Земной эллипсоид

Геометрическая фигура, которая приблизительно соответствует форме Земли.

Масштабная диаграмма сжатия референц -эллипсоида IERS 2003 года .

  Эллипс с таким же эксцентриситетом , как у Земли, с севером наверху.

 Круг с диаметром, равным малой оси  эллипса

  Линия Кармана , 100 км (62 мили) над уровнем моря

  Диапазон высот полета МКС на низкой околоземной орбите

Земной эллипсоид или земной сфероид — математическая фигура, аппроксимирующая форму Земли , используемая в качестве системы отсчета для вычислений в геодезии , астрономии и науках о Земле . В качестве аппроксимаций использовались различные эллипсоиды .

Это сфероид (эллипсоид вращения ), малая ось (короткий диаметр), соединяющая географические Северный и Южный полюсы , приблизительно совпадает с осью вращения Земли. Эллипсоид определяется экваториальной осью ( a ) и полярной осью ( b ); их радиальная разность составляет немного больше 21 км, или 0,335% от a (что не совсем 6400 км).

Существует множество методов определения осей земного эллипсоида, от меридиональных дуг до современной спутниковой геодезии или анализа и взаимосвязи континентальных геодезических сетей . Среди различных наборов данных, используемых в национальных обследованиях , есть несколько особо важных: эллипсоид Бесселя 1841 года, международный эллипсоид Хейфорда 1924 года и (для позиционирования GPS ) эллипсоид WGS84 .

Типы

Существует два типа эллипсоидов: средний и эталонный.

Набор данных, описывающий глобальное среднее значение кривизны поверхности Земли, называется средним земным эллипсоидом . Он относится к теоретической согласованности между географической широтой и меридиональной кривизной геоида . Последняя близка к среднему уровню моря , и поэтому идеальный земной эллипсоид имеет тот же объем , что и геоид.

В то время как средний земной эллипсоид является идеальной основой глобальной геодезии, для региональных сетей так называемый референц-эллипсоид может быть лучшим выбором. ^[1] Когда геодезические измерения должны быть вычислены на математической референц-поверхности, эта поверхность должна иметь такую ​​же кривизну, как и региональный геоид; в противном случае редукция измерений приведет к небольшим искажениям.

Это причина "долгой жизни" прежних референц-эллипсоидов, таких как эллипсоид Хейфорда или Бесселя , несмотря на то, что их главные оси отклоняются на несколько сотен метров от современных значений. Другая причина - юридическая: координаты миллионов межевых камней должны оставаться фиксированными в течение длительного периода. Если их референц-поверхность изменяется, то и сами координаты также изменяются.

Однако для международных сетей, позиционирования GPS или астронавтики эти региональные причины менее значимы. Поскольку знание фигуры Земли становится все более точным, Международный геонаучный союз IUGG обычно адаптирует оси земного эллипсоида к наилучшим доступным данным.

Референц-эллипсоид

Сплющенная сфера

В геодезии референц -эллипсоид — это математически определенная поверхность, которая аппроксимирует геоид , который является более истинной, несовершенной фигурой Земли или другого планетарного тела, в отличие от идеальной, гладкой и неизмененной сферы, которая учитывает волнообразные колебания гравитации тел из -за изменений в составе и плотности внутренней части , а также последующее сплющивание, вызванное центробежной силой от вращения этих массивных объектов (для планетарных тел, которые вращаются). Из-за своей относительной простоты референц-эллипсоиды используются в качестве предпочтительной поверхности, на которой выполняются вычисления геодезической сети и определяются координаты точек, такие как широта , долгота и высота .

В контексте стандартизации и географических приложений геодезический референц-эллипсоид представляет собой математическую модель, используемую в качестве основы для определений пространственной системы отсчета или геодезических данных .

Параметры эллипсоида

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал « Начала» , в которых он привел доказательство того, что вращающееся самогравитирующее жидкое тело, находящееся в равновесии, принимает форму сплющенного («сплюснутого») эллипсоида вращения, образованного эллипсом , вращающимся вокруг его меньшего диаметра; форму, которую он назвал сплющенным сфероидом . ^{[2] [3]}

В геофизике, геодезии и смежных областях слово «эллипсоид» понимается как «сплюснутый эллипсоид вращения», а старый термин «сплюснутый сфероид» практически не используется. ^{[4] [5]} Для тел, которые не могут быть хорошо аппроксимированы эллипсоидом вращения, используется трехосный (или разносторонний) эллипсоид.

Форма эллипсоида вращения определяется параметрами формы этого эллипса . Большая полуось эллипса, a , становится экваториальным радиусом эллипсоида: малая полуось эллипса, b , становится расстоянием от центра до любого из полюсов. Эти две длины полностью определяют форму эллипсоида.

Однако в публикациях по геодезии принято указывать большую полуось (экваториальный радиус) a и сплющивание f , определяемое как:

${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}.}$

То есть, f — это величина сплющивания на каждом полюсе относительно радиуса на экваторе. Это часто выражается дробью 1/ m ; m = 1/ f , тогда это «обратное сплющивание». В геодезии используется множество других параметров эллипса , но все они могут быть связаны с одним или двумя из набора a , b и f .

В прошлом для моделирования Земли использовалось множество эллипсоидов с различными предполагаемыми значениями a и b , а также различными предполагаемыми положениями центра и различными ориентациями осей относительно твердой Земли. Начиная с конца двадцатого века, улучшенные измерения спутниковых орбит и положений звезд обеспечили чрезвычайно точные определения центра масс Земли и ее оси вращения; и эти параметры были приняты также для всех современных референц-эллипсоидов.

Эллипсоид WGS-84 , широко используемый для картографирования и спутниковой навигации, имеет f, близкую к 1/300 (точнее, 1/298.257223563, по определению), что соответствует разнице большой и малой полуосей примерно в 21 км (13 миль) (точнее, 21.3846857548205 км). Для сравнения, Луна Земли еще менее эллиптична, с уплощением менее 1/825, в то время как Юпитер заметно сплющен примерно на 1/15, а один из трехосных спутников Сатурна , Телесто , сильно сплющен, с f между 1/3 и 1/2 (что означает, что полярный диаметр составляет от 50% до 67% от экваториального.

Определение

Измерение дуги является историческим методом определения эллипсоида. Два измерения дуги меридиана позволят вывести два параметра, необходимые для указания референтного эллипсоида. Например, если бы измерения были гипотетически выполнены точно над плоскостью экватора и любым географическим полюсом, полученные таким образом радиусы кривизны были бы связаны с экваториальным радиусом и полярным радиусом, соответственно a и b (см.: Полярный и экваториальный радиус кривизны Земли ). Тогда сплющивание легко следовало бы из его определения:

${\displaystyle f=(a-b)/a}$.

Для двух измерений дуги, каждое на произвольной средней широте , , решение начинается с начального приближения для экваториального радиуса и для уплощения . Теоретический меридиональный радиус кривизны Земли может быть рассчитан на широте каждого измерения дуги как: ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\,2}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})}$

${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi _{i})^{\frac {3}{2}}}}}$

где . ^[6] Тогда расхождения между эмпирическими и теоретическими значениями радиуса кривизны могут быть сформированы как . Наконец, поправки для начального экваториального радиуса и уплощение могут быть решены с помощью системы линейных уравнений, сформулированных через линеаризацию : ^[7] ${\displaystyle e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}}$ ${\displaystyle \delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})}$ ${\displaystyle \delta a}$ ${\displaystyle \delta f}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f(\partial M/\partial f)}$

где частные производные: ^[7]

${\displaystyle \partial M/\partial a\approx 1}$

${\displaystyle \partial M/\partial f\approx -2a_{0}(1-1.5\sin ^{2}\varphi _{i})}$

Более длинные дуги с несколькими определениями промежуточной широты могут полностью определить эллипсоид, который лучше всего подходит для обследованного региона. На практике для определения параметров эллипсоида методом наименьших квадратов используются множественные измерения дуг . Определяемыми параметрами обычно являются большая полуось, , и любая из малых полуосей, , уплощение или эксцентриситет. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Систематические эффекты регионального масштаба , наблюдаемые при измерениях радиуса кривизны, отражают волнистость геоида и отклонение вертикали , как это исследовалось при астрогеодезическом нивелировании .

Гравиметрия — еще один метод определения сплющивания Земли согласно теореме Клеро .

Современная геодезия больше не использует простые дуги меридианов или сети наземной триангуляции, а использует методы спутниковой геодезии , в частности спутниковую гравиметрию .

Геодезические координаты

Геодезические координаты P( ɸ , λ , h )

Геодезические координаты — это тип криволинейной ортогональной системы координат, используемой в геодезии на основе референц-эллипсоида . Они включают в себя геодезическую широту (север/юг) ϕ , долготу (восток/запад) λ и эллипсоидальную высоту h (также известную как геодезическая высота ^[8] ).

Триада также известна как эллипсоидальные координаты Земли ^[9] (не путать с эллипсоидально-гармоническими координатами или эллипсоидальными координатами ).

Исторические эллипсоиды Земли

Экваториальный ( а ), полярный ( б ) и средний радиусы Земли, определенные в пересмотренной Всемирной геодезической системе 1984 года (не в масштабе)

Перечисленные ниже модели референц-эллипсоидов были полезны в геодезических работах, и многие из них все еще используются. Более старые эллипсоиды названы в честь человека, который их разработал, и указан год разработки. В 1887 году английский геодезист полковник Александр Росс Кларк CB FRS RE был награжден Золотой медалью Королевского общества за свою работу по определению фигуры Земли. Международный эллипсоид был разработан Джоном Филмором Хейфордом в 1910 году и принят Международным союзом геодезии и геофизики (IUGG) в 1924 году, который рекомендовал его для международного использования.

На заседании IUGG 1967 года, состоявшемся в Люцерне, Швейцария, эллипсоид, названный в списке GRS-67 ( Geodetic Reference System 1967), был рекомендован для принятия. Новый эллипсоид не был рекомендован для замены Международного эллипсоида (1924), но был предложен для использования там, где требовалась большая степень точности. Он стал частью GRS-67, которая была одобрена и принята на заседании IUGG 1971 года, состоявшемся в Москве. Он используется в Австралии для Австралийского геодезического датума и в Южноамериканском датуме 1969 года.

GRS-80 (геодезическая система отсчета 1980 г.), одобренная и принятая IUGG на его встрече в Канберре, Австралия, в 1979 г., основана на экваториальном радиусе (большой полуоси земного эллипсоида) , полной массе , динамическом форм-факторе и угловой скорости вращения , что делает обратное сглаживание производной величиной. Незначительная разница, наблюдаемая между GRS-80 и WGS-84, является результатом непреднамеренного усечения в определяющих константах последней: в то время как WGS-84 была разработана так, чтобы тесно соответствовать GRS-80, между прочим, сглаживание, полученное WGS-84, оказалось немного отличным от сглаживания GRS-80, поскольку нормализованный гармонический гравитационный коэффициент второй степени, который был получен из значения GRS-80 для , был усечен до восьми значащих цифр в процессе нормализации. ^[10] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Эллипсоидальная модель описывает только геометрию эллипсоида и формулу нормального гравитационного поля, которая ее сопровождает. Обычно эллипсоидальная модель является частью более обширной геодезической системы отсчета . Например, более старая ED-50 ( европейская система отсчета 1950 г. ) основана на эллипсоиде Хейфорда или международном эллипсоиде . WGS-84 отличается тем, что одно и то же название используется как для полной геодезической системы отсчета, так и для ее составной эллипсоидальной модели. Тем не менее, эти два понятия — эллипсоидальная модель и геодезическая система отсчета — остаются различными.

Обратите внимание, что один и тот же эллипсоид может быть известен под разными именами. Лучше всего упомянуть определяющие константы для однозначной идентификации.

Смотрите также

• Экваториальная выпуклость
• Радиус кривизны Земли
• Геодезические данные
• Большой эллипс
• Дуга меридиана
• Нормальная гравитация
• Планетарная система координат
• История геодезии
• Планетарный эллипсоид

Ссылки

1. Alexander, JC (1985). «Численные показатели вычисления геодезических эллипсоидов». SIAM Review . 27 (2): 241–247. Bibcode : 1985SIAMR..27..241A. doi : 10.1137/1027056.
2. Гейне, Джордж (сентябрь 2013 г.). «Эйлер и сплющивание Земли». Math Horizons . 21 (1): 25–29. doi :10.4169/mathhorizons.21.1.25. S2CID  126412032.
3. Чой, Чарльз К. (12 апреля 2007 г.). «Странно, но факт: Земля не круглая». Scientific American . Получено 4 мая 2021 г.
4. Torge, W (2001) Геодезия (3-е издание), опубликовано de Gruyter, ISBN 3-11-017072-8 
5. Снайдер, Джон П. (1993). Сплющивание Земли: две тысячи лет картографических проекций . Издательство Чикагского университета. стр. 82. ISBN 0-226-76747-7.
6. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции — рабочее руководство . USGS Professional Paper 1395. Вашингтон, округ Колумбия: Правительственная типография. стр. 17.
7. Бомфорд, Г. (1952). Геодезия .
8. Национальная геодезическая служба (США).; Национальная геодезическая служба (США) (1986). Геодезический глоссарий. Технические публикации NOAA. Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная океаническая служба, Картографические и геодезические службы. стр. 107. Получено 24.10.2021 .
9. Аванж, JL; Графаренд, EW; Паланц, Б.; Залетник, П. (2010). Алгебраическая геодезия и геоинформатика. Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 156. ИСБН 978-3-642-12124-1. Получено 24.10.2021 .
10. Технический отчет NIMA TR8350.2, «Всемирная геодезическая система Министерства обороны 1984 г., ее определение и связь с локальными геодезическими системами», третье издание, 4 июля 1997 г. [1]
11. Обратите внимание, что текущие наилучшие оценки, приведенные в соглашениях IERS, «не следует путать с общепринятыми значениями, такими как значения геодезической системы отсчета GRS80... которые, например, используются для выражения географических координат» (глава 1); обратите внимание далее, что «решения ITRF определяются декартовыми экваториальными координатами X, Y и Z. При необходимости их можно преобразовать в географические координаты (λ, φ, h), отнесенные к эллипсоиду. В этом случае рекомендуется эллипсоид GRS80» (глава 4).
12. IERS Conventions (2003) Архивировано 19 апреля 2014 г. на Wayback Machine (Гл. 1, стр. 12)

Библиография

• П. К. Зайдельманн (председатель) и др. (2005), «Отчет рабочей группы МАС/МАГ по картографическим координатам и элементам вращения: 2003 г.», Небесная механика и динамическая астрономия , 91, стр. 203–215.
  • Веб-адрес: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE
• Спецификация реализации OpenGIS для географической информации - Простой доступ к объектам - Часть 1: Общая архитектура , Приложение B.4. 2005-11-30
  • Веб-адрес: http://www.opengeospatial.org

Внешние ссылки

• Географическая система координат
• Системы координат и преобразования ( страница справки SPENVIS )
• Системы координат, рамки и системы отсчета