Связь энергии и импульса

Релятивистское уравнение, связывающее полную энергию с инвариантной массой и импульсом.

В физике соотношение энергии -импульса , или релятивистское дисперсионное соотношение , представляет собой релятивистское уравнение , связывающее полную энергию (которую также называют релятивистской энергией ) с инвариантной массой (которая также называется массой покоя) и импульсом . Это расширение эквивалентности массы и энергии для тел или систем с ненулевым импульсом. Его можно записать в виде следующего уравнения:

Это уравнение справедливо для тела или системы , например одной или нескольких частиц , с полной энергией E , инвариантной массой m ₀ и импульсом величины p ; константа c — скорость света . Он предполагает случай специальной теории относительности плоского пространства-времени ^{[1] [2] [3]} и что частицы свободны. Полная энергия представляет собой сумму энергии покоя и кинетической энергии , а инвариантная масса — это масса, измеренная в системе отсчёта центра импульса .

Для тел или систем с нулевым импульсом это упрощается до уравнения массы-энергии , где полная энергия в этом случае равна энергии покоя (также записываемой как E ₀ ). ${\displaystyle E=m_{0}{\textrm {c}}^{2}}$

Модель моря Дирака , которая использовалась для предсказания существования антиматерии , тесно связана с соотношением энергии и импульса.

Подключение к E = mc 2

Треугольник Эйнштейна

Соотношение энергия-импульс согласуется со знакомым соотношением масса-энергия в обеих его интерпретациях: E = mc ² связывает полную энергию E с (общей) релятивистской массой m (альтернативно обозначаемой m _rel или m _tot ), тогда как E ₀ = m ₀ c ² связывает энергию покоя E ₀ с (инвариантной) массой покоя m ₀ .

В отличие от любого из этих уравнений, уравнение энергии-импульса ( 1 ) связывает полную энергию с массой покоя m ₀ . Все три уравнения справедливы одновременно.

Особые случаи

1. Если тело является безмассовой частицей ( m ₀ = 0 ), то ( 1 ) сводится к E = pc . Для фотонов это соотношение, открытое в классическом электромагнетизме XIX века , между лучистым импульсом (вызывающим радиационное давление ) и лучистой энергией .
2. Если скорость тела v много меньше c , то ( 1 ) сводится к E =1/2м ₀ v ² + м ₀ c ² ; то есть полная энергия тела — это просто его классическая кинетическая энергия (1/2m ₀ v ² ) плюс его энергия покоя.
3. Если тело покоится ( v = 0 ), т. е. находится в своей системе отсчета с центром импульса ( p = 0 ), мы имеем E = E ₀ и m = m ₀ ; таким образом, соотношение энергия-импульс и обе формы отношения масса-энергия (упомянутые выше) становятся одинаковыми.

Для общей теории относительности справедлива более общая форма соотношения ( 1 ) .

Инвариантная масса (или масса покоя) является инвариантом для всех систем отсчета (отсюда и название), не только в инерциальных системах отсчета в плоском пространстве-времени, но и в ускоренных системах отсчета, перемещающихся в искривленном пространстве-времени (см. ниже). Однако полная энергия частицы E и ее релятивистский импульс p зависят от системы отсчета; относительное движение между двумя кадрами заставляет наблюдателей в этих кадрах измерять разные значения энергии и импульса частицы; один кадр измеряет E и p , а другой кадр измеряет E ′ и p ′ , где E ′ ≠ E и p ′ ≠ p , если только между наблюдателями нет относительного движения, и в этом случае каждый наблюдатель измеряет одну и ту же энергию и импульсы. Хотя в плоском пространстве-времени у нас все еще есть:

${\displaystyle {E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Величины E , p , E ' , p ' связаны преобразованием Лоренца . Соотношение позволяет обойти преобразования Лоренца при определении только величин энергии и импульса путем приравнивания соотношений в разных системах отсчета. Опять же, в плоском пространстве-времени это означает;

${\displaystyle {E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Поскольку m ₀ не меняется от кадра к кадру, соотношение энергия-импульс используется в расчетах релятивистской механики и физики элементарных частиц , поскольку энергия и импульс задаются в системе отсчета покоя частицы (то есть E ′ и p ′ как наблюдатель, движущийся с частицей) и измеряется в лабораторных условиях (т.е. E и p определяются физиками элементарных частиц в лаборатории, а не движутся вместе с частицами).

В релятивистской квантовой механике оно является основой построения релятивистских волновых уравнений , поскольку если релятивистское волновое уравнение, описывающее частицу, согласуется с этим уравнением – оно согласуется с релятивистской механикой и является лоренц-инвариантным . В релятивистской квантовой теории поля она применима ко всем частицам и полям. ^[4]

Происхождение и вывод уравнения

Соотношение энергия-импульс восходит к статье Макса Планка ^[5] , опубликованной в 1906 году. Оно использовалось Уолтером Гордоном в 1926 году, а затем Полем Дираком в 1928 году в форме , где V – количество потенциальной энергии. ^{[6] [7]} ${\textstyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}+V}$

Уравнение можно получить разными способами, два из самых простых:

1. Из релятивистской динамики массивной частицы:
2. Путем оценки нормы четырехимпульса системы . Этот метод применим как к массивным, так и к безмассовым частицам и может быть распространен на многочастичные системы с относительно небольшими усилиями (см. § Многочастичные системы ниже).

Эвристический подход для массивных частиц

Для массивного объекта, движущегося с трехскоростью u = ( u _x , u _y , u _z ) с магнитудой | ты | = u в лабораторной системе : ^[1]

${\displaystyle E=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}c^{2}}$

- полная энергия движущегося объекта в лабораторной системе координат,

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}\mathbf {u} }$

— трехмерный релятивистский импульс объекта в лабораторной системе координат с магнитудой | р | = п . Релятивистская энергия E и импульс p включают фактор Лоренца , определяемый следующим образом:

${\displaystyle \gamma _{(\mathbf {u} )}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}}$

Некоторые авторы используют релятивистскую массу , определяемую как:

${\displaystyle m=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}}$

хотя масса покоя m ₀ имеет более фундаментальное значение и в этой статье будет использоваться в первую очередь вместо релятивистской массы m .

Возведение в квадрат 3-импульса дает:

${\displaystyle p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ={\frac {m_{0}^{2}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}={\frac {m_{0}^{2}u^{2}}{1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}$

затем, решив для u ² и подставив в фактор Лоренца, получим его альтернативную форму в терминах 3-импульса и массы, а не 3-скорости:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

Включение этой формы фактора Лоренца в уравнение энергии дает:

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

с последующей перестановкой получается ( 1 ). Устранение фактора Лоренца также устраняет неявную зависимость частицы от скорости в ( 1 ), а также любые выводы о «релятивистской массе» массивной частицы. Этот подход не является универсальным, поскольку безмассовые частицы не рассматриваются. Наивная установка m ₀ = 0 будет означать, что E = 0 и p = 0 , и никакое соотношение энергии и импульса не может быть получено, что неверно.

Норма четырехимпульса

Энергия и импульс объекта измеряются в двух инерциальных системах отсчета в пространстве энергии-импульса: желтая рамка измеряет E и p , а синяя рамка измеряет E ′ и p ′ . Зеленая стрелка — это четырехимпульс P объекта, длина которого пропорциональна его массе покоя m ₀ . Зеленая рамка — это рамка центра импульса объекта с энергией, равной энергии покоя. Гиперболы показывают, что преобразование Лоренца из одного кадра в другой представляет собой гиперболическое вращение , а Φ и Φ + η — быстроты синего и зеленого кадров соответственно.

Специальная теория относительности

В пространстве Минковского энергия (деленная на c ) и импульс являются двумя компонентами четырехвектора Минковского , а именно четырехимпульса ; ^[8]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,,}$

(это контравариантные компоненты).

Скалярное произведение Минковского ⟨ , ⟩ этого вектора на самого себя дает квадрат нормы этого вектора, оно пропорционально квадрату массы покоя m тела:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

Лоренц- инвариантная величина и, следовательно, независимая от системы отсчета . Используя метрику Минковского η с метрической сигнатурой (− + + +) , внутренний продукт равен

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=-\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

и

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =P^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }P^{\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}&p_{x}&p_{y}&p_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}\,,}$

так

${\displaystyle -\left(m_{0}c\right)^{2}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}}$

или, в натуральных единицах, где c = 1,

${\displaystyle |\mathbf {P} |^{2}+(m_{0})^{2}=0}$.

Общая теория относительности

В общей теории относительности 4-импульс представляет собой четырехвектор, определенный в локальной системе координат, хотя по определению внутренний продукт аналогичен продукту специальной теории относительности:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

в котором метрика Минковского η заменена метрическим тензорным полем g :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }\,,}$

решено из уравнений поля Эйнштейна . Тогда: ^[9]

${\displaystyle P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.}$

Выполнение суммирования по индексам с последующим сбором терминов «времяподобного», «пространственно-временного» и «пространственноподобного» дает:

${\displaystyle \underbrace {g_{00}{\left(P^{0}\right)}^{2}} _{\text{time-like}}+2\underbrace {g_{0i}P^{0}P^{i}} _{\text{spacetime-like}}+\underbrace {g_{ij}P^{i}P^{j}} _{\text{space-like}}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.}$

где коэффициент 2 возникает потому, что метрика представляет собой симметричный тензор и используется соглашение о латинских индексах i , j , принимающих пространственные значения 1, 2, 3. Поскольку каждый компонент метрики в целом зависит от пространства и времени; это значительно сложнее, чем формула, приведенная в начале; дополнительную информацию см. в метрическом тензоре (общая теория относительности) .

Единицы энергии, массы и импульса

В натуральных единицах , где c = 1 , уравнение энергии-импульса сводится к

${\displaystyle E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

В физике элементарных частиц энергия обычно выражается в единицах электрон-вольт (эВ), импульс в единицах эВ· с ^-1 и масса в единицах эВ· с ^-2 . В электромагнетизме и из-за релятивистской инвариантности полезно иметь электрическое поле E и магнитное поле B в одной и той же единице ( Гаусс ), используя систему единиц СГС (гауссова) , где энергия дается в единицах эрг , масса в граммах (г) и импульс в г·см·с ^-1 .

Энергия также теоретически может быть выражена в граммах, хотя на практике требуется большое количество энергии, чтобы быть эквивалентным массам в этом диапазоне. Например, первая атомная бомба выделила около 1 грамма тепла , а самые крупные термоядерные бомбы выделили килограмм и более тепла. Энергию термоядерных бомб обычно измеряют в десятках килотонн и мегатонн, имея в виду энергию, выделяющуюся при взрыве такого количества тринитротолуола (тротила).

Особые случаи

Система центра импульса (одна частица)

Для тела в системе покоя импульс равен нулю, поэтому уравнение упрощается до

${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}\,,}$

где m ₀ – масса покоя тела.

Безмассовые частицы

Если объект безмассовый, как в случае фотона , то уравнение сводится к

${\displaystyle E=pc\,.}$

Это полезное упрощение. Его можно переписать и другими способами, используя соотношения де Бройля :

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.}$

если заданы длина волны λ или волновое число k .

Принцип соответствия

Переписав соотношение для массивных частиц как:

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,,}$

и разложение в степенной ряд по биномиальной теореме (или ряду Тейлора ):

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{4}+\cdots \right]\,,}$

в пределе, когда u ≪ c , мы имеем γ ( u ) ≈ 1 , поэтому импульс имеет классическую форму p ≈ m ₀ u , затем в первом порядке по (п/м ₀ с)²
(т.е. сохранить термин (п/м ₀ с)^{2 н}
для n = 1 и пренебрегая всеми членами для n ≥ 2 ), имеем

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{0}u}{m_{0}c}}\right)^{2}\right]\,,}$

или

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}u^{2}\,,}$

где второй член — классическая кинетическая энергия , а первый — энергия покоя частицы. Это приближение неприменимо для безмассовых частиц, поскольку для расширения требовалось деление импульса на массу. Между прочим, в классической механике нет безмассовых частиц.

Многочастичные системы

Сложение четырех импульсов

В случае многих частиц с релятивистскими импульсами p _n и энергией En , где n = 1, 2, ... (вплоть до общего числа частиц), просто маркирует частицы, измеренные в конкретной системе отсчета, _{четырех-} импульсы в этой системе координат можно добавить;

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {P} _{n}=\sum _{n}\left({\frac {E_{n}}{c}},\mathbf {p} _{n}\right)=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}},\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\,,}$

а потом принять норму; чтобы получить соотношение для системы многих частиц:

${\displaystyle \left|\left(\sum _{n}\mathbf {P} _{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c\right)^{2}\,,}$

где M ₀ — инвариантная масса всей системы и не равна сумме масс покоя частиц, если только все частицы не покоятся ( более подробно см. Массу в специальной теории относительности ). Замена и перестановка дают обобщение ( 1 );

Все энергии и импульсы в уравнении зависят от системы отсчета, а M ₀ не зависит от системы отсчета.

Рамка центра импульса

В кадре центра импульса (кадре COM) по определению мы имеем:

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\boldsymbol {0}}\,,}$

с учетом ( 2 ), что инвариантная масса также является массой-энергией центра импульса (COM), помимо фактора c ² :

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum _{n}E_{\mathrm {COM} \,n}=E_{\mathrm {COM} }=M_{0}c^{2}\,,}$

и это верно для всех кадров, поскольку M ₀ не зависит от кадра. Энергии E _{COM n} — это энергии в системе COM, а не в лабораторной системе координат. Однако во многих знакомых связанных системах лабораторный кадр используется как COM-кадр, поскольку сама система не находится в движении, и поэтому все импульсы сводятся к нулю. Примером может служить простой объект (где колебательные моменты атомов компенсируются) или контейнер с газом, в котором контейнер покоится. В таких системах все энергии системы измеряются как масса. Например, тепло в объекте на шкале или сумма кинетических энергий в контейнере с газом на шкале — все они измеряются по шкале как масса системы.

Массы покоя и инвариантная масса

Либо энергии, либо импульсы частиц, измеренные в некоторой системе отсчета, можно исключить, используя соотношение энергии-импульса для каждой частицы:

${\displaystyle E_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}=\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}\,,}$

позволяя выразить M ₀ через энергии и массы покоя или импульсы и массы покоя. В конкретном кадре квадраты сумм можно переписать как суммы квадратов (и произведений):

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n<k}E_{n}E_{k}+\sum _{n}E_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle \left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n<k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}+\sum _{n}\mathbf {p} _{n}^{2}\,,}$

поэтому, подставив суммы, можно ввести их массы покоя m _n в ( 2 ):

${\displaystyle \sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Энергии можно устранить следующими способами:

${\displaystyle E_{n}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad E_{k}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{k}c\right)^{2}+\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

аналогично импульс можно устранить следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=\left|\mathbf {p} _{n}\right|\left|\mathbf {p} _{k}\right|\cos \theta _{nk}\,,\quad |\mathbf {p} _{n}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{n}^{2}-\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad |\mathbf {p} _{k}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{k}^{2}-\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

где θnk — угол между _{векторами импульса} pn и pk _.

Перестановка:

${\displaystyle \left(M_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)\,.}$

Поскольку инвариантная масса системы и массы покоя каждой частицы не зависят от системы отсчета, правая часть также является инвариантом (хотя все энергии и импульсы измеряются в определенной системе отсчета).

Волны материи

Используя соотношения де Бройля для энергии и импульса для волн материи ,

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

где ω — угловая частота , а k — волновой вектор величины | к | = k , равный волновому числу , связь энергия-импульс может быть выражена через волновые величины:

${\displaystyle \left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(c\hbar k\right)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,,}$

и привести в порядок путем деления на ( ħc ) ² :

Это также можно получить из величины четырехволнового вектора

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,}$

аналогично четырехимпульсу, описанному выше.

Поскольку приведенная константа Планка ħ и скорость света c появляются и засоряют это уравнение, именно здесь естественные единицы особенно полезны. Нормализовав их так, что ħ = c = 1 , получим:

${\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

Тахион и экзотическая материя

Скорость брадиона с релятивистской зависимостью энергия-импульс

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

никогда не может превышать c . Напротив, для тахиона , уравнение энергии-импульса которого имеет вид ^[10]

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

Напротив, гипотетическая экзотическая материя имеет отрицательную массу ^[11] и уравнение энергии-импульса имеет вид

${\displaystyle E^{2}=-p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

Смотрите также

• Эквивалент массы и энергии
• Четырехимпульсный
• Масса в специальной теории относительности

Рекомендации

1. Клеппнер, Дэниел ; Роберт Дж. Коленков (2010) [1973]. Введение в механику . Издательство Кембриджского университета. стр. 499–500. ISBN 978-0-521-19821-9.
2. Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. стр. 149, 249. ISBN. 978-0-470-01460-8.
3. Д. МакМахон (2006). Относительность . Демистифицируется. МакГроу Хилл (США). п. 20. ISBN 0-07-145545-0.
4. Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля . Демистифицируется. МакГроу Хилл (США). стр. 11, 88. ISBN. 978-0-07-154382-8.
5. Планк, Макс (1906). «Принципы относительности и основные принципы механики». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 8 (7): 136–141.
6. Гордон, Уолтер (1926). «Эффект Комптона по теории Шрёдингера». З. Физ . 40 : 117–133. дои : 10.1007/BF01390840. S2CID  122254400.
7. Дирак, Поль (1928). «Квантовая теория электрона». Учеб. Рой. Соц. Лондон сер. А.​ 117 (778): 610–624. Бибкод : 1928RSPSA.117..610D. дои : 10.1098/rspa.1928.0023 .
8. Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. стр. 258–259. ISBN 978-0-470-01460-8.
9. Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 201, 649, 1188. ISBN 0-7167-0344-0.
10. Г. Фейнберг (1967). «Возможность частиц со скоростью, превышающей скорость света». Физический обзор . 159 (5): 1089–1105. Бибкод : 1967PhRv..159.1089F. дои : 10.1103/PhysRev.159.1089.
11. ZYWang (2016). «Современная теория электромагнитных метаматериалов». Плазмоника . 11 (2): 503–508. дои : 10.1007/s11468-015-0071-7. S2CID  122346519.

• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . МакГроу-Хилл. стр. 704–705. ISBN 978-0-07-025734-4.
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. п. 65. ИСБН 978-0-521-57507-2.
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу-Хилла (2-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 1192, 1193. ISBN. 0-07-051400-3.
• Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство ВХК. п. 1052. ИСБН 0-89573-752-3.