четырех транзитных планет субНептуна». Природа . 533 (7604): 509–512. arXiv : 1612.07376 . Бибкод : 2016Natur.533..509M. дои : 10.1038/nature17445. PMID  27225123. S2CID  205248546.
44. Коппес, С. (17 мая 2016 г.). «Система Кеплер-223: ключ к разгадке планетарной миграции». Лаборатория реактивного движения . Проверено 18 мая 2016 г.
45. Макдональд, МГ; Рагоцзин, Д.; Фабрики, округ Колумбия; Форд, Э.Б.; Холман, MJ; Исааксон, ХТ; Лиссауэр, Джей Джей; Лопес, Эд; Мазе, Т. (1 января 2016 г.). «Динамический анализ системы пяти транзитных планет Кеплер-80». Астрономический журнал . 152 (4): 105. arXiv : 1607.07540 . Бибкод : 2016AJ....152..105M. дои : 10.3847/0004-6256/152/4/105 . S2CID  119265122.
46. Лелеу, А.; Альберт, Ю.; Хара, Северная Каролина; Хутон, MJ; Уилсон, Т.Г.; Робутель, П.; Делиль, Ж.-Б.; Ласкар, Дж.; Хойер, С.; Ловис, К.; Брайант, EM; Дюкро, Э.; Кабрера, Дж.; Дельрес, Л.; Эктон, Дж.С.; Адибекян В.; Алларт, Р.; Прието, Альенде; Алонсо, Р.; Алвес, Д.; и другие. (20 января 2021 г.). «Шесть транзитных планет и цепочка резонансов Лапласа в ТОИ-178». Астрономия и астрофизика . 649 : А26. arXiv : 2101.09260 . Бибкод : 2021A&A...649A..26L. дои : 10.1051/0004-6361/202039767. ISSN  0004-6361. S2CID  231693292.
47. Гиллон, М.; Трио, AHMJ; Демори, Б.-О.; Джехин, Э.; Агол, Э.; Дек, КМ; Ледерер, С.М.; де Вит, Дж.; Бурданов А. (22 февраля 2017 г.). «Семь планет земной группы с умеренным климатом вокруг ближайшей ультрахолодной карликовой звезды TRAPPIST-1». Природа . 542 (7642): 456–460. arXiv : 1703.01424 . Бибкод : 2017Natur.542..456G. дои : 10.1038/nature21360. ПМЦ 5330437 . ПМИД  28230125. 
48. Тамайо, Д.; Рейн, Х.; Петрович, С.; Мюррей, Н. (10 мая 2017 г.). «Конвергентная миграция делает TRAPPIST-1 долговечным». Астрофизический журнал . 840 (2): Л19. arXiv : 1704.02957 . Бибкод : 2017ApJ...840L..19T. дои : 10.3847/2041-8213/aa70ea . S2CID  119336960.
49. Чанг, К. (10 мая 2017 г.). «Гармония, которая удерживает семь миров размером с Землю Трапписта-1 от столкновения». Нью-Йорк Таймс . Проверено 26 июня 2017 г.
50. Картер, Дж.А.; Агол, Э.; Чаплин, WJ; и другие. (21 июня 2012 г.). «Кеплер-36: пара планет с соседними орбитами и разной плотностью». Наука . 337 (6094): 556–559. arXiv : 1206.4718 . Бибкод : 2012Sci...337..556C. дои : 10.1126/science.1223269. PMID  22722249. S2CID  40245894.
51. Барклай, Т.; и другие. (2013). «Экзопланета размером с суб-Меркурий». Природа . 494 (7438): 452–454. arXiv : 1305.5587 . Бибкод : 2013Natur.494..452B. дои : 10.1038/nature11914. PMID  23426260. S2CID  205232792.

    • И Барклай, Томас; и другие. (2013). «Ошибка: экзопланета размером с суб-Меркурий». Природа . 496 (7444): 252. Бибкод : 2013Natur.496..252B. дои : 10.1038/nature12067 .

52. Лиссауэр, Дж. Дж.; Марси, GW; Брайсон, Северная Каролина; Роу, Дж. Ф.; Йонтоф-Хуттер, Д.; Агол, Э.; Боруки, WJ; Картер, Дж.А.; Форд, Э.Б.; Гиллиленд, РЛ; Колбл, Р.; Звезда, КМ; Штеффен, Дж. Х.; Торрес, Г. (25 февраля 2014 г.). «Подтверждение кандидатов на множественные планеты Кеплера. II: Уточненная статистическая основа и описания систем, представляющих особый интерес». Астрофизический журнал . 784 (1): 44. arXiv : 1402.6352 . Бибкод : 2014ApJ...784...44L. дои : 10.1088/0004-637X/784/1/44. S2CID  119108651.
53. Кабрера, Дж.; Чизмадия, С.; Леманн, Х.; Дворжак Р.; Гандольфи, Д.; Рауэр, Х.; Эриксон, А.; Дрейер, К.; Эйгмюллер, доктор философии; Хацес, А. (31 декабря 2013 г.). «Планетарная система по KIC 11442793: компактный аналог Солнечной системы». Астрофизический журнал . 781 (1): 18. arXiv : 1310.6248 . Бибкод : 2014ApJ...781...18C. дои : 10.1088/0004-637X/781/1/18. S2CID  118875825.
54. Руки, ТО; Александр, Р.Д. (13 января 2016 г.). «Могут существовать гиганты: невидимые планеты массой Юпитера, создающие плотно упакованные планетные системы». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 456 (4): 4121–4127. arXiv : 1512.02649 . Бибкод : 2016MNRAS.456.4121H. дои : 10.1093/mnras/stv2897. S2CID  55175754.
55. Дженкинс, Дж. С.; Туоми, М.; Брассер, Р.; Иванюк О.; Мургас, Ф. (2013). «Две суперземли, вращающиеся вокруг солнечного аналога HD 41248 на грани среднего резонанса движения 7:5». Астрофизический журнал . 771 (1): 41. arXiv : 1304.7374 . Бибкод : 2013ApJ...771...41J. дои : 10.1088/0004-637X/771/1/41. S2CID  14827197.
56. Кристиансен, Джесси Л.; Кроссфилд, Ян Дж. М.; Баренцен, Г.; Линтотт, CJ; Барклай, Т.; Симмонс, Б.Д.; Петигура, Э.; Шлидер, Дж. Э.; Туалетная, компакт-диск; Вандербург, А.; Аллен, К. (11 января 2018 г.). «Система К2-138: почти резонансная цепочка из пяти субнептуновых планет, обнаруженная гражданскими учеными». Астрономический журнал . 155 (2): 57. arXiv : 1801.03874 . Бибкод : 2018AJ....155...57C. дои : 10.3847/1538-3881/aa9be0 . S2CID  52971376.
57. Лопес, Т.А.; Баррос, SCC; Сантерн, А.; Делей, М.; Адибекян В.; Альменара, Ж.-М.; Армстронг, диджей; Брюггер, Б.; Баррадо, Д.; Бэйлисс, Д.; Бойсе, И.; Бономо, AS; Буши, Ф.; Браун, DJA; Карли, Э.; Деманжон, О.; Дюмуск, X.; Диас, РФ; Фариа, Япония; Фигейра, П.; Фокселл, Э.; Джайлз, Х.; Эбрар, Г.; Ходжатпанах, С.; Кирк, Дж.; Лилло-Бокс, Дж.; Ловис, К.; Мусис, О.; да Нобрега, HJ; Нильсен, Л.Д.; Нил, Джей-Джей; Осборн, HP; Пепе, Ф.; Поллакко, Д.; Сантос, Северная Каролина; Соуза, СГ; Удри, С.; Виган, А.; Уитли, Пи Джей (1 ноября 2019 г.). «Характеристика экзопланеты в самой длинной известной резонансной цепочке: системе K2-138, замеченной HARPS». Астрономия и астрофизика . 631 : А90. arXiv : 1909.13527 . Бибкод : 2019A&A...631A..90L. дои : 10.1051/0004-6361/201936267. S2CID  203593804.
58. Лелеу, Адриан; Коулман, Гэвин А.Л.; Атайи, С. (1 ноября 2019 г.). «Стабильность коорбитального резонанса при диссипации – применение к его эволюции в протопланетных дисках». Астрономия и астрофизика . 631 : А6. arXiv : 1901.07640 . Бибкод : 2019A&A...631A...6L. дои : 10.1051/0004-6361/201834486. S2CID  219840769.
59. "Схема системы К2-138" . jpl.nasa.gov . Проверено 20 ноября 2019 г.
60. Харградус-Ульман, К.; Кристиансен, Дж. (январь 2019 г.). «K2-138 g: Спитцер обнаружил шестой субнептун для системы гражданской науки». Тезисы докладов о заседании Американского астрономического общества № 233 . 233 : 164.07. Бибкод : 2019AAS...23316407H.
61. «Программы АО-1 - Программа приглашенных наблюдателей CHEOPS - Космос» . www.cosmos.esa.int . Проверено 20 ноября 2019 г.
62. Хеллер, Рене; Роденбек, Кай; Хиппке, Майкл (1 мая 2019 г.). «Транзитное исследование методом наименьших квадратов - I. Открытие и подтверждение существования планеты размером с Землю в системе четырех планет К2-32 вблизи резонанса 1:2:5:7». Астрономия и астрофизика . 625 : А31. arXiv : 1904.00651 . Бибкод : 2019A&A...625A..31H. дои : 10.1051/0004-6361/201935276. ISSN  0004-6361. S2CID  90259349.
63. Дэвид, Тревор Дж.; Петигура, Эрик А.; Люгер, Родриго; Форман-Макки, Дэниел; Ливингстон, Джон Х.; Мамаек, Эрик Э.; Хилленбранд, Линн А. (29 октября 2019 г.). «Четыре новорожденные планеты, проходящие через молодой солнечный аналог V1298 Тау». Астрофизический журнал . 885 (1): Л12. arXiv : 1910.04563 . Бибкод : 2019ApJ...885L..12D. дои : 10.3847/2041-8213/ab4c99 . ISSN  2041-8213. S2CID  204008446.
64. Хара, Северная Каролина; Буши, Ф.; Сталпорт, М.; Бойсе, И.; Родригес, Дж.; Делиль, Ж.-Б.; Сантерн, А.; Генри, GW; Арнольд, Л.; Астудильо-Дефру, Н.; Борнье, С. (2020). «СОФИ ищет северные внесолнечные планеты. XVII. Компактная планетная система в резонансной цепочке среднего движения, близкой к 3:2». Астрономия и астрофизика . 636 : Л6. arXiv : 1911.13296 . дои : 10.1051/0004-6361/201937254. S2CID  208512859.
65. Вандербург, А.; Роуден, П.; Брайсон, С.; Кофлин, Дж.; Баталья, Н.; Коллинз, Калифорния; Лэтэм, Д.В.; Маллалли, SE; Колон, К.Д.; Хенце, К.; Хуанг, CX; Куинн, СН (2020). «Планета размером с Землю, находящаяся в обитаемой зоне, спасена от ложноположительного статуса». Астрофизический журнал . 893 (1): Л27. arXiv : 2004.06725 . Бибкод : 2020ApJ...893L..27V. дои : 10.3847/2041-8213/ab84e5 . S2CID  215768850.
66. Вайс, LM; Фабрики, округ Колумбия; Агол, Э.; Миллс, С.М.; Ховард, AW; Исааксон, Х.; Петигура, Э.А.; Фултон, Б.; Хирш, Л.; Синюков, Э. (2020). «Открытие долгопериодической эксцентричной планеты Кеплер-88 d и характеристика системы с помощью лучевых скоростей и фотодинамического анализа» (PDF) . Астрономический журнал . 159 (5): 242. arXiv : 1909.02427 . Бибкод : 2020AJ....159..242W. дои : 10.3847/1538-3881/ab88ca . S2CID  202539420.
67. Клесман, Элисон (29 ноября 2023 г.). «« Шокирован и восхищен »: астрономы обнаружили шесть планет, вращающихся по орбитам в резонансе». Астрономический журнал . Проверено 23 декабря 2023 г.
68. Райт, JT; Фахури, О.; Марси, GW; Хан, Э.; Фэн, Ю.; Джонсон, Дж.А.; Ховард, AW; Фишер, Д.А.; Валенти, Дж.А.; Андерсон, Дж.; Пискунов, Н. (2011). «База данных об орбитах экзопланет». Публикации Тихоокеанского астрономического общества . 123 (902): 412–42. arXiv : 1012.5676 . Бибкод : 2011PASP..123..412W. дои : 10.1086/659427. S2CID  51769219.
69. Теркем, К.; Папалоизу, JCB (2007). «Миграция и формирование систем горячих суперземель и нептунов». Астрофизический журнал . 654 (2): 1110–1120. arXiv : astro-ph/0609779 . Бибкод : 2007ApJ...654.1110T. дои : 10.1086/509497. S2CID  14034512.
70. Лэнгфорд, премьер-министр (12 марта 2012 г.). «Транзиты Венеры». Астрономическое общество Нормандского острова Гернси. Архивировано из оригинала 11 января 2012 года . Проверено 15 января 2016 г.
71. Базсо, А.; Эйбл, В.; Дворжак Р.; Пилат-Лохингер, Э.; Лхотка, К. (2010). «Обзор резонансов почти среднего движения между Венерой и Землей». Небесная механика и динамическая астрономия . 107 (1): 63–76. arXiv : 0911.2357 . Бибкод : 2010CeMDA.107...63B. дои : 10.1007/s10569-010-9266-6. S2CID  117795811.
72. Шортт, Д. (22 мая 2012 г.). «Некоторые подробности о транзитах Венеры». Планетарное общество . Проверено 22 мая 2012 г.
73. Розенблатт, П.; Чарноз, С.; Дансит, КМ; Терао-Дансит, М.; Трин, А.; Хёдо, Р.; и другие. (4 июля 2016 г.). «Аккреция Фобоса и Деймоса в расширенный диск обломков, перемешиваемый переходными лунами» (PDF) . Природа Геонауки . 9 (8): 581–583. Бибкод : 2016NatGe...9..581R. дои : 10.1038/ngeo2742. S2CID  133174714.
74. Гоффен, Э. (2001). «Новое определение массы Паллады». Астрономия и астрофизика . 365 (3): 627–630. Бибкод : 2001A&A...365..627G. дои : 10.1051/0004-6361:20000023 .
75. Ковачевич, AB (2012). «Определение массы Цереры на основе наиболее эффективных с точки зрения гравитации близких сближений». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 419 (3): 2725–2736. arXiv : 1109.6455 . Бибкод : 2012MNRAS.419.2725K. дои : 10.1111/j.1365-2966.2011.19919.x.
76. Тейлор, Д.Б. (1982). «Секулярное движение Паллады». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 199 (2): 255–265. Бибкод : 1982MNRAS.199..255T. дои : 10.1093/mnras/199.2.255 .
77. Гольдрайх, П. (1965). «Объяснение частого возникновения соизмеримых средних движений в Солнечной системе». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 130 (3): 159–181. Бибкод : 1965MNRAS.130..159G. дои : 10.1093/mnras/130.3.159 .
78. Чен, EMA; Ниммо, Ф. (2008). «Тепловая и орбитальная эволюция Тефии, ограниченная наземными наблюдениями» (PDF) . Лунная и планетарная наука XXXIX . Лунно-планетарный институт . #1968 . Проверено 14 марта 2008 г.
79. Мюррей, компакт-диск; Томпсон, Р.П. (1990). «Орбиты спутников-пастухов, выведенные из структуры колец Урана». Природа . 348 (6301): 499–502. Бибкод : 1990Natur.348..499M. дои : 10.1038/348499a0. S2CID  4320268.
80. Титтемор, туалет; Мудрость, Дж. (1990). «Приливная эволюция спутников Урана: III. Эволюция посредством соизмеримости среднего движения Миранды-Умбриэля 3:1, Миранды-Ариэля 5:3 и Ариэля-Умбриэля 2:1». Икар . 85 (2): 394–443. Бибкод : 1990Icar...85..394T. дои : 10.1016/0019-1035(90)90125-С. hdl : 1721.1/57632 .
81. Титтемор, туалет; Мудрость, Дж. (1988). «Приливная эволюция спутников Урана I. Прохождение Ариэля и Умбриэля через соизмеримость среднего движения 5:3». Икар . 74 (2): 172–230. Бибкод : 1988Icar...74..172T. дои : 10.1016/0019-1035(88)90038-3. hdl : 1721.1/57632 .
82. Чжан, К.; Гамильтон, ДП (2007). «Орбитальные резонансы во внутренней системе Нептуна: I. Резонанс среднего движения Протея-Ларисы 2:1». Икар . 188 (2): 386–399. Бибкод : 2007Icar..188..386Z. дои : 10.1016/j.icarus.2006.12.002.
83. Чжан, К.; Гамильтон, ДП (2008). «Орбитальные резонансы во внутренней системе Нептуна: II. Резонансная история Протея, Ларисы, Галатеи и Деспины». Икар . 193 (1): 267–282. Бибкод : 2008Icar..193..267Z. дои : 10.1016/j.icarus.2007.08.024.
84. Мэтсон, Дж. (11 июля 2012 г.). «Новолуние Плутона: телескоп Хаббл обнаружил пятый спутник Плутона». Научный американец . Проверено 12 июля 2012 г.
85. Уорд, WR; Кануп, РМ (2006). «Вынужденная резонансная миграция внешних спутников Плутона Хароном». Наука . 313 (5790): 1107–1109. Бибкод : 2006Sci...313.1107W. дои : 10.1126/science.1127293. PMID  16825533. S2CID  36703085.
86. Рагоцзин, Д.; Браун, Мэн (2009). «Орбиты и массы спутников карликовой планеты Хаумеа = 2003 EL ₆₁ ». Астрономический журнал . 137 (6): 4766–4776. arXiv : 0903.4213 . Бибкод : 2009AJ....137.4766R. дои : 10.1088/0004-6256/137/6/4766. S2CID  15310444.
87. Хансен, К. (7 июня 2004 г.). «Орбитальная перестановка ранней Солнечной системы». Геотаймс . Проверено 26 августа 2007 г.
88. Титтемор, WC (1990). «Приливный нагрев Ариэля». Икар . 87 (1): 110–139. Бибкод : 1990Icar...87..110T. дои : 10.1016/0019-1035(90)90024-4.
89. Титтемор, туалет; Мудрость, Дж. (1989). «Приливная эволюция спутников Урана II. Объяснение аномально высокого наклона орбиты Миранды» (PDF) . Икар . 78 (1): 63–89. Бибкод : 1989Icar...78...63T. дои : 10.1016/0019-1035(89)90070-5. hdl : 1721.1/57632 .
90. Малхотра, Р.; Дермотт, С.Ф. (1990). «Роль вторичных резонансов в орбитальной истории Миранды». Икар . 85 (2): 444–480. Бибкод : 1990Icar...85..444M. дои : 10.1016/0019-1035(90)90126-Т .
91. Бернс, Дж.А.; Симонелли, ДП; Шоуолтер, MR; Гамильтон, ДП; Порко, Кэролайн С.; Эспозито, LW; Труп, Х. (2004). «Система Кольцо-Луна Юпитера» (PDF) . В Багенале, Фрэн; Даулинг, Тимоти Э.; Маккиннон, Уильям Б. (ред.). Юпитер: Планета, спутники и магнитосфера. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-03545-3.

• Мюррей, компакт-диск; Дермотт, Сан-Франциско (1999). Динамика Солнечной системы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57597-3.
• Малхотра, Рену; Холман, Мэтью; Ито, Такаши (23 октября 2001 г.). «Орбитальные резонансы и хаос в Солнечной системе». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 98 (22): 12342–12343. дои : 10.1073/pnas.231384098. ПМК  60054 . ПМИД  11606772.
• Малхотра, Рену (1995). «Происхождение орбиты Плутона: последствия для Солнечной системы за пределами Нептуна». Астрономический журнал . 110 : 420. arXiv : astro-ph/9504036 . Бибкод : 1995AJ....110..420M. дои : 10.1086/117532. S2CID  10622344.
• Леметр, А. (2010). «Резонансы: модели и захваты». В Суше, Дж.; Дворжак Р. (ред.). Динамика малых тел Солнечной системы и экзопланет . Конспект лекций по физике. Том. 790. Спрингер . стр. 1–62. дои : 10.1007/978-3-642-04458-8. ISBN 978-3-642-04457-1.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с орбитальным резонансом, на Викискладе?